chebЧебышевский сборникChebyshevskii Sbornik2226-8383Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University10.22405/2226-8383-2023-24-4-354-360cheb-1612Research ArticleКраткие сообщенияОб экстремальном множестве частных целых чиселOn the extremal set of quotient of natural numbersШтейниковЮрий НиколаевичShteinikovYuri Nikolaevichyuriisht@gmail.comФедеральный научный центр «Научно-исследовательский институт системных исследований Российской академии наук»РоссияFederal Research Center “Research Institute of System Research of the Russian Academy of Sciences”Russian Federation202328012024244354360Copyright © Штейников Ю.Н., 20232023Штейников Ю.Н.Shteinikov Y.N.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.chebsbornik.ru/jour/article/view/1612

В статье изучается следующая задача. Пусть заданы два конечных подмножества из множества натуральных чисел, которые всюду в тексте будут обозначаться как 𝐴 и 𝐵. Будем считать, что они принадлежат конечному отрезку чисел [1,𝑄]. По определению задаем множество дробей 𝐴/𝐵, элементы которого являются представимыми в виде частного этих множеств 𝐴,𝐵, то есть такие элементы 𝑎/𝑏, где 𝑎 ∈ 𝐴, 𝑏 ∈ 𝐵. В статье исследуются свойстваэтого подмножества частных. В статье [13], была получена нетривиальная нижняя оценка на размер множества 𝐴/𝐵 для таких множеств 𝐴,𝐵 без всяких дополнительных условий на эти множества. В данной статье мы рассматриваем экстремальный случай , который состоит в следующем. Пусть известно, что размер множества произведений 𝐴𝐵 является асимптотически наименьшим возможным. Мы выводим отсюда, что размер множества частных 𝐴/𝐵 является асимптотически наибольшей возможной величиной.

The article studies the following problem. Let two finite subsets from the set of natural numbers be given, which will be denoted throughout the text as 𝐴 and 𝐵. We will assume that they belong to a finite interval of numbers [1,𝑄]. By definition, we define a set of fractions 𝐴/𝐵 whose elements are representable as a quotient of these sets 𝐴,𝐵, in other words such elements 𝑎/𝑏, where 𝑎 ∈ 𝐴, 𝑏 ∈ 𝐵. The article investigates the properties of this subset of quotients. Inthe article [13], a non-trivial lower bound on the size of the set 𝐴/𝐵 for such sets 𝐴,𝐵 was obtained without any additional conditions on these sets. In this article, we in details consider an extreme case, which is as follows. Let it be known that the size of the set of products 𝐴𝐵 isasymptotically the smallest possible. We deduce from this that the size of the set of quotients 𝐴/𝐵 is the asymptotically largest possible value.

натуральные числаплотностьгладкие числапроизведение.integer numbersdensitysmooth numbersproduct.ReferencesShteinikov Yu., On the product sets of rational numbers // Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, 2017, Vol. 296, Issue 1, P 243-250.Shteinikov Yu., “On the product sets of rational numbers”, Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics vol. 296, Issue 1, pp. 243-250.Cilleruelo J., Ramana D.S., Ramare O. Quotients and product sets of thin subsets of the positive integers // Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, 2017, Vol. 296, Issue 1, P. 52-64.Cilleruelo J., Ramana D.S., Ramare O. “Quotients and product sets of thin subsets of the positive integers”, Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, vol. 296, Iss. 1, pp. 52-64.Prachar K. Primzahlverteilung // Springer–Verlag Berlin–G˝ottingen–Heidelberg, 1957.Prachar K. 1957, “Primzahlverteilung”, Springer–Verlag Berlin–G˝ottingen–Heidelberg.Shteinikov Yu. N. Addendum to the paper "Quotients and product sets of thin subsets of the positive integers"by J. Cilleruelo, D.S. Ramana and O. Ramare. // Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, 2017, Vol. 296, Issue 1, P. 251-255.Shteinikov Yu. N. “Addendum to the paper “Quotients and product sets of thin subsets of the positive integers” by J. Cilleruelo, D.S. Ramana and O. Ramare”, Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics vol. 296, Iss. 1, pp. 251-255.Hildebrand A., Tenenbaum G. Integers without large prime factors // Journal de Theorie des Nombres de Bordeaux 5, 1993, P. 411-484.Hildebrand A., Tenenbaum G. 1993, “Integers without large prime factors”, Journal de Theorie des Nombres de Bordeaux vol. 5, pp. 411–484.Bourgain J., Konyagin S.V., Shparlinski I.E. Product sets of rationals, multiplicative translates of subgroups in residue rings and fixed points of the discrete logarithm // Int. Math Research Notices. 2008. rnn 090, P. 1-29.Bourgain J., Konyagin S.V., Shparlinski I.E. 2008, “Product sets of rationals, multiplicative translates of subgroups in residue rings and fixed points of the discrete logarithm”, Int. Math Research Notices.. rnn 090, pp. 1–29.Cilleruelo J. A note on product sets of rationals // International Journal of Number Theory 2016, Vol. 12, No. 05, P. 1415-1420.Cilleruelo J. 2016, “A note on product sets of rationals”, International Journal of Number Theory, vol. 12, no. 05, pp. 1415–1420.Cilleruelo J., Garaev M. Congruences involving product of intervals and sets with small multiplicative doubling modulo a prime and applications // Math. Proc. Cambridge Phil. Soc., 2016. Vol. 160, Issue 03, P. 477-494,Cilleruelo J., Garaev M. 2016, “Congruences involving product of intervals and sets with small multiplicative doubling modulo a prime and applications”, Math. Proc. Cambridge Phil. Soc., vol. 160, Iss. 03, pp. 477–494.Konyagin S., Shkredov I. New results on sums and products in R, Proc. // Steklov Inst. Math., 2016. № 294 , P. 78-88.Konyagin S., Shkredov I. 2016, “New results on sums and products in R”„ Proc. Steklov Inst. Math., vol. 294 , pp. 78–88.Konyagin S., Shkredov I. On Sum Sets of Sets Having Small Product Set // Proc. Steklov Inst. Math. 2015, Vol. 290, P. 288–299.Konyagin S., Shkredov I. “On Sum Sets of Sets Having Small Product Set”, Proc. Steklov Inst. Math. vol. 290, pp. 288–299.Tao T., Vu V. Additive combinatorics // Cambridge University Press 2006, P. 1-530.Tao T., Vu V. 2006, “Additive combinatorics”, Cambridge University Press, pp. 1-530.Shnirel’man L.G. Uber additive Eigenschaften von Zahlen // Mathematische Annalen, V. 107 1933, P. 649-690.Shnirel’man L.G. 1933, “Uber additive Eigenschaften von Zahlen”, Mathematische Annalen, vol. 107, , pp. 649-690.Ю. Н. Штейников, О размере частного двух подмножеств натуральных чисел // Гармонический анализ, теория приближений и теория чисел, Сборник статей. К 60-летию со дня рождения академика Сергея Владимировича Конягина, Тр. МИАН, 2018. Т. 303, МАИК «Наука/Интерпериодика», М., С. 279–287.Shteinikov Yu.N. “On the Size of the Quotient of Two Subsets of Positive Integers”, Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics volume vol. 303, pp. 259–267.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.