chebЧебышевский сборникChebyshevskii Sbornik2226-8383Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University10.22405/2226-8383-2023-24-4-299-310cheb-1606Research ArticleСтатьиArticleГладкое многообразие решётокSmooth variety of latticesСмирноваЕлена НиколаевнаSmirnovaElena Nikolaevnahelenash@mail.ruПихтильковаОльга АлександровнаPikhtilkovaOlga Alexandrovna

кандидат физико-математических наук, доцент

candidate of physics and mathematics sciences, associate professor

opikhtilkova@mail.ruДобровольскийНиколай НиколаевичDobrovol’skiiNikolai Nikolaevich

кандидат физико-математических наук

candidate of physical and mathematical sciences

nikolai.dobrovolsky@gmail.comРеброваИрина ЮрьевнаRebrovaIrina Yuryevna

кандидат физико-математических наук, доцент

candidate of physical and mathematical sciences, associate professor

i_rebrova@mail.ruДобровольскийНиколай МихайловичMikhailovichDobrovol’skii Nikolai

доктор физико-математических наук, профессор

doctor of physical and mathematical sciences, professor

dobrovol@tsput.ruОренбургский государственный университетРоссияOrenburg State UniversityRussian FederationРоссийский технологический университет «МИРЭА»РоссияRussian technological University “MIREA”Russian FederationТульский государственный педагогический университет им. Л. Н. ТолстогоРоссияTula State Lev Tolstoy Pedagogical UniversityRussian Federation202325012024244299310Copyright © Смирнова Е.Н., Пихтилькова О.А., Добровольский Н.Н., Реброва И.Ю., Добровольский Н.М., 20232023Смирнова Е.Н., Пихтилькова О.А., Добровольский Н.Н., Реброва И.Ю., Добровольский Н.М.Smirnova E.N., Pikhtilkova O.A., Dobrovol’skii N.N., Rebrova I.Y., Mikhailovich D.N.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.chebsbornik.ru/jour/article/view/1606

В предыдущей работе авторов заложены основы теории гладких многообразий теоретико-числовых решёток. Рассмотрен простейший случай одномерных решёток.В данной статье рассмотрен общий случай многомерных решёток.Отметим, что геометрия метрического пространств многомерных решёток гораздо сложнее чем геометрия обычного евклидова пространства. Это видно из парадокса неаддитивности длины отрезка в пространстве сдвинутых одномерных решёток. Из наличия этого парадокса следует, что стоит открытой проблема описания геодезических линий в пространствах многомерных решёток, а так же в нахождении формулы для длины дуглиний в этих пространствах. Естественно, что было бы интересно не только описание этих объектов, но и получения теоретико-числовой интерпретации этих понятий.Дальнейшем направлением исследованием может быть изучение аналитического продолжения гиперболической дзета-функции на пространствах многомерных решёток. Как известно, аналитическое продолжение гиперболической дзета-функции решёток построено для произвольной декартовой решётки. Не изучен даже вопрос о непрерывности этих аналитических продолжений в левой полуплоскости на пространстве решёток. Всё это, на наш взгляд, актуальные направления дальнейших исследований.

In the previous work of the authors, the foundations of the theory of smooth manifolds of number-theoretic lattices were laid. The simplest case of one-dimensional lattices was considered.This article considers the general case of multidimensional lattices.Note that the geometry of the metric spaces of multidimensional lattices is much more complex than the geometry of ordinary Euclidean space. This is evident from the paradox of the non-additivity of the length of a segment in the space of shifted one-dimensional lattices.From the presence of this paradox it follows that there is an open problem of describing geodesic lines in spaces of multidimensional lattices, as well as in finding a formula for the length of arcs of lines in these spaces. Naturally, it would be interesting not only to describe these objects, but also to obtain a number-theoretic interpretation of these concepts.A further direction of research could be the study of the analytical continuation of the hyperbolic zeta function on spaces of multidimensional lattices. As is known, the analytical continuation of the hyperbolic zeta function of lattices was constructed for an arbitraryCartesian lattice. Even the question of the continuity of these analytic continuations in the left half-plane in lattice space has not been studied. All of these, in our opinion, are relevant areas for further research.

алгебраические решёткиметрическое пространство решёток.algebraic latticesa metric space lattices.Работа выполнена по гранту РНФ № 23-21-00317 «Геометрия чисел и диофантовы приближения в теоретико-числовом методе в приближенном анализе»ReferencesАрнольд В. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. — М.: Наука. 1975. — 240 с.Arnold V. I., 1975, “Ordinary differential equations”, M .: Science, 240 p.Л. П. Добровольская, М. Н. Добровольский, Н. М. Добровольский, Н. Н. Добровольский. Гиперболические дзета-функции сеток и решёток и вычисление оптимальных коэффициентов // Чебышевский сборник 2012. Т. 13, вып. 4(44). С. 4–107.Dobrovol’skaya, L. P., Dobrovol’skii, M. N., Dobrovol’skii, N. M. & Dobrovol’skii, N. N. 2012, “The hyperbolic Zeta function of grids and lattices, and calculation of optimal coefficients”, Chebyshevskii sbornik, vol. 13, no. 4(44), pp. 4-–107.Н. М. Добровольский Оценки отклонений обобщенных параллелепипедальных сеток. Деп. в ВИНИТИ 24.08.84. № 6089–84.Dobrovol’skii, N. M. 1984, “Evaluation of generalized variance parallelepipedal grids”, Dep. v VINITI, no. 6089–84.Н. М. Добровольский О квадратурных формулах на классах 𝐸^𝛼_𝑠 (𝑐) и 𝐻^𝛼_𝑠 (𝑐). Деп. в ВИНИТИ 24.08.84. № 6091–84.Dobrovol’skii, N. M. 1984, “On quadrature formulas in classes 𝐸^𝛼_𝑠 (𝑐) and 𝐻^𝛼_𝑠 (𝑐)”, Dep. v VINITI, no. 6091–84.Добровольский Н. М. Гиперболическая дзета функция решёток. Деп. в ВИНИТИ 24.08.84, № 6090–84.Dobrovolskiy N. M. Hyperbolic zeta function of lattices. Dep. in VINITI 08.24.84, no. 6090-84.Добровольский Н. М. Многомерные теоретико-числовые сетки и решетки и их приложения к приближенному анализу // Сб. IV Международная конференция „Современные проблемы теории чисел и ее приложения“ посвященная 180-летию П. Л. Чебышева и 110-летию И. М. Виноградова. Тула, 10—15 сентября, 2001 Актуальные проблемы Ч. I. М. МГУ, 2002. С. 54—80.Dobrovolsky N. M. 2001, “Multidimensional number-theoretic grids and lattices and their applications to approximate analysis”, Sb. IV International conference „Modern problems of number theory and its applications “dedicated to the 180-th anniversary of P. L. Chebyshev and 110-th anniversary of I. M. Vinogradov. Tula, 10 — 15 September, Actual problems Ch. I. M. MGU. pp. 54–80.Добровольский Н. М. Многомерные теоретико-числовые сетки и решётки и их приложения / Н. М. Добровольский. — Тула: Изд-во Тул. гос. пед. ун-та им. Л. Н. Толстого, 2005.Dobrovol’skii, N. M. 2005, “Mnogomernye teoretiko-chislovye setki i reshyotki i ikh prilozheniya [Multidimensional number-theoretic grids and lattices and their applications]”, Izdatel’stvo Tul’skogo gosudarstvennogo pedagogicheskogo universiteta imeni L. N. Tolstogo, Tula, Russia.Н. М. Добровольский, Н. Н. Добровольский, В. Н. Соболева, Д. К. Соболев, Л. П. Добровольская, О. Е. Бочарова. О гиперболической дзета-функции Гурвица, Чебышевский сб., 2016, том 17, вып. 3, С. 72—105.N. M. Dobrovolsky, N. N. Dobrovolsky, V. N. Soboleva, D. K. Sobolev, L. P. Dobrovol’skaya, O. E. Bocharova, 2016, “On hyperbolic Hurwitz zeta function” , Chebyshevskii sbornik, vol 17, no. 3, pp. 72–105.Добровольский Н. М., Манохин Е. В., Реброва И. Ю., Рощеня А. Л. О непрерывности дзета-функции сетки с весами // Известия ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика. Т. 7, вып. 1. — Тула, 2001. С. 82–86.Dobrovol’skii N.M., Manokhin E.V., Rebrova I. Yu., Roshchenya A.L., 2001, “On the continuity of the zeta function of a grid with weights”, Izvestiya TulGU. Seriya Matematika. Mekhanika. Informatika, vol. 7, no. 1, pp. 82–86.Добровольский Н. М., Реброва И. Ю., Рощеня А. Л. Непрерывность гиперболической дзета-функции решёток // Мат. заметки. Т. 63. Вып. 4. 1998. C. 522–526.Dobrovol’skij, N.M., Rebrova, I.YU. & Roshhenya, А.L. 1998, “Continuity of the hyperbolic zeta function of lattices”, Matematicheskie zametki (Mathematical Notes), vol. 63, no. 4, pp. 522–526.Добровольский Н. М., Рощеня А. Л. О числе точек решётки в гиперболическом кресте // Алгебраические, вероятностные, геометрические, комбинаторные и функциональные методы в теории чисел: Сб.тез. докл. II Междунар. конф. Воронеж, 1995. C. 53.N. M. Dobrovol’skii, A. L. Roshchenya, “Number of lattice points in the hyperbolic cross”, Math. Notes, 63:3 (1998), 319–324.Добровольский Н. М., Рощеня А. Л. О непрерывности гиперболической дзета-функции решёток // Изв. Тул. гос. ун-та. Сер. Математика. Механика. Информатика. Т. 2. Вып. 1. Тула: Изд–во ТулГУ, 1996. С. 77 — 87.Dobrovolskiy N. M., Roshchenya A. L., 1995, “On the number of points of a lattice in a hyperbolic cross”, Algebraic, probabilistic, geometric, combinatorial and functional methods in number theory: Collected tez. report II Int. conf. Voronezh, p. 53.Добровольский Н. М., Рощеня А. Л. О числе точек решётки в гиперболическом кресте // Мат. заметки. Т. 63. Вып. 3. 1998. C. 363–369.Dobrovol’skii N. M., Roshchenya A. L., 1996, “On the continuity of the hyperbolic zeta-function of lattices”, Izv. Toole. state un-that. Ser. Mathematics. Mechanics. Computer science. Vol. 2. Iss. 1. Tula: Publishing house of Tula State University, p. 77–87.Касселс Дж. В. С. Введение в геометрию чисел. — М.: Мир, 1965. — 420 с.Kassels, D. 1965, “Vvedenie v geometriyu chisel [Introduction to the geometry of numbers]”, Mir, Moscow, Russia.А. Н. Кормачева. Приближение квадратичных алгебраических решёток целочисленными решётками — II // Чебышевcкий сборник, 2019, т. 21, вып. 3, с. 215–222.A. N. Kormacheva, 2020, “Approximation of quadratic algebraic lattices by integer lattices – II” , Chebyshevskii sbornik, vol. 21, no. 3, pp. 215–222.Коробов Н. М. Теоретико-числовые методы в приближенном анализе. М.: Физматгиз, 1963.Korobov, N.M. 1963, “Teoretiko-chislovye metody v priblizhennom analize [Number-theoretic methods in approximate analysis]”, Fizmat-giz, Moscow, Russia.Коробов Н. М. Теоретико-числовые методы в приближенном анализе. (второе издание) М.: МЦНМО, 2004. 288 с.Korobov, N.M. 2004, “Teoretiko-chislovye metody v priblizhennom analize [Number-theoretic methods in approximate analysis]”, 2nd ed, MTSNMO, Moscow, Russia.Реброва И. Ю. Непрерывность обобщенной гиперболической дзета–функции решёток и ее аналитическое продолжение // Изв. ТулГУ. Сер. Механика. Математика. Информатика. Тула, 1998. Т.4. Вып.3. С. 99–108.Rebrova, I. YU. 1998, “The continuity of the generalized hyperbolic zeta lattice function and its analytic continuation”, Izvestiya TulGU. Seriya Matematika. Mekhanika. Informatika, vol. 4, no. 3, pp. 99—108.Е. Н. Смирнова, О. А. Пихтилькова, Н. Н. Добровольский, Н. М. Добровольский. Алгебраические решётки в метрическом пространстве решёток // Чебышевский сб. 2017. Т. 18, вып. 4. С. 326–338.E. N. Smirnova, O. A. Pikhtilkova, N. N. Dobrovolsky, N. M. Dobrovolsky., 2017, “Algebraic lattices in the metric space of lattices”, Chebyshevskii sbornik, vol. 18, no. 4, p. 326–338.Е. Н. Смирнова, О. А. Пихтилькова, Н. Н. Добровольский, И. Ю. Реброва, Н. М. Добровольский. Гладкое многообразие одномерных решёток // Чебышевcкий сборник. 2020. Т. 21, вып. 3, С. 165–185.E. N. Smirnova, O. A. Pikhtil’kova, N. N. Dobrovol’skii, I. Yu. Rebrova, N. M. Dobrovol’skii, 2020, “Smooth manifold of one-dimensional lattices” , Chebyshevskii sbornik, vol. 21, no. 3, pp. 165–185.Уорнер Ф. Основы теории гладких многообразий и группы Ли. — М.: Мир, 1987. — 304 с.Warner F. 1987, “Foundations of the theory of smooth manifolds and Lie groups”, M .: Mir, 304 p.Т. С. Шмелева. Непрерывность гиперболического параметра решеток // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. 2009. Вып. 3. С. 92–99.Shmeleva, T. S., 2009, “Continuity of the hyperbolic parameter of lattices” , Izvestiya Tula State University. Natural sciences, Iss. 3. pp. 92–99.L. P. Dobrovolskaya, M. N. Dobrovolsky, N. M. Dobrovol’skii, N. N. Dobrovolsky. On Hyperbolic Zeta Function of Lattices. In: Continuous and Distributed Systems. Solid Mechanics and Its Applications. Vol. 211. 2014. P. 23–62. DOI:10.1007/978-3-319-03146-0_2.L. P. Dobrovolskaya, M. N. Dobrovolsky, N. M. Dobrovol’skii, N. N. Dobrovolsky, 2014, “On Hyperbolic Zeta Function of Lattices” . In: Continuous and Distributed Systems. Solid Mechanics and Its Applications. Vol. 211. pp. 23–62. DOI:10.1007/978-3-319-03146-0_2.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.