Накрытия в основном рассматриваются в геометрии и анализе, и в некоторых случаях они не задаются явным образом. Задача определения накрытий в конкретной ситуации является очень важным. Накрытия возникают в теории многообразий,в особенности в связи с системами уравнений. Одним из действенных методов в этом направлении является использование теоремы о неявных функциях.В настоящей статье мы изучаем эти вопросы во требуемом общем виде. Такой подход приводит проблему к рассмотрению основных понятий, которые были изучены классиками математики в последние два столетия. Этими математиками анализированы основные моменты теории, касающиеся поведению многообразий малых размерностей в многообразиях больших размерностей. Определение понятия кривой на плоскости является ярким примером того, как мы должны определить основные понятия, с которыми мы имеем дело, чтобы обеспечить необходимую свободу действий, не умаляя при этом необходимой общности. Вdедение квадрируемых кривых дает возможность развивать приемлемую теорию интегрирования в плоских областях. Однако, этого недостаточно, к примеру для установления теоремы Фубини в той общности, которая рассматривается в теории интегрирования Лебега. Здесь мы наталкиваемся на ограничения внесенные пересечениями многообразияс краем области. Поэтому, плодотворную формулировку этой теоремы мы наблюдаем лишь в теории интегрирования Лебега. Это и есть один из множества вопросов, которые связаны с поведением многообразий малых размерностей. Мы показываем, как нужно видоизменить некоторые понятия, чтобы преодолеть такие трудности. Мы устанавливаем, что обобщение понятия "неявного"поверхностного интеграла в некотором, отличном оттрадиционного взгляда понимании, позволяет устранить возникающие трудности и решать поставленные задачи в достаточной общности.В работе таким путем удается свести вопрос об оценке числа листов накрытий, определяемых системами уравнений, к некоторым метрическим задачам теории поверхностныхинтегралов.