chebЧебышевский сборникChebyshevskii Sbornik2226-8383Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University10.22405/2226-8383-2023-24-5-180-193cheb-1628Research ArticleСтатьиArticleНекоторые обобщения формулы Фаа Ди БруноSome generalizations of the Faa Di Bruno formulaСорокинПавел НиколаевичSorokinPavel Nikolaevich

кандидат физико-математических наук

candidate of physical and mathematical sciences

s_p_n_1974@bk.ruФедеральный научный центр «Научно-исследовательский институт системных исследований Российской академии наук»РоссияScientific Research Institute for System Analyze of the Russian Academy of ScienceRussian Federation202301022024245180193Copyright © Сорокин П.Н., 20242024Сорокин П.Н.Sorokin P.N.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.chebsbornik.ru/jour/article/view/1628

В центре внимания статьи лежит классическая формула Фаа Ди Бруно для вычисления производных высших порядков сложной функции 𝐹(𝑢(𝑥)). Здесь приведен вариант доказательства этой формулы. Затем доказывается обобщение формулы Фаа Ди Бруно на случай сложной функции с внутренней функцией 𝑢(𝑥, 𝑦), зависящей от двух независимых переменных. В работе представлена формула для 𝑛-ой производной сложной функции,когда аргументом внешней функции является вектор с произвольным числом компонент (функций от одной переменной). В статье также рассмотрены примеры нахождения производных высших порядков, иллюстрирующие как классическую формулу Фаа Ди Бруно, так и ее обобщения.

The focus of the article is the classical Faa Di Bruno formula for computing higher-order derivatives of a complex function 𝐹(𝑢(𝑥)). Here is a version of the proof of this formula. Then we prove a generalization of the Faa Di Bruno formula to the case of a complex function with an inner function 𝑢(𝑥, 𝑦) depending on two independent variables. The paper presents a formula for the 𝑛-th derivative of a complex function, when the argument of the outer function is avector with an arbitrary number of components (functions of one variable). The article also considers examples of finding higher-order derivatives, illustrating both the classical Faa Di Bruno formula and its generalizations.

Фаа Ди Бруно𝑛-ая производная сложной функции многих переменныхобобщения формулы Фаа Ди Бруно для этих функцийформулы бинома и полинома Ньютона.Faa Di Bruno’s formula𝑛-th derivative of complex functions of several variablesgeneralizations of Faa Di Bruno’s formula for these functionsNewton’s binomial and polynomial formulas.Исследование выполнено в рамках проекта ФГУ ФНЦ НИИСИ РАН «Развитие методов математического моделирования распределенных систем и соответствующих методов вычисления» FNEF-2022-0007 (Рег. № 1021060909180-7-1.2.1).ReferencesFa´a di Bruno F. Sullo sviluppo delle funzione // Annali di Scuenze Matematiche e Fisiche. 1855. 6. P. 479-480.Fa´a di Bruno F. 1855, “Sullo sviluppo delle funziones”, Annali di Scuenze Matematiche e Fisiche, 6, pp. 479-480.Fa´a di Bruno F. Note sur un nouvelle formulae de calcul differentiel // Quart. J. Math. 1857. 1. P. 359-360.Fa´a di Bruno F. 1857, “Note sur un nouvelle formulae de calcul differentiel”, Quart. J. Math., 1, pp. 359-360.Mishkov R. L. Generalization of the formula of Fa´a di Bruno for a composite function with a vector argument // Internat. J. Math. & Math. Sci. 2000. Vol. 24, № 7. P. 481-491.Mishkov R. L. 2000, “Generalization of the formula of Fa´a di Bruno for a composite function with a vector argument”, Internat. J. Math., Math. Sci., vol. 24, no. 7, pp. 481-491.Roman S. The formula of Fa´a di Bruno // Amer. Math. Monthly. 1980. Vol. 87, №10. P. 805-809.Roman S. 1980, “The formula of Fa´a di Bruno”, Amer. Math. Monthly, vol. 87, no. 10, pp. 805-809.Дворянинов С. В., Сильванович М. И. О формуле Фаа ди Бруно для производных сложной функции // Математическое образование, 2009, 1 (49), 22-26.Dvoryaninov S. V., Silvanovich M. I. 2009, “On the Fa´a di Bruno formula for derivatives of a complex function”, Matematicheskoye obrazovaniye, 1 (49), pp. 22-26.Архипов Г. И., Садовничий В. А., Чубариков В. Н. Лекции по математическому анализу. —М.: Дрофа, 2003. 640с.Arhipov G. I., Chubarikov V.N., Sadovnichiy V. A. 2003, Lectures on mathematical analysis. M. — Drofa, pp. 640.Bell E. T. Partition polynomials // Ann. Math. 1927. Vol. 29. P. 38-46.Bell E. T. 1927, “Partition polynomials”, Ann. Math., vol. 29, pp. 38-46.Comtet L. Advanced Combinatorics. D. Reidel Publishing Co., Dordrecht, 1974.Comtet L. 1974, Advanced Combinatorics. D. Reidel Publishing Co., Dordrecht.Johnson W.P. The curious history of Fa´a di Bruno’s formula // Amer. Math. Monthly. 2002. Vol. 109. P. 217-234.Johnson W.P. 2002, “The curious history of Fa´a di Bruno’s formula”, Amer. Math. Monthly, vol. 109, pp. 217-234.Чубариков В. Н. Обобщенная формула бинома Ньютона и формулы суммирования // Чебышевский сборник, 2020, 21, № 4. 270-301.Chubarikov V. N. 2020, “A generalized Binomial theorem and a summation formulas”, Chebyshevskii Sbornik, 21 (4), pp. 270-301.Constantine G. M., Savits T. H. A multivariate Fa´a di Bruno formula with applications // Trans. Amer. Math. Soc., 1996. vol. 348, № 2. P. 503-520.Constantine G. M., Savits T. H., 1996, “A multivariate Fa´a di Bruno formula with applications”, Trans. Amer. Math. Soc., vol. 348, no. 2, pp. 503-520.Шабат А. Б, Эфендиев М. Х. О приложениях формулы Фаа-Ди-Бруно // Уфимский математический журнал, 2017, 9, № 3. 132–137.Shabat A. B., Efendiev M. Kh., 2017, “Applications of the Fa´a di Bruno formula”, Ufimskiy matematicheskiy zhurnal, vol. 9, no. 3, pp. 132–137.Демидович Б. П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. Учебное пособие. 14 издание, испр. — М.: Изд-во Московского университета, 1998. 624 с.Demidovich B.P. 1998, Sbornik zadach i uprazhneniy po matematicheskomu analizu. Uchebnoye posobiye. 14 izdaniye, ispr. M. — Izd-vo Moskovskogo universiteta, pp. 624.Frabetti A., Manchon D. Five interpretation of Fa´a di Bruno’s formula, 2014, https://arxiv.org/pdf/1402.5551.pdf.Frabetti A., Manchon D., 2014, “Five interpretation of Fa´a di Bruno’s formula”, https://arxiv.org/pdf/1402.5551.pdf.Craik A. D. D. Prehistory of Fa´a di Bruno’s formula // Amer. Math. Monthly, 2005. vol. 112, № 2, P. 119–130.Craik A.D.D., 2005, “Prehistory of Fa´a di Bruno’s formula”, Amer. Math. Monthly, vol. 112, no 2, pp. 119–130.Arbogast L. F. A. Du Calcul des D´erivations, Levrault, Strasbourg, 1800.Arbogast L. F. A., 1800, “Du Calcul des D´erivations”, Levrault, Strasbourg.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.