кандидат физико-математических наук
candidate of physical and mathematical sciences
Пусть N – множество натуральных чисел, Z+ – множество неотрицательных целых чисел, C – множество комплексных чисел, 𝐴(𝑈) – множество аналитических в единичном круге 𝑈 := {𝑧 ∈ C : |𝑧| < 1} функций, 𝐵2 – пространство Бергмана функций 𝑓 ∈ 𝐴(𝑈),наделенных конечной нормой
Для 𝑓 ∈ 𝐴(𝑈) обычную производную порядка 𝑚 ∈ N обозначим через 𝑓(𝑚)(𝑧) и введём класс функций
Пусть 𝐸_(𝑛−1)(𝑓)_2 – величина наилучшего приближения функции 𝑓 ∈ 𝐵2 комплексными алгебраическими полиномами степени ≤ 𝑛 − 1. В данной работе найден ряд точных неравенств между величиною наилучшего приближения промежуточных производных 𝐸_(𝑛−𝜈−1)(𝑓^(𝜈))_2 (𝜈 = 1, 2, · · · ,𝑚− 1;𝑚 ≥ 2) и наилучшего приближения 𝐸_(𝑛−𝑚−1)(𝑓^(𝑚))_2 старшей производной 𝑓^(𝑚).
Пусть 𝑊^(𝑚)_2 := 𝑊^(𝑚)_2 (𝑈) (𝑚 ∈ N)−класс функций 𝑓 ∈ 𝐵^(𝑚)_2 , для которых ‖𝑓^(𝑚)‖_2 ≤ 1.В работе доказано, что при любых 𝑛,𝑚 ∈ N, 𝜈 ∈ Z+, 𝑛 > 𝑚 ≥ 𝜈 имеет место равенство
а также для функций 𝑓 ∈ 𝐵^(𝑚)_2 при всех 1 ≤ 𝜈 ≤ 𝑚−1,𝑚 ≥ 2 найдено точное неравенство типа Колмогорова
где постоянная 𝐴_(𝑚,𝜈)(𝑛) явно выписывается. Дано некоторые приложения полученного неравенства.
Let N be the set of natural numbers, Z_+ be the set of non-negative integers, C be the set of complex numbers, 𝐴(𝑈) be the set of analytic functions in the unit circle 𝑈 := {𝑧 ∈ C : |𝑧| < 1}, 𝐵_2 – be the Bergman spaces of functions 𝑓 ∈ 𝐴(𝑈), endowed with a finite norm
For 𝑓 ∈ 𝐴(𝑈), we denote the usual derivative of order 𝑚 ∈ N by 𝑓(𝑚)(𝑧) and introduce a class of functions
Let 𝐸_(𝑛−1)(𝑓)_2 be the magnitude of the best approximation of function 𝑓 ∈ 𝐵_2 by complex algebraic polynomials of degree ≤ 𝑛 − 1. In this paper, a number of exact inequalities are found between the value of the best approximation of intermediate derivatives 𝐸__(𝑛−𝜈−1)(𝑓^(𝜈))_2 (𝜈 = 1, 2, · · · ,𝑚 − 1;𝑚 ≥ 2) and the best approximation 𝐸(_𝑛−𝑚−1)(𝑓^(𝑚))_2 of the highest derivative 𝑓(𝑚). Let 𝑊^(𝑚)_2 := 𝑊^(𝑚)_2 (𝑈) (𝑚 ∈ N) be a class of functions 𝑓 ∈ 𝐵^(𝑚)2 for which ‖𝑓^(𝑚)‖_2 ≤ 1. In this paper is proved that for any 𝑛,𝑚 ∈ N, 𝜈 ∈ Z+, 𝑛 > 𝑚 ≥ 𝜈, the equality of takes place
and also, in the space 𝐵2 for functions 𝑓 ∈ 𝐵^(𝑚)_2 for all 1 ≤ 𝜈 ≤ 𝑚 − 1,𝑚 ≥ 2, an exact inequality of the Kolmogorov type
is found, where the constant 𝐴𝑚,𝜈(𝑛) is explicitly written out. Some applications of the resulting inequality are given.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.