Владимирская школа теории чисел долгое время занималась иссле дованием квазипериодических разбиений. Постепенно отсюда появилась задача о равномерном распределении точек на торе, при этом возникала необходимость в точных оценках остаточных членов этого распределения. Область исследования работы относится к разделу теории чисел, за нимающемуся изучением множеств ограниченного остатка. Актуальность для теории чисел изучения множеств ограниченного остатка и их много мерных динамических модификаций обусловлена современной тенденцией перехода от классических арифметических числовых и функциональных структур к нелинейным арифметическим структурам. Динамические си стемы на множествах ограниченного остатка порождают хорошо сбалан сированные слова, аналогичные словам Штурма и Рози. Значимость же сбалансированных слов объясняется их многочисленными применениями в таких областях, как динамические системы, теория кодов, теория ком муникации и задачи оптимизации, теория языков и лингвистика, теория распознавания и статистическая физика. Целью работы является построение новых многомерных множеств ог раниченного остатка и нахождение точных оценок остаточного члена для этих множеств. Естественно было начать решение с двухмерного тора. В результате были построены три семейства трехпараметрических двумер ных множеств ограниченного остатка на основе гексагональных развер ток думерного тора. Теперь в распоряжении автора находятся одномер ные и двумерные множества ограниченного остатка. Возникает вопрос: нельзя ли на основе уже известых множеств, построить новые множества больших размерностей. Так, с использованием произведения торических разверток, строятся четыре семейства четырехпараметрических трехмер ных множеств ограниченного остатка, на основе гексагональных призм разверток трехмерного тора, полученных при умножении полуинтервалов Гекке и двумерных гексагональных разверток. Для всех построенных мно жеств определены точные оценки остаточного члена и доказана многомер ная теорема Гекке, найдены средние значения отклонений, а в двумерном случае построена оптимизация границ отклонений. В статье приведен обзор основных результатов автора по множествам ограниченного остатка.
Vladimir school of number theory was studied quasiperiodic tilings for a long time. The uniform distribution problem of fractional parts on the torus come from here. It is important to find exact estimates of the remainder for this distribution. The paper is devoted to the important problem of number theory: bounded remainder sets. Relevance of the problem caused by the transition from the classical numerical and functional arithmetic structures to nonlinear arithmetic structures. Dynamical systems on bounded remainder sets generate balanced words,similar to words Sturmian and Rauzy words. Balanced words are important, for dynamical systems, coding theory,theory of communications and optimization problems, theory of languages and linguistics, recognition theory, statistical physics, etc. The purpose of our research is construction of multidimensional bounded remainder sets and finding exact estimates of the remainder for this sets. The solution to this problem we start from two-dimensional case. We construct three classes of three-parameter two-dimensional bounded remainder sets. For their construction, we use hexagonal toric development. Now we know bounded remainder intervals, obtained by Hecke, and two-dimensional bounded remainder sets. There is the question: can we construct a new multi-dimensional sets using known sets? We construct four classes of four-parameter threedimensional bounded remainder sets. We used for this the multiplication of toric developments. By multiplication of Hecke’s intervals and two-dimensional hexagonal developments we obtain three-dimensional hexagonal Fedorov’s prisms-developments. For all described sets we give exact estimates of the remainder and prove generalization of Hecke’s theorem to the multidimensional case. Also we obtain average values of the remainders, and fined sets with minimal value of the remainder. This paper is an expository of the author’s main results on bounded remainder sets.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.