chebЧебышевский сборникChebyshevskii Sbornik2226-8383Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University10.22405/2226-8383-2023-24-5-112-125cheb-1623Research ArticleСтатьиArticleОценивание функции среднего для зашумленного случайного процесса при наличии разреженных данныхMean function estimation for a noisy random process under a sparse data conditionЛинкеЮлиана ЮрьевнаLinkeYuliana Yurievna

кандидат физико-математических наук

candidate of physical and mathematical sciences

linke@math.nsc.ruИнститут математики им. С. Л. Соболева Сибирского отделения Российской академии наукРоссияSobolev Institute of Mathematics, Siberian Branch of the Russian Academy of SciencesRussian Federation202331012024245112125Copyright © Линке Ю.Ю., 20242024Линке Ю.Ю.Linke Y.Y.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.chebsbornik.ru/jour/article/view/1623

Рассматривается регрессионная постановка задачи оценивания функции математического ожидания некоторого почти наверное непрерывного случайного процесса, когда зашумленные значения независимых копий случайного процесса наблюдаются в некоторых известных наборах точек (вообще говоря, случайных), при этом количество наблюдений для каждой из копий случайно и совокупность этих величин по всем сериям не обязательно состоит из независимых и одинаково распределенных компонент. Данная постановка включает в себя два наиболее популярных в научной литературе варианта разреженных данных, когда либо количества наблюдений в сериях представляют собой независимые одинаково распределенные случайные величины, либо количества наблюдений в каждой серии неслучайны и равномерно ограничены по всем сериям.В работе предложены новые оценки ядерного типа для функции математического ожидания случайного процесса. Доказана равномерная состоятельность новых ядерных оценок при весьма слабых и универсальных ограничениях касательно стохастической природы временных точек наблюдений: требуется лишь, чтобы вся совокупность этих точек с высокой вероятностью образовывала бы измельчающееся разбиение области определения исходного случайного процесса.

We consider a regression statement of the problem of estimating the mean function of some almost sure continuous random process, when noisy values of independent copies of this random process are observed in some known sets of time points (generally speaking, random). Moreover, the size of observations for each of the copies is random, and the total collection of the time points for all series does not necessarily consist of independent and identically distributed random variables. This setting includes two of the most popular sparse data variants in the scientific literature, in which ever the sizes of observations in the series are independent identically distributed random variables, or the sizes of observations in each series are nonrandom and uniformly bounded over all series.The paper proposes new kernel-type estimators for the mean function of a random process.The uniform consistency of the new kernel estimators is proved under very weak and universal restrictions regarding the stochastic nature of observed time points: it is only required that the entire set of these points with a high probability would form a refining partition of the original random process domain.

непараметрическая регрессияоценивание функции среднегоразреженные данныеядерные оценкиравномерная состоятельность.nonparametric regressionmean function estimationsparse functional datakernel estimationuniform consistency.Исследование выполнено в рамках государственного задания ИМ СО РАН (проект FWNF-2024-0001).ReferencesBorisov I. S., Linke Yu.Yu., Ruzankin P. S. Universal weighted kernel-type estimators for some class of regression models // Metrika. 2021. Vol. 84, № 2. P. 141-166. https://link.springer.com/article/10.1007/s00184-020-00768-0Borisov, I. S., Linke, Yu.Yu. & Ruzankin, P. S. 2021, “ Universal weighted kernel-type estimators for some class of regression models”, Metrika, vol. 84, no. 2, pp. 141-166.Bunea F., Ivanescu A. E.,Wegkamp M. H. Adaptive inference for the mean of a Gaussian process in functional data // J. R. Stat. Soc. Ser. B Stat. Methodol. 2011. Vol. 73, № 4. P. 531-558. https://rss.onlinelibrary.wiley.com/doi/abs/10.1111/j.1467-9868.2010.00768.xBunea, F., Ivanescu, A. E. & Wegkamp, M. H. 2011, “Adaptive inference for the mean of a Gaussian process in functional data”, J. R. Stat. Soc. Ser. B Stat. Methodol., vol. 73, no. 4, pp. 531-558.Cuevas A. A partial overview of the theory of statistics with functional data // J. Stat. Plan. Inference. 2014. Vol. 147, №4. P. 1-23. https://www.sciencedirect.com/science/article/abs/pii/S0378375813000748Cuevas A. 2014, “A partial overview of the theory of statistics with functional data”, J. Stat. Plan. Inference., vol. 147, no. 4, pp. 1-23.James G. M., Hastie T. J. Functional linear discriminant analysis for irregularly sampled curves // J. R. Stat. Soc. Ser. B Stat. Methodol. 2001. Vol. 63, № 3. P. 533-550. https://www.jstor.org/stable/2680587James, G. M. & Hastie, T. J. 2001, “Functional linear discriminant analysis for irregularly sampled curves”, J. R. Stat. Soc. Ser. B Stat. Methodol., vol. 63, no. 3, pp. 533-550.Hall P., M¨uller H.-G., Wang J.-L. Properties of principal component methods for functional and longitudinal data analysis // Ann. Statist. 2006. Vol. 34, № 3. P. 1493-1517. https://www.jstor.org/stable/25463465Hall, P., M¨uller, H.-G. & Wang, J.-L. 2006, “Properties of principal component methods for functional and longitudinal data analysis”, Ann. Statist., vol. 34, no. 3, pp. 1493-1517.Hsing T., Eubank R. Theoretical foundations of functional data analysis, with an introduction to linear operators. Wiley, 2015. https://onlinelibrary.wiley.com/doi/book/10.1002/9781118762547Hsing, T. & Eubank, R. Theoretical foundations of functional data analysis, with an introduction to linear operators. Wiley, 2015.Kim S., Zhao Z. Unified inference for sparse and dense longitudinal models // Biometrika. 2013. Vol. 100, № 1. P. 203-212. https://www.jstor.org/stable/43304546Kim, S. & Zhao, Z. 2013, “Unified inference for sparse and dense longitudinal models”, Biometrika, vol. 100, no. 1, pp. 203-212.Kokoszka P., Reimherr M. Introduction to functional data analysis. Chapman and Hall/CRC, 2017. https://www.routledge.com/Introduction-to-Functional-Data-Analysis/Kokoszka-Reimherr/p/book/9781032096599Kokoszka, P. & Reimherr, M. Introduction to functional data analysis. Chapman and Hall/CRC, 2017.Li Y., Hsing T. Uniform convergence rates for nonparametric regression and principal component analysis in functional/longitudinal data // Ann. Statist. 2010. Vol. 38, № 6. P. 3321-3351. https://www.jstor.org/stable/29765266Li, Y. & Hsing, T. 2010, “Uniform convergence rates for nonparametric regression and principal component analysis in functional/longitudinal data”, Ann. Statist., vol. 38, no. 6, pp. 3321-3351.Lin Z. Wang J.-L. Mean and covariance estimation for functional snippets // J. Amer. Statist. Assoc. 2022. Vol. 117, № 537. P. 348-360. https://www.tandfonline.com/doi/abs/10.1080/01621459.2020.1777138Lin, Z. & Wang, J.-L. 2022, “Mean and covariance estimation for functional snippets”, J. Amer. Statist. Assoc., vol. 117, no. 537, pp. 348-360.Linke Y., Borisov I., Ruzankin P., Kutsenko V., Yarovaya E., Shalnova S. Universal local linear kernel estimators in nonparametric regression // Mathematics. 2022. Vol.10, № 15. P. 2693.https://www.mdpi.com/2227-7390/10/15/2693Linke, Y., Borisov, I., Ruzankin, P., Kutsenko, V., Yarovaya, E. & Shalnova, S. 2022, “Universal local linear kernel estimators in nonparametric regression”, Mathematics, vol.10, no. 15, pp. 2693.Linke Yu.Yu., Borisov I. S. Insensitivity of Nadaraya–Watson estimators to design correlation // Commun. Stat. Theory Methods. 2022. Vol. 51, № 19. P. 6909-6918.Linke, Yu.Yu. & Borisov, I. S. 2022, “Insensitivity of Nadaraya–Watson estimators to design correlation”, Commun. Stat. Theory Methods., vol. 51, no. 19, pp. 6909-6918.https://www.tandfonline.com/doi/abs/10.1080/03610926.2021.1876884Linke, Yu.Yu. 2019, “Asymptotic properties of one-step M-estimators”, Commun. Stat. Theory Methods, vol.48, no. 16, pp. 4096-4118.Linke Yu.Yu. Asymptotic properties of one-step M-estimators // Commun. Stat. Theory Methods. 2019. Vol.48, № 16. P. 4096-4118. https://www.tandfonline.com/doi/abs/10.1080/03610926.2018.1487982?journalCode=lsta20Linke, Yu.Yu. & Borisov, I. S. 2017, “Constructing initial estimators in one-step estimation procedures of nonlinear regression”, Statist. Probab. Lett., vol. 120, no. 1, pp. 87-94.Linke Yu.Yu., Borisov I. S. Constructing initial estimators in one-step estimation procedures of nonlinear regression // Statist. Probab. Lett. 2017. Vol. 120, № 1. P. 87-94.Linke, Yu.Yu. 2017, “Asymptotic normality of one-step M-estimators based on non-identically distributed observations”, Statist. Probab. Lett., vol.129, no. 10, pp. 216-221.https://www.sciencedirect.com/science/article/abs/pii/S0167715216301857Linke, Yu.Yu. & Borisov I. S. 2023, “An approach to constructing explicit estimators in nonlinear regression”, Siberian Adv. Math., vol. 33, no. 4, pp. 338-346.Linke Yu.Yu. Asymptotic normality of one-step M-estimators based on non-identically distributed observations // Statist. Probab. Lett. 2017. Vol.129, № 10. P. 216-221.Muller, H.-G. 2005, “Functional modelling and classification of longitudinal data”, Scand. J. Statist., vol. 32, no. 2. pp. 223-246.https://www.sciencedirect.com/science/article/abs/pii/S0167715217302031Song, Q., Liu, R., Shao, Q. & Yang, L. 2014, “A simultaneous confidence band for dense longitudinal regression”, Commun. Stat. Theory Methods, vol. 43, no. 24, pp. 5195-5210.Linke, Yu.Yu. & Borisov I. S. 2023, “An approach to constructing explicit estimators in nonlinear regression“, Siberian Adv. Math., vol. 33, no. 4, pp. 338-346. https://link.springer.com/article/10.1134/S1055134423040065Wang, J.-L., Chiou, J.-M. & Muller, H.-G. 2016, “Review of functional data analysis”, Annu. Rev. Statist., vol. 3. pp. 257-295.Muller H.-G. Functional modelling and classification of longitudinal data // Scand. J. Statist. 2005. Vol. 32, № 2. P. 223-246. https://onlinelibrary.wiley.com/doi/abs/10.1111/j.1467-9469.2005.00429.xWu, H. & Zhang, J.-T. Nonparametric regression methods for longitudinal data analysis: mixedeffects modeling approaches. John Wiley and Sons, 2006.Song Q., Liu R., Shao Q., Yang L. A simultaneous confidence band for dense longitudinal regression // Commun. Stat. Theory Methods. 2014. Vol. 43, № 24. P. 5195-5210. https://www.tandfonline.com/doi/abs/10.1080/03610926.2012.729643Yao, F. 2007, “Asymptotic distributions of nonparametric regression estimators for longitudinal or functional data”, J. Multivariate Anal., vol. 98, no. 1, pp. 40-56.Wang J.-L., Chiou J.-M., Muller H.-G. Review of functional data analysis // Annu. Rev. Statist.2016. Vol. 3. P. 257-295.Yao, F., Muller, H.-G. & Wang, J.-L. 2005, “Functional data analysis for sparse longitudinal data”, J. Amer. Statist. Assoc., vol.100, no. 470, pp. 577-590.Wu H., Zhang J.-T. Nonparametric regression methods for longitudinal data analysis: mixedeffects modeling approaches. John Wiley and Sons, 2006. https://www.annualreviews.org/doi/abs/10.1146/annurev-statistics-041715-033624Zhang, J.-T. & Chen, J. 2007, “Statistical inferences for functional data”, Ann. Statist., vol. 35, no. 3, pp. 1052-1079.Yao F. Asymptotic distributions of nonparametric regression estimators for longitudinal or functional data // J. Multivariate Anal. 2007. Vol. 98, № 1. P. 40-56.Zhang, X. & Wang, J.-L. 2018, “Optimal weighting schemes for longitudinal and functional data”, Stat. Prob. Lett., vol. 138, no. 7, pp. 165-170.Yao F., Muller H.-G., Wang J.-L. Functional data analysis for sparse longitudinal data // J. Amer. Statist. Assoc. 2005. Vol.100, № 470. P. 577-590. https://www.tandfonline.com/doi/abs/10.1198/016214504000001745Zhang, X. & Wang, J.-L. 2016, “From sparse to dense functional data and beyond”, Ann. Statist., vol. 44, no. 5, pp. 2281-2321.Zhang J.-T., Chen J. Statistical inferences for functional data // Ann. Statist. 2007. Vol. 35, № 3. P. 1052-1079. https://www.jstor.org/stable/25463592Zheng, S., Yang, L. & Hardle, W. 2014, “A smooth simultaneous confidence corridor for the mean of sparse functional data”, J. Amer. Statist. Assoc., vol. 109, no. 506, pp. 661-673.Zhang X., Wang J.-L. Optimal weighting schemes for longitudinal and functional data // Stat.Prob. Lett. 2018. Vol. 138, № 7. P. 165-170. https://www.sciencedirect.com/science/article/abs/pii/S0167715218301214Zhou, L., Lin, H. & Liang, H. 2018, “Efficient estimation of the nonparametric mean and covariance functions for longitudinal and sparse functional data”, J. Amer. Statist. Assoc., vol. 113, no. 524, pp. 1550-1564.Zhang X., Wang J.-L. From sparse to dense functional data and beyond // Ann. Statist. 2016.Vol. 44, № 5. P. 2281-2321. https://www.jstor.org/stable/43974716Linke, Yu.Yu. 2023, “Towards insensitivity of Nadaraya–Watson estimators with respect to design correlation”, Theory Probab. Appl., vol. 68, no. 2, pp. 236-252. [in Russian]Zheng S., Yang L., Hardle W. A smooth simultaneous confidence corridor for the mean of sparse functional data // J. Amer. Statist. Assoc. 2014. Vol. 109, № 506. P. 661-673.Linke, Yu.Yu. 2017, “Asymptotic properties of one-step weighted M-estimators with application to some regression problems”, Theory Probab. Appl., vol. 62, no. 3, pp. 373-398.https://www.tandfonline.com/doi/abs/10.1080/01621459.2013.866899Linke, Yu.Yu. & Borisov I. S. 2018, “Constructing explicit estimators in nonlinear regression models”, Theory Probab. Appl., vol. 63, no. 1, pp. 22-44.Zhou L., Lin H., Liang H. Efficient estimation of the nonparametric mean and covariance functions for longitudinal and sparse functional data // J. Amer. Statist. Assoc. 2018. Vol. 113, № 524. P. 1550-1564. https://www.tandfonline.com/doi/abs/10.1080/01621459.2017.1356317Zhou L., Lin H., Liang H. Efficient estimation of the nonparametric mean and covariance functions for longitudinal and sparse functional data // J. Amer. Statist. Assoc. 2018. Vol. 113, № 524. P. 1550-1564. https://www.tandfonline.com/doi/abs/10.1080/01621459.2017.1356317Линке Ю.Ю. К вопросу о нечувствительности оценок Надарая–Ватсона относительно корреляции элементов дизайна // Теория вероятн. и ее примен. 2023. Т. 68, № 2. С. 236-252.Линке Ю.Ю. К вопросу о нечувствительности оценок Надарая–Ватсона относительно корреляции элементов дизайна // Теория вероятн. и ее примен. 2023. Т. 68, № 2. С. 236-252.Линке Ю.Ю. Асимптотические свойства одношаговых взвешенных М-оценок с приложениями к задачам регрессии // Теория вероятн. и ее примен. 2017. Т. 62, № 3. C. 468-498.Линке Ю.Ю. Асимптотические свойства одношаговых взвешенных М-оценок с приложениями к задачам регрессии // Теория вероятн. и ее примен. 2017. Т. 62, № 3. C. 468-498.Линке Ю.Ю., Борисов И. С. Построение явных оценок в задачах нелинейной регрессии // Теория вероятн. и ее примен. 2018. Т. 63, № 1. C. 29-56.Линке Ю.Ю., Борисов И. С. Построение явных оценок в задачах нелинейной регрессии // Теория вероятн. и ее примен. 2018. Т. 63, № 1. C. 29-56.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.