chebЧебышевский сборникChebyshevskii Sbornik2226-8383Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University10.22405/2226-8383-2023-24-4-264-298cheb-1605Research ArticleСтатьиArticleОбобщение тернарной проблемы Гольдбаха с почти равными слагаемымиGeneralization of Goldbach’s ternary problem with almost equal termsРахмоновЗарулло ХусеновичRakhmonovZarullo Khusenovich

доктор физико-математических наук, профессор, академик НАН Таджикистана, директор Института математики им. А. Джураева

doctor of physical and mathematical sciences, professor, academician of the National Academy of Sciences of Tajikistan, director of the A. Dzhuraev Institute of Mathematics

zarullo-r@rambler.ruАллаковИсмаилAllakovIsmail

доктор физико-математических наук, профессор

doctor of physical and mathematical sciences, professor

iallakov@mail.ruАбраевБахром ХолтораевичAbraevBahrom Kholtoraevichbabrayev@mail.ruНациональная академия наук Таджикистана; Институт математики им. А. ДжураеваУзбекистанNational Academy of Sciences of Tajikistan, A. Dzhuraev Institute of MathematicsUzbekistanТермезский государственный университетУзбекистанTermez State UniversityUzbekistan202325012024244264298Copyright © Рахмонов З.Х., Аллаков И., Абраев Б.Х., 20232023Рахмонов З.Х., Аллаков И., Абраев Б.Х.Rakhmonov Z.K., Allakov I., Abraev B.K.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.chebsbornik.ru/jour/article/view/1605

Получена асимптотическая формула для количества представлений достаточно большого натурального 𝑁 в виде 𝑏_1 𝑝_1 + 𝑏_2 𝑝_2 + 𝑏_3 𝑝_3 = 𝑁 с условиями

$$ |𝑏_𝑖 𝑝_𝑖 - N/3|⩽ 𝐻, 𝐻 ⩾ (𝑏_1*𝑏_2*𝑏_3)^(4/3)𝑁^2/3)(ln𝑁)&60, 𝑏_𝑖 ⩽ (ln𝑁)^(𝐵_𝑖), $$

где 𝑏_1, 𝑏_2 𝑏_3, 𝑁 – попарно взаимно простые натуральные числа, 𝐵𝑖 — произвольные фиксированные положительные числа.

An asymptotic formula is obtained for the number of representations of a sufficiently large natural 𝑁 in the form 𝑏_1𝑝_1 + 𝑏_2𝑝_2 + 𝑏_3𝑝_3 = 𝑁 with the conditions

$$ |𝑏_𝑖 𝑝_𝑖 - N/3|⩽ 𝐻, 𝐻 ⩾ (𝑏_1*𝑏_2*𝑏_3)^(4/3)𝑁^2/3)(ln𝑁)&60, 𝑏_𝑖 ⩽ (ln𝑁)^(𝐵_𝑖), $$

where 𝑏_1, 𝑏_2, 𝑏_3, 𝑁 are pairwise coprime natural numbers, 𝐵_𝑖 — arbitrary fixed positive numbers

тернарная проблема Гольдбахапочти равные слагаемыекороткая тригонометрическая сумма с простыми числамималая окрестность центров больших дуг.Goldbach problemalmost equal termsshort exponential sum with primessmall neighborhood of centers of major arcs.ReferencesВиноградов И. М. Избранные труды — М: Изд-во АН СССР, 1952 г.Vinogradov, I. M., 1952, Izbrannye trudy. (Russian) [Selected works.], Izdat. Akad. Nauk SSSR, Moscow.Виноградов И. М., Карацуба А. А. Метод тригонометрических сумм в теории чисел // Труды МИАН СССР. 1984. Т. 77. С. 4 – 30.Vinogradov, I. M., & Karatsuba, A. A., 1986, “The method of trigonometric sums in number theory”, Proc. Steklov Inst. Math., vol. 168, pp. 3-30.Haselgrove C. B. Some theorems in the analitic theory of number // J. London Math. Soc. 1951. V. 26. P. 273 – 277.Haselgrove C. B., 1951, “Some theorems in the analitic theory of number”, J. London Math. Soc., vol. 26, pp. 273-277.Pan Cheng-dong, Pan Cheng-biao. On estimations of trigonometric sums over primes in short intervals (III) // Chinese Ann. of Math. 1990. V. 2. P. 138 – 147.Pan Chengdong, Pan Chengbiao, 1990, “On estimations of trigonometric sums over primes in short intervals (III)”, Chinese Ann. of Math., vol. 2, pp. 138-147.Zhan T. On the Representation of large odd integer as a sum three almost equal primes // Acta Math Sinica. New ser. 1991. V. 7, No 3. P. 135 – 170.Zhan, T., 1991, “On the Representation of large odd integer as a sum three almost equal primes”, Acta Math Sinica. New ser., vol. 7, Is. 3, pp. 135 – 170.Jutila M. Mean value etstimates for exponential sums with applications to 𝐿-functions // Acta Arithmetica. 1991. V. 57. Is. 2. P. 93 – 114.Jutila, M., 1991, “Mean value etstimates for exponential sums with applications to 𝐿-functions”, Acta Arithmetica, vol. 57, Is. 2, pp. 93 – 114.Jia Chao-hua. Three primes theorem in a short interval (VII) // Acta Mathematica Sinica. New ser. 1994. V. 10, No 4. P. 369 – 387.Jia Chao-hua, 1994, “Three primes theorem in a short interval (VII)//, Acta Mathematica Sinica. New ser., vol. 10, No 4, pp. 369 – 387.Baker A. On some diophantine inequalities involving primes // J. Reine Angew. Math. 1967. V. 228. P. 166 – 181.Baker A., 1967, “On some diophantine inequalities involving primes”, J. Reine Angew. Math., vol. 228, pp. 166 – 181.Аллаков И. Оценка тригонометрических сумм и их приложения к решению некоторых аддитивных задач теории чисел — Термез. Изд. «Сурхан нашр». 2021. 160 c.Allakov I., 2021, Otsenka trigonometricheskikh summ i ikh prilozheniya k resheniyu nekotorykh additivnykh zadach teorii chisel. (Russian) [Estimation of exponential sums and their applications to the solution of some additive problems in number theory], Termez. Ed. “Surkhan nashr”.Рахмонов З. Х. Тернарная задача Эстермана с почти равными слагаемыми // Математические заметки. 2003. Т. 74, вып. 4. С. 564 – 572.Rakhmonov Z. Kh., 2003, “Estermann’s ternary problem with almost equal summands”, Mathematical Notes, vol. 74, Is. 4, pp. 534-542.Рахмонов З. Х., Мирзоабдугафуров К. И. Проблема Варинга для кубов с почти равными слагаемыми // Доклады Академии наук Республики Таджикистан, 2008. Т. 51. № 2. С. 83 – 86.Rakhmonov Z. Kh., & Mirzoabdugafurov K. I., 2008, “Waring’s problem for cubes with almost equal summands”, Doklady Akademii nauk Respubliki Tajikistan, vol. 51, no 2, pp. 83-86, (in Russian).Рахмонов З. Х., Азамов А. З. Асимптотическая формула в проблеме Варинга для четвертых степеней с почти равными слагаемыми // Доклады Академии наук Республики Таджикистан. 2011. Т. 54. № 3. С. 34 – 42.Rakhmonov Z. Kh., & Azamov A. Z., 2011, “An asymptotic formula in Waring’s problem for fourth powers with almost equal summands”, Doklady Akademii nauk Respubliki Tajikistan, vol. 54, no 3, pp. 34-42, (in Russian).Рахмонов З. Х. Кубическая задача Эстермана с почти равными слагаемыми // Математические заметки. 2014. Т. 95, вып. 3. С. 445 – 456.Rakhmonov, Z. Kh., 2014, “The Estermann cubic problem with almost equal summands“, Mathematical Notes, vol. 95, Is. 3-4, pp. 407–417. doi.org/10.1134/S0001434614030122.Рахмонов З. Х., Назрублоев Н. Н., Рахимов А. О. Короткие суммы Г. Вейля и их приложения // Чебышевский сборник. 2015. Т. 16, вып. 1(53). С. 232 – 247.Rakhmonov Z. Kh., & Nazrubloev N. N., Rakhimov A.O., 2015, “Short Weyl sums and their applications”, Chebyshevskii Sbornik, vol. 16, Is. 1, pp. 232–247, (in Russian).Рахмонов З. Х. Обобщение проблемы Варинга для девяти почти пропорциональных кубов // Чебышевский сборник. 2023. Т. 24, вып. .... С. ... – ....Rakhmonov, Z. Kh., 2023, “Generalization of Waring’s problem for nine almost proportional cubes”, Chebyshevskii Sbornik, vol. 24, Is. ..., pp. ... – ..., (in Russian).Рахмонов З. Х. Оценка коротких тригонометрических сумм с простыми числами в длинных дугах // Чебышевский сборник. 2021. Т. 22, вып. 4(81). С. 199 – 223.Rakhmonov, Z. Kh., 2021, “Estimates of short exponential sums with primes in major arcs”, Chebyshevskii Sbornik, vol. 22, Is. 4(81), pp. 199 – 223, (in Russian).Рахмонов З. Х., Рахмонов Ф. З. Короткие кубические суммы простыми числами // Труды Математического института им. В. А. Стеклова Российской академии наук. 2016. Т. 296. С. 220 – 242. https://doi.org/10.1134/S0371968517010174.Rakhmonov, Z. Kh.,& Rakhmonov, F. Z., 2017, “Short Cubic Exponential Sums over Primes”, Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, vol. 296, pp. 211 – 233. doi.org/10.1134/S0081543817010175Рахмонов З. Х. Теорема о среднем значении 𝜓(𝑥, 𝜒) и ее приложения // Известия РАН. Сер. матем. 1993. Т. 57, № 4. С. 55 – 71.Rakhmonov, Z. Kh., 1994, “Theorem on the mean value of 𝜓(𝑥, 𝜒) and its applications”, Russian Academy of Sciences. Izvestiya Mathematics, vol. 43, Is. 1, pp. 49 – 64. doi.org/10.1070/IM1994v043n01ABEH001558Рахмонов Ф З. Оценка квадратичных тригонометрических с простыми числами // Вестник Московского университета. Серия 1: Математика. Механика. 2011. № 3. С. 56 – 60.Rahmonov, F. Z., 2011, “Estimate of quadratic trigonometric sums with prime numbers”, Vestnik Moskov. Univ. Ser. 1. Mat. Mekh., no. 3, pp. 56 – 60.Рахмонов З. Х., Рахмонов Ф. З. Сумма коротких тригонометрических сумм с простыми числами // Доклады Академии наук. 2014. Т. 459, № 2. С. 156 – 157.Rakhmonov, Z. Kh.,& Rakhmonov, F. Z., 2014, “Sum of short exponential sums over prime numbers”, Doklady Mathematics, vol. 90, No 3, pp. 699–700. doi.org/10.1134/S1064562414070138.Рахмонов З. Х., Рахмонов Ф. З. Тригонометрические суммы с функцией Мёбиуса // Чебышевский сборник. 2019. Т. 20, вып 4. С. 281 – 305.Rakhmonov Z. Kh., Rahmonov F. Z., 2019, “Short cubic exponential sums with M¨obius function”, Chebyshevskii Sb., vol. 20. № 4(72). pp. 281 – 305, doi.org/10.22405/2226-8383-2018-20-4-281-305.Карацуба А. А. Основы аналитической теории чисел — М.:, Наука, 1983.Karatsuba A. A., 1993, Basic analytic number theory, Springer-Verlag, Berlin, xiv+222 pp.Дэвенпорт X. Мультипликативная теория чисел — М.: Наука. 1971 г.Davenport H., 1967, Multiplicative Number Theory, Markham Publishing Company, Chigago.Архипов Г. И., Карацуба А. А., Чубариков В. Н. Теория кратных тригонометрических сумм — М.: Наука. 1987 г. 368 с.Arkhipov G. I. & Chubarikov V. N. & Karatsuba A. A. 2004. Trigonometric sums in number theory and analysis, Berlin–New-York: Walter de Gruyter, 554 p.Прахар К. Распределение простых чисел — М.: Мир. 1967 г.Prachar K., 1957, Primzahlverteilung, Springer-Verlag.Рахмонов З. Х. Оценка плотности нулей дзета функции Римана // УМН. 1994. T. 49, Вып. 1. С. 161 – 162.Rakhmonov Z. Kh., 1994, “Estimate of the density of the zeros of the Riemann zeta function”, Russian Math. Surveys, vol. 49, is. 2, pp. 168–169.Марджанишвили К. К. Оценка одной арифметической суммы // ДАН СССР. 1939. Т. 22, № 7. 391 – 393.Vinogradov, I. M., 1976, Osobye varianty metoda trigonometricheskikh summ (Russian) [Special variants of the method of trigonometric sums], Izdat. “Nauka”, Moscow. 119 p.Виноградов И. М. Особые варианты методов тригонометрических сумм — М.: Наука. 1976 г.Mardjhanashvili, K. K., 1939, “An estimate for an arithmetic sum”, Doklady Akad. Nauk SSSR, vol. 22, no 7, pp. 391–393.Huxley М. N. On the differences between consecutive primes // Inventiones mathematicae. 1972. V. 15. P. 164—170.Huxley М. N., 1972, “On the differences between consecutive primes”, Inventiones mathematicae, vol. 15, pp. 164 – 170.Уиттекер Э. Т., Ватсон Дж. Н. Курс современного анализа, ч. 1. Основные операции анализа — М.: Физматгиз. Изд. 2–е. Перев. с англ. 1963. 342 с.Whittaker G. E.,& Watson T. N., 1915, A Course of Modern Analysis. Part 1. The processes of analysis. Part 2. The transcendental functions, Cambridge, Cambridge University Press, 620.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.