доктор физико-математических наук, профессор
doctor of physical and mathematical sciences, professor
кандидат физико-математических наук
candidate of physical and mathematical sciences, associate professor
кандидат физико-математических наук, доцент
candidate of physical and mathematical sciences, associate professor
Работа посвящена некоторым арифметическим применениям к теории симметрических групп. С помощью свойств сравнений и классов вычетов из теории чисел установлено существование в симметрической группе 𝑆_𝑛 степени 𝑛 циклических, абелевых и неабелевых подгрупп соответственно порядков 𝑘, 𝜙(𝑘) и 𝑘𝜙(𝑘), где 𝑘 ≤ 𝑛, 𝜙 – функция Эйлера, т.е. получены представления групп (Z/𝑘Z, +), (Z/𝑘Z)* и их произведения через подстановки степени 𝑘. При этом изоморфные вложения этих групп строятся, следуя доказательству теоремы Кэли, но наряду с этим используется понятие линейного перестановочного двучлена 𝑎𝑥 + 𝑏 кольца вычетов Z/𝑘Z, где НОД(𝑎, 𝑘) = 1.Кроме того, результат, относящийся к изоморфному вложению группы (Z/𝑘Z)* в группу 𝑆_𝑘 распространяется на знакопеременную группу 𝐴_𝑘 при нечётных 𝑘.Во второй части работы рассматриваются некоторые применения теории простых чисел к циклическим подгруппам симметрической группы 𝑆_𝑛. В частности, применяя формулусуммирования Эйлера-Маклорена и оценки для 𝑘-го простого числа, получена нижняя оценка для максимального числа простых делителей порядков циклических подгрупп в симметрической группе 𝑆_𝑛.
The work is devoted to some arithmetic applications to the theory of symmetric groups.Using the properties of congruences and classes of residues from number theory, the existence in the symmetric group 𝑆_𝑛 of degree 𝑛 of cyclic, Abelian and non-Abelian subgroups respectively, of orders is establisned 𝑘, 𝜙(𝑘), and 𝑘𝜙(𝑘), where 𝑘 ≤ 𝑛, 𝜙 – Euler function, those representations jf grups (Z/𝑘Z, +), (Z/𝑘Z)* and theorem product in the form of degree substitutions 𝑘. In this case isomorphic embeddings of these groups are constructed following the proof of Cayley’s theorem,but along with this, a linear binomial is used Z/𝑘Z residue class rings, where gcd (𝑎, 𝑘) = 1.In addition, the result concerning the isomorphic embedding of a group (Z/𝑘Z)* in to a group (Z/𝑘Z)* in to a group 𝑆_𝑘 extends to an alternating group 𝐴_𝑘 for odd 𝑘.The second part of the work examines some applications of prime number theory to cyclic subgroups of the symmetric group 𝑆_𝑛. In particular, applying the Euler-Maclaurin summation formula and bounds for the 𝑘 in prime, a lower bound for maximum number of prime divisors of cyclic orders in the symmetric group 𝑆_𝑛.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.