chebЧебышевский сборникChebyshevskii Sbornik2226-8383Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University10.22405/2226-8383-2023-24-4-212-238cheb-1602Research ArticleСтатьиArticleИнвариантные дифференциальные полиномыInvariant differential polynomialsМалышевФёдор МихайловичMalyshevFyodor Mikhailovich

доктор физико-математических наук

doctor of physical and mathematical sciences

malyshevfm@mi-ras.ruМатематический институт им. В.А. Стеклова Российской академии наукРоссияSteklov Mathematical Institute of Russian Academy of SciencesRussian Federation202325012024244212238Copyright © Малышев Ф.М., 20232023Малышев Ф.М.Malyshev F.M.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.chebsbornik.ru/jour/article/view/1602

На основе предлагаемого в статье способа решения так называемых (𝑟, 𝑠)-систем линейных уравнений доказано, что порядки однородных инвариантных дифференциальных операторов 𝑛 гладких вещественных функций одной переменной принимают значения от 𝑛 до (𝑛(𝑛+1))/2, а размерность пространства всех таких операторов не превосходит 𝑛!. Получена классификация инвариантных дифференциальных операторов порядка 𝑛 + 𝑠 для 𝑠 = 1, 2, 3, 4, а при 𝑛 = 4 для всех порядков от 4 до 10. Единственные с точностью до множителей однородные инвариантные дифференциальные операторы самого маленькогопорядка 𝑛 и самого большого порядка (𝑛(𝑛+1))/2 предоставлены, соответственно, произведением 𝑛 первых дифференциалов (𝑠 = 0) и вронскианом (𝑠 = (𝑛 − 1)𝑛/2). Доказано существование ненулевых однородных инвариантных дифференциальных операторов порядка 𝑛 + 𝑠 для 𝑠 < ((1+√5)/2)*(𝑛 − 1).

Based on the method proposed in the article for solving the so-called (𝑟, 𝑠)-systems of linear equations proven that the orders of homogeneous invariant differential operators 𝑛 of smooth real functions of one variable take values from 𝑛 to (𝑛(𝑛+1))/2 , and the dimension of the space of all such operators does not exceed 𝑛!. A classification of invariant differential operators of order 𝑛 + 𝑠 is obtained for 𝑠 = 1, 2, 3, 4, and for 𝑛 = 4 for all orders from 4 to 10. The only, up to factors, homogeneous invariant differential operators of the smallest order 𝑛 and the largest order (𝑛(𝑛+1))/2 are given, respectively, by the product of the 𝑛 first differentials (𝑠 = 0 ) andthe Wronskian (𝑠 = (𝑛 − 1)𝑛/2). The existence of nonzero homogeneous invariant differential operators of order 𝑛 + 𝑠 for 𝑠 <((1+√5)/2)*(𝑛 − 1) is proved.

Производнаядифференциалсистема линейных уравненийсимплексинвариантный дифференциальный оператор.Derivativedifferentialsystem of linear equationssimplexinvariant differential operator.ReferencesАрхипов Г.И., Садовничий В.А., Чубариков В.Н. Лекции по математическому анализу. 5-е издание, М.: "Дрофа" , 2004, 640 с.Arkhipov G.I., Sadovnichy V.A., Chubarikov V.N. 2004, “Lectures on mathematical analysis. 5th edition”, M.: “Bustard” , 640 p.Кириллов А.А. Инвариантные операторы над геометрическими величинами. Итоги науки и техники. Т. 16. М.: ВИНИТИ, 1980, c. 3–29.Kirillov A.A. 1980, “Invariant operators over geometric quantities. Results of science and technology”. Vol. 16. M.: VINITI, pp. 3–29.Понтрягин Л.С. Непрерывные группы. 4-е издание, М.: "Наука" , 1984, 520 с.Pontryagin L.S. 1984, “Continuous groups”. 4-th edition, Moscow: Nauka, 520 p.Малышев Ф.М. Симплициальные системы линейных уравнений. В кн.: Алгебра. М.: Изд-во МГУ, 1980, стр. 53-56.Malyshev F. M. 1980, “Simplicial systems of linear equations. In the book: Algebra”, M.: Publishing House of Moscow State University, pp. 53–56.Кострикин А.И., Манин Ю.И. Линейная алгебра и геометрия. М.: Наука, 1986, 304 с.Kostrikin A.I., Manin Yu.I. 1986, “Linear algebra and geometry”, Moscow: Nauka, 304 p.Буаррудж С. Тернарные инвариантные дифференциальные операторы, действующие на пространстве взвешенных плотностей, ТМФ, 158:2 (2009), c. 165–180.Buarrudj S. 2009, “Ternary invariant differential operators acting on the space of weighted densities, TMF, 158:2, pp. 165–180.Кириллов А.А. Об инвариантных дифференциальных операциях над геометрическими величинами. Функц. анализ и его прилож., 1977, 11, № 2, c. 39–44.Kirillov A.A. 1977, “On invariant differential operations on geometric quantities”, Function. analysis and its application, Vol. 11, № 2, pp. 39–44.Рудаков А.Н. Неприводимые представления бесконечномерных алгебр Ли картановского типа. Изв. АН СССР. Сер. мат., 1974, 38, № 4, c. 835–866.Rudakov A.N. 1974, “Irreducible representations of infinite-dimensional Lie algebras of Cartan type. Izv. AN USSR. Ser. mat., Vol. 38, № 4, pp. 835–866.Veblen O. Differential invariants and geometry. Atti del Congr., Int. Mat., Bologna, 1929.Veblen O. 1929, “Differential invariants and geometry”, Atti del Congr., Int. Mat., Bologna.Фейгин Б.Л., Фукс Д.Б. Об инвариантных дифференциальных операторах на прямой. Функц. анализ и его прилож., 1979, 13, № 4, c. 91–92.Feigin B.L., Fuchs D.B. 1979, “On invariant differential operators on a straight line”, Function. analysis and its application., Vol. 13, № 4, pp. 91–92.Грозман П.Я. Классификация билинейных инвариантных операторов над тензорными полями. Функц. анализ и его прилож., 1980, 14, № 2, c. 58–59.Grozman P.Ya. 1980, “Classification of bilinear invariant operators over tensor fields”, Function. analysis and its application., Vol. 14, № 2, pp. 58–59.Бернштейн И.Н., Лейтес Д.А. Инвариантные дифференциальные операторы в формальных тензорных полях. – Сердика, 1981, т. 11, № 4, c. 30–45.Bernstein I.N., Leites D.A. 1981, “Invariant differential operators in formal tensor fields”, Serdika, Vol. 11, № . 4, pp. 30–45.Лейтес Д.А. Неприводимые представления супералгебр Ли векторных полей и инвариантные дифференциальные операторы. Функц. анализ и его прилож., 1982, 16, № 1, c. 76–77.Leites D.A. 1982, “Irreducible representations of Lie superalgebras of vector fields and invariant differential operators”, Function. analysis and its application., Vol. 16, № 1, pp. 76–77.Фейгин Б.Л., Фукс Д.Б. Кососимметрические инвариантные дифференциальные операторы на прямой и модули Верма над алгеброй Вирасоро. Функц. анализ и его прилож., 1982, 16, № 2, c. 47–63.Feigin B.L., Fuchs D.B. 1982, “Skew-symmetric invariant differential operators on a straight line and Verma modules over the Virasoro algebra”, Function. analysis and its application., Vol. 16, № 2, pp. 47–63.Табачников С.Л. Об инвариантных дифференциальных операторах общего положения. Функц. анализ и его прилож., 1982, 16, № 3, c. 86–87.Tabachnikov S.L. 1982, “On invariant differential operators of general position”, Function. analysis and its application., Vol. 16, № 3, pp. 86–87.Шмелёв Г.С. Неприводимые представления бесконечномерных гамильтоновых и пуассоновых супералгебр Ли и инвариантные дифференциальные операторы. – Сердика, 1982, т.12, № 1, c. 11–23.Shmelev G.S. 1982, “Irreducible representations of infinite-dimensional Hamiltonian and Poisson Lie superalgebras and invariant differential operators”, Serdika, Vol. 12, № . 1, pp. 11–23.Шмелёв Г.С. Дифференциальные 𝐻(2𝑛,𝑚)-инвариантные операторы и неразложимые 𝑜𝑠𝑝(2, 2𝑛)-представления. Функц. анализ и его прилож., 1983, 17, № 4, c. 94–95.Shmelev G.S. 1983, “Differential 𝐻(2𝑛,𝑚)-invariant operators and indecomposable 𝑜𝑠𝑝(2, 2𝑛)-representations”, Function. analysis and its application., Vol. 17, № 4, pp. 94–95.Шмелёв Г.С. Инвариантные операторы на симплектическом супермногообразии. Мат. сб. Т. 120(162), № 4, 1983, c. 528–539.Shmelev G.S. 1983, “Invariant operators on a symplectic supermanifold”, Mat. Sat. Vol. 120(162), № 4, pp. 528–539.Iohara K., Mathieu O. A Global version of Grozman’s theorem. Math. Zeitschrift, 274:3 (2013), c. 955–992.Iohara K., Mathieu O. 2013, “A Global version of Grozman’s theorem”, Math. Zeitschrift, 274:3, pp. 955–992.Bouarroudj S., Leites D.A. Invariant differential operators in positive characteristic. J. Algebra. 499 (2018), c. 281–297.Bouarroudj S., Leites D.A. 2018, “Invariant differential operators in positive characteristic”, J. Algebra. 499, pp. 281–297.Grozman P. Invariant bilinear differential operators. Communications in Mathematics, 30:3, (2022), c. 129–188.Grozman P. 2022, “Invariant bilinear differential operators”, Communications in Mathematics, 30:3, pp. 129–188.Стенли Р. Перечислительная комбинаторика. Деревья, производящие функции и симметрические функции. М.: Мир, 2005, 767 с.Stanley R. 2005, “Enumerative combinatorics. Trees producing functions and symmetric functions”, Moscow: Mir, 767 p.Arbogast L. F. A. Du calcul des d´erivations aux s´ries r´currentes, tant simples que doubles or triples, d’un ordre quelconque. — Strasbourg: Levrault, 1800.Arbogast L. F. A. 1800, “Du calcul des d´erivations aux s´ries r´currentes, tant simples que doubles or triples, d’un ordre quelconque”, Strasbourg: Levrault.Fa`a di Bruno F. Sullo sviluppo delle funzioni. Annali di Scienze Matematiche et Fisiche di Tortoloni. 6 (1855), c. 479–480.Fa`a di Bruno F. 1855, “Sullo sviluppo delle funzioni”, Annali di Scienze Matematiche et Fisiche di Tortoloni. 6, pp. 479–480.Fa`a di Bruno F. Note sur une nouvelle formule de calcul diff´erentiel. Quart. J. Math. 1 (1857), c. 359–360.Fa`a di Bruno F. 1857, “Note sur une nouvelle formule de calcul diff´erentiel”, Quart. J. Math., 1, pp. 359–360.Веннинджер М. Модели многогранников. М.: Мир, 1974, 236 с.Wenninger M. 1974, “Models of polyhedra”, M.: Mir, 236 p.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.