аспирант
postgraduate student
кандидат физико-математических наук, доцент
candidate of physical and mathematical sciences, associate professor
В работе рассмотрено множество всевозможных рядов Дирихле, порожденных заданной решёткой, и изучены свойства этого функционального пространства над полем комплексных чисел.Введено новое понятие 𝐶 𝜃-степенная плотность ряда Дирихле. Установлена связь между 𝐶 𝜃-степенной плотностью ряда Дирихле и абсциссой его абсолютной сходимости.Установлено, что если ряд Дирихле 𝑓(𝛼|Λ) удовлетворяет условию обобщенной леммы Сельберга с 𝜃1 < 𝜃, то ряд Дирихле 𝑓(𝛼|Λ) аналитически продолжается в полуплоскость с 𝜎 > 𝜃1, кроме точки 𝛼 = 𝜃, в которой у неё полюс первого порядка с вычетом 𝐶𝜃.Введено новое понятие 𝐶 логарифмическая 𝜃-степенная плотность ряда Дирихле.Установлено, что если ряд Дирихле 𝑓(𝛼|Λ) имеет 𝐶 логарифмическую 𝜃-степенную плотность и 𝜃 < 1, то для абсциссы абсолютной сходимости справедливо равенство 𝜎𝑓 = 0 и ряд Дирихле 𝑓(𝛼|Λ) — голоморфная функция во всей правой 𝛼-полуплоскости с 𝜎 > 0.Показано, что если ряд Дирихле 𝑓(𝛼|Λ) имеет 𝐶 логарифмическую 𝜃-степенную плотность и 𝜃 < 1, то областью голоморфности дзета-функции 𝜁(𝑀|𝛼) является 𝛼-полуплоскость 𝜎 > 0.
The work considers the set of all possible Dirichlet series generated by a given lattice, and studies the properties of this function space over the field of complex numbers.A new concept of 𝐶 𝜃-power density of a Dirichlet series is introduced. A connection is established between the 𝐶 𝜃-power density of the Dirichlet series and the abscissa of its absolute convergence.It is established that if the Dirichlet series 𝑓(𝛼|Λ) satisfies the conditions of the generalized Selberg lemma with 𝜃1 < 𝜃, then the Dirichlet series 𝑓(𝛼|Λ) extends analytically into the halfplanewith 𝑠𝑖𝑔𝑚𝑎 > 𝜃1, except for the point 𝛼 = 𝜃, at which it has a first-order pole with a subtraction of 𝐶𝜃.A new concept 𝐶 logarithmic 𝜃-power density of the Dirichlet series is introduced. It has been established that if the Dirichlet series 𝑓(𝛼|Λ) has 𝐶 logarithmic 𝜃-power density and 𝜃 < 1, then the abscissa of absolute convergence holds the equality 𝜎𝑓 = 0 and The Dirichlet series 𝑓(𝛼|Λ) is a holomorphic function in the entire right 𝛼-half-plane with 𝜎 > 0.It is shown that if the Dirichlet series 𝑓(𝛼|Λ) has 𝐶 logarithmic 𝜃-power density and 𝜃 < 1, then The holomorphic domain of the zeta function 𝜁(𝑀|𝛼) is 𝛼-the half-plane 𝜎 > 0.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.