chebЧебышевский сборникChebyshevskii Sbornik2226-8383Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University10.22405/2226-8383-2023-24-4-239-251cheb-1603Research ArticleСтатьиArticleМатричные интегральные преобразования для моделирования волновых процессов в кусочно-однородных средахGeneralized Laplace Transform Based on the Differentiation Operator With Piecewise Constant CoefficientsНижниковАлександр ИвановичNizhnikovAlexander Ivanovichnizhnikov.ai@mail.ruЯремкоОлег ЭммануиловичYaremkoOleg Emmanuilovichyaremki8@gmail.comЯремкоНаталья НиколаевнаYaremkoNatalya Nikolaevnayaremki@yandex.ruМосковский педагогический государственный университетРоссияMoscow State Pedagogical UniversityRussian FederationМосковский государственный технический университет «Станкин»РоссияMoscow State Technical University “Stankin”Russian FederationНациональный исследовательский технологический уни- верситет «МИСиС»РоссияNational Research Technological University “MISiS”Russian Federation202325012024244239251Copyright © Нижников А.И., Яремко О.Э., Яремко Н.Н., 20232023Нижников А.И., Яремко О.Э., Яремко Н.Н.Nizhnikov A.I., Yaremko O.E., Yaremko N.N.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.chebsbornik.ru/jour/article/view/1603

В статье развивается теория матричных интегральных преобразований Фурье на основе дифференциального оператора с кусочно-постоянными матричными коэффициентами.Дается определение матричного преобразования Фурье, изучаются его свойства и приложения к моделированию взаимосвязанных волновых процессов в кусочно однородных средах. Доказана формула обращения для матричного интегрального преобразования Фурье.Выявлены существенные отличия от скалярного случая. Развита техника применения матричного преобразования Фурье для решения взаимосвязанных смешанных краевых задач для систем дифференциальных уравнений гиперболического типа с матричными кусочно-постоянными коэффициентами. Найдено решение векторного аналога задачи о распространении волн в бесконечной струне с двумя участками различной плотности. Найден векторный аналог формулы Даламбера. Получено решение смешанной начально-краевой задачи для системы дифференциальных уравнений параболического типа, описывающей 𝑛− компонентную модель взаимосвязанного процесса тепломассопереноса в двухслойной среде.

The paper develops the theory of matrix integral Fourier transforms based on a differential operator with piecewise constant matrix coefficients. The definition of the matrix Fourier transform is given, its properties and applications to the modeling of interrelated wave processes in piecewise homogeneous media are studied. An inversion formula for the matrix integral Fourier transform is proved. Significant differences from the scalar case are revealed. A technique for applying the matrix Fourier transform to solving interrelated mixed boundary value problems for systems of hyperbolic differential equations with matrix piecewise constant coefficients is developed. A solution is found for the vector analog of the problem of wave propagation inan infinite string with two regions of different density. A vector analogue of the d’Alembert formula is found. A solution is obtained for a mixed initial-boundary value problem for a system of differential equations of parabolic type, which describes an 𝑛 component model of an interconnected process of heat and mass transfer in a two-layer media.

Матричное интегральное преобразование Фурьеформула Даламбераматричная экспонентакусочно-однородная среда.Matrix integral Fourier transformd’Alembert formulamatrix exponentialpiecewise homogeneous mediaReferencesБаврин И.И., Яремко О.Э. Операторный метод в теории интегральных преобразований для кусочно–однородных сред. Докл. РАН.–2001.– Т.379, № 3.–с.295–298.I. I. Bavrin, O. E. Yaremko, Transformation Operators and Boundary Value Problems, Differ. Uravn., 40:8 (2004), 1085–1095.Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. Физматлит, 2010 г. 560 С.Gantmakher F. R. Theory of matrices. New York: Chelsea Pub. Co. 1959.Ефимова И. Т. Об одном классе сингулярных задач, разрешимых с помощью специальных интегральных преобразований по цилиндрическим функциям, Дифференц. уравнения, 1972, Т. 8, №5.- с. 817–822.I. T. Efimova, “A certain class of singular problems that can be solved by means of special integral transformations with respect to cylindrical functions”, Differ. Uravn., 8:5 (1972), 817–822.Ильин В. А. Формула типа Даламбера для поперечных колебаний бесконечного стержня, состоящего из двух участков разной плотности. Докл. РАН, 2009, Т.427, №5.- с. 609–611.V. A. I’lin, d’Alembert-type formula for transverse oscillations of an infinite rod consisting of two segments with different densities, Dokl. Math., 80:1 (2009), 624–626.Ильин В. А. Формула типа Даламбера для продельных колебаний бесконечного стержня, состоящего из двух участков разной плотности и разной упругости”, Докл. РАН, Т.427, №4.- с. 466–468.V. A. I’lin, A d’Alembert-type formula for longitudinal oscillations of an infinite rod consisting of two segments with different densities and elasticities, Dokl. Math., 80:1 (2009), 613–615.Карташов Э. М. Аналитические подходы к исследованиям нестационарной теплопроводности для частично ограниченных областей. ТВТ, 2020. Т.58, №3.- с. 402–411.E. M. Kartashov, Analytical approaches to the analysis of unsteady heat conduction for partially bounded regions, TVT, 58:3 (2020), 402–411.Коляно Ю. М., Процюк Б. В., Драпкин Б. А., Функция Грина для пространственных стационарных задач теплопроводности многослойного тела. Дифференц. уравнения, 1992,Т.28, №3.- с. 524–527.Yu. M. Kolyano, B. V. Protsyuk, B. A. Drapkin, “The Green function for spatial stationary problems of heat conduction of a multilayer body”, Differ. Uravn., 28:3 (1992), 524–527.Лексина, С. В. Начальные задачи для системы волновых уравнений. Вестн. Сам. гос. техн. ун–та. Сер. Физ.–мат. науки. –2009. – Т.1,№ 18. –с.280–282.S. V. Leksina. Initial Value Problems for System of Wave Equations, Vestn. Samar. Gos. Tekhn. Univ., Ser. Fiz.-Mat. Nauki, 1(18) (2009), 280–282.Ленюк М. П. Интегральное преобразование Фурье на кусочно-однородной полупрямой. Изв. вузов. Матем., 1989, 5, с.14–18.M. P. Lenyuk. An integral Fourier transform on a piecewise-inhomogeneous half-line. Soviet Math. (Iz. VUZ), 33:5, 1989, 19–24 pp.Лыков А. В. Теория теплопроводности. Москва. Высшая школа, 1967. - 599 с.A.V, Lykov. Teoriia teploprovodnosti [Theory of heat conduction]."Moscow, Vysshaia shkola publ. (1967).Лыков А.В. Теория сушки. М.: Энергия, 1968. – 472 с.Lykov A.V. Teoriya sushki [Drying theory], Moscow: Energy, 1968, 472 p. (In Russ.)Марченко В.А. Операторы Штурма–Лиувилля и их приложения. Киев: Наукова думка. – 1977.–331 с.Marchenko, V.A. Sturm-Liouville Operators and Their Applications. Naukova Dumka, Kiev English Trans Birkhauser, Basel. 1977.Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики: Учебное пособие. — 6-е изд., испр. и доп.. — М.: Изд-во МГУ, 1999. — 798 с.A. N. Tikhonov, A. A. Samarskii. Equations of Mathematical Physics.Dover Publications. 2011. P.800.Уфлянд Я. С. Точное решение задачи нестационарной конвективной диффузии в цилиндре. ЖТФ, 1987, Т.57, №2.- с. 398–400.Ya. S. Uflyand, Correct solution of the nonstationary convective diffusion-problems in cylinders Zhurnal Tekhnicheskoi Fiziki, 57:2 (1987), 398–400 pp.Яремко О. Э. Матричные интегральные преобразования Фурье для задач с n точками деления и операторы преобразования. Доклады Академии наук. – 2007. – Т. 417, № 3. – с. 323–325.Yaremko, O.E. Matrix integral Fourier transforms for problems with discontinuous coefficients and transformation operators. Dokl. Math. 76, 876–878 (2007).Griffiths G.; Schiesser W.E. Traveling Wave Analysis of Partial Differential Equations. Numerical and Analytical Methods with Matlab and Maple. Academic Press.2010, P.461.Griffiths G.; Schiesser W.E. Traveling Wave Analysis of Partial Differential Equations. Numerical and Analytical Methods with Matlab and Maple. Academic Press.2010, P.461.Legua, M.P., Morales, I., S´anchez Ruiz, L.M. The Heaviside Step Function and MATLAB. Computational Science and Its Applications – ICCSA 2008. vol 5072. Springer.Legua, M.P., Morales, I., S´anchez Ruiz, L.M. The Heaviside Step Function and MATLAB. Computational Science and Its Applications – ICCSA 2008. vol 5072. Springer.Polyanin A. D., Manzhirov, A. V. Handbook of Integral Equations, Boca Raton. 1998. CRC Press.Polyanin A. D., Manzhirov, A. V. Handbook of Integral Equations, Boca Raton. 1998. CRC Press.Sitnik S. M., Yaremko O., Yaremko N. Transmutation Operators and Applications. Transmutation Operators Boundary Value Problems, Springer Nature Switzerland, pp.447-466, 2020.Sitnik Sergei M., Yaremko Oleg, Yaremko Natalia. Transmutation Operators and Applications. Transmutation Operators Boundary Value Problems, Springer Nature Switzerland, P.447-466, 2020.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.