chebЧебышевский сборникChebyshevskii Sbornik2226-8383Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University10.22405/2226-8383-2023-24-4-325-334cheb-1608Research ArticleКраткие сообщенияО диофантовых неравенствах с простыми числамиOn the diophantine inequalities with prime numbersГоряшинДмитрий ВикторовичGoryashinDmitry Victorovich

кандидат физико-математических наук, доцент

candidate of physical and mathematical sciences, associate professor

dmitry.goryashin@math.msu.ruГриценкоСергей АлександровичGritsenkoSergei Alexandrovich

доктор физико-математических наук, профессор

doctor of physical and mathematical sciences, professor

s.gritsenko@gmail.comМосковский государственный университет имени М. В. ЛомоносоваРоссияLomonosov Moscow State UniversityRussian Federation202325012024244325334Copyright © Горяшин Д.В., Гриценко С.А., 20232023Горяшин Д.В., Гриценко С.А.Goryashin D.V., Gritsenko S.A.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.chebsbornik.ru/jour/article/view/1608

В статье рассматриваются две задачи о приближении заданного положительного числа 𝑁 суммой двух простых чисел, а также суммой простого числа и двух квадратов простых чисел.В 2001 г. Р. Бейкер, Г. Харман и Дж. Пинтц доказали для числа решений неравенства |𝑝 − 𝑁| ⩽ 𝐻 в простых числах 𝑝 правильную по порядку оценку снизу при 𝐻 ⩾ 𝑁^(21/40+𝜀), где 𝜀 — произвольно малое положительное число. С использованием этого результата иплотностной техники в настоящей работе доказана оценка снизу для числа решений неравенства |𝑝1 + 𝑝2 − 𝑁| ⩽ 𝐻 в простых числах 𝑝1, 𝑝2 при 𝐻 ⩾ 𝑁^(7/80+𝜀).Кроме того, на основе плотностной техники доказана также оценка снизу для числа решений неравенства |𝑝^2_1+ 𝑝^2_2+ 𝑝_3− 𝑁|⩽ 𝐻 в простых числах 𝑝1, 𝑝2 и 𝑝3 при 𝐻 ⩾ 𝑁^(7/72+𝜀).

The article deals with two problems of approximating a given positive number 𝑁 by the sum of two primes, and by the sum of a prime and two squares of primes.In 2001, R. Baker, G. Harman, and J. Pintz proved for the number of solutions of the inequality |𝑝 − 𝑁| ⩽ 𝐻 in primes 𝑝 a lower bound for 𝐻 ⩾ 𝑁^(21/40+𝜀), where 𝜀 is an arbitrarily small positive number. Using this result and the density technique, in this paper we prove a lower bound for the number of solutions of the inequality |𝑝_1 + 𝑝_2 − 𝑁| ⩽ 𝐻 in prime numbers 𝑝_1, 𝑝_2 for 𝐻 ⩾ 𝑁^(7/80+𝜀.)Also based on the density technique, we prove a lower bound for the number of solutions of the inequality |𝑝^2_1+ 𝑝^2_2+ 𝑝_3 − 𝑁|⩽ 𝐻 in prime numbers 𝑝_1, 𝑝_2 and 𝑝_3 for 𝐻 ⩾ 𝑁^(7/72+𝜀).

диофантовы неравенствапростые числаплотностные теоремы.diophantine inequalitiesprime numbersdensity theorems.ReferencesВоронин С. М., Карацуба А. А. Дзета-функция Римана. М.: Физматлит, 1994.Voronin, S. M. & Karatsuba, A. A. 1994, “The Riemann zeta function“ (Russian), FML, Moscow.Baker R. C., Harman G., Pintz J. The difference between consecutive primes, II // Proc. London Math. Soc. 2001. Vol. 83, №3. P. 532-562.Baker, R. C., Harman, G. & Pintz J. 2001, “The difference between consecutive primes, II“, Proc. London Math. Soc., vol. 83, no. 3, pp. 532-562.Карацуба А. А. Основы аналитической теории чисел. М.: Наука, 1983. 240 с.Karatsuba, A. A. 1983, Osnovy analiticheskoi teorii chisel (Russian), [Fundamentals of the analytic number theory]. Second edition. Nauka, Moscow, 240 p.Montgomery H. L., Vaughan R. C. The exceptional set in Goldbach’s problem // Acta Arith. 1975. Vol. 27. P. 353–370.Montgomery H. L., Vaughan R. C. 1975, “The exceptional set in Goldbach’s problem“, Acta Arith., vol. 27, pp. 353–370.Huxley M. N. On the difference between consequtive primes // Invent. Math. 1972. Vol. 15, № 1. P. 164–170.Huxley M. N. 1972, “On the difference between consequtive primes“, Invent. Math., vol. 15, no. 1, pp. 164–170.Ivi´c A. The Riemann zeta-function: The theory of the Riemann zeta-function with applications. New York etc.: John Wiley & Sons, 1985.Ivi´c A. 1985, The Riemann zeta-function: The theory of the Riemann zeta-function with applications, New York etc., John Wiley & Sons.Гирько В. В., Гриценко С.А. Об одном диофантовом неравенстве с простыми числами // Чебышевский сборник. 2006. Том 7, № 4. С. 26-30.Gir’ko, V. V. & Gritsenko, S. A. 2006, “On a diophantine inequality with primes“ (In Russian), Chebyshevskii sbornik, vol. 7, no. 4, pp. 26-30.Wilson B. M. Proofs of some formulae enunciated by Ramanujan // Proc. Lond. Math. Soc. 1922. Vol. 2(21). P. 235-255.Wilson, B. M. 1922, “Proofs of some formulae enunciated by Ramanujan“, Proc. Lond. Math. Soc., vol. 21, no. 2. pp. 235-255.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.