chebЧебышевский сборникChebyshevskii Sbornik2226-8383Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University10.22405/2226-8383-2023-24-4-191-205cheb-1600Research ArticleСтатьиArticleО биективных функциях от фиксированных переменных в поле Галуа из 𝑝^𝑘 элементов и на кольце целых 𝑝-адических чисел для нечетного простого числа 𝑝On Bijective Functions of Fixed Variables in the Galois Field of 𝑝^𝑘 Elements and on the Ring of 𝑝-Adic Integers for an Odd Prime Number 𝑝ЛопесПерес АниэльLopezPerez Aniel’

магистр, специалист по информационной безопасности

Master’s degree in Telematics, Information Security specialist

alopezp1990@gmail.comКуэльярХустис ОристелаCuellarJustiz Oristela

выпускница математического факультета Тульского государственного педагогического института им. Л. Н. Толстого, доктор математических наук, профессор, магистр наук в области прикладной математики

graduate student of the Faculty of Mathematics of the Tula StateLev Tolstoy Pedagogical Institute, master’s degree in Applied Mathematics, doctor of mathematical sciences, professor

oristelacj@uci.cuЦентральный университет провинции Лас-Вильяс «Марта Абреу» (Куба ,г. Санта-Клара); Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова (г. Москва)КубаCentral University “Marta Abreu” of Las Villas (Kyba, Santa Clara); Faculty of Computational Mathematics and Cybernetics; Lomonosov Moscow State UniversityCubaвыпускница математического факультета Тульского государственного педагогического института им. Л. Н. Толстого (г. Тула); Университет компьютерных наук (Куба, г. Гавана)КубаTula State Lev Tolstoy Pedagogical Institute; University of Informatics Sciences (Kuba, Havana).Cuba202325012024244191205Copyright © Лопес П.А., Куэльяр Х.О., 20232023Лопес П.А., Куэльяр Х.О.Lopez P.A., Cuellar J.O.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.chebsbornik.ru/jour/article/view/1600

В настоящей работе даются необходимые и достаточные условия, при которых функция от фиксированных переменных 𝜓: F^(𝑖+1)_𝑞 → F_𝑞 является биективной, где 𝑖 ∈ N ∪ {0}, F^(𝑖+1)_𝑞 —(𝑖 + 1)-я декартова степень поля Галуа F𝑞 из 𝑞 = 𝑝^𝑘 элементов, 𝑝 — нечетное простое число, и 𝑘 ∈ N. Кроме того, используются такие условия биективных функций 𝜓 от фиксированных переменных, чтобы написать критерий, сохраняющих меру Хаара из важного класса 1-липшицевых функций в терминах их координатных функций на кольце целых 𝑝-адических чисел Z𝑝,     𝑝 ̸= 2. В частности, представление 1-липшицевых функцийв терминах их координатных функций на кольце целых 2-адических чисел Z_2 оказалось общим и полезным инструментом для получения математических результатов, прикладываемых в криптографии. В этой работе продолжается исследование такого представления 1-липшицевых функций на кольце целых 𝑝-адических Z_𝑝 при 𝑝 ̸= 2 с особым вниманием к представлению биективных 1-липшицевых функций в терминах их координатныхфункций на Z_𝑝, 𝑝 ̸= 2.

In this paper there are given necessary and sufficient conditions under which a function of fixed variables 𝜓: F^(𝑖+1)_𝑞 → F_𝑞 is bijective, where 𝑖 ∈ N ∪ {0}, F(𝑖+1)_𝑞 is the (𝑖 + 1)-ary Cartesian power of the Galois field F_𝑞 of 𝑞 = 𝑝^𝑘 elements, 𝑝 is an odd prime number and 𝑘 ∈ N. In addition, such conditions of the bijective functions 𝜓 of fixed variables are used to write a criterion for the preserving Haar measure of functions from the important class of 1-Lipschitz functions in terms of its coordinate functions on the ring of 𝑝-adic integers Z_𝑝, 𝑝 ̸= 2. In particular, the representation of 1-Lipschitz functions in terms of its coordinate functions on the ring of 2-adic integers Z_2 turned out to be a general and useful tool for obtaining mathematical results applied in cryptography. In this work, the research of such representation of 1-Lipschitz functions on the ring of 𝑝-adic integers Z_𝑝, 𝑝 ̸= 2 is being continued, with special attention to the representation of bijective 1-Lipschitz functions in terms of its coordinate functions on Z_𝑝, 𝑝 ̸= 2.

поле Галуабиективная функция1-липшицева функциякоординатная функцияфункциясохраняющая меру Хаара.Galois fieldbijective function1-Lipschitz functionHaar measureHaar measurepreserving functioncoordenate functionergodic function.Исследование выполнено в МГУ им. М. В. Ломоносова, в Центральном университете провинции Лас- Вильяс «Марта Абреу» и в Университете компьютерных наук (Куба).ReferencesLausch H., N¨obauer W. Algebra of Polynomials//North-Holl. Publ. Co, American Elsevier Publ. Co. 1973.Lausch H. & N¨obauer W., 1973, “Algebra of Polynomials”, North-Holl. Publ. Co, American Elsevier Publ. Co.Mahler, K. 𝑝-Adic Numbers and Their Functions//Cambridge University Press, Cambridge. 1981. 2nd.Mahler, K., 1981, “𝑝-Adic Numbers and Their Functions”, Cambridge University Press, Cambridge, 2nd.Koblitz, N. 𝑝-adic numbers, 𝑝-adic analysis, and zeta-functions//Springer, Berlin. 1984. Vol. 58. 2nd.Koblitz, N., 1984, “𝑝-adic numbers, 𝑝-adic analysis, and zeta-functions”, Springer, Berlin, vol. 58, 2nd.Schiknof, W. H. Ultrametric Calculus//Cambridge University Press, Cambridge. 1984.Schiknof, W. H., 1984, “Ultrametric Calculus”, Cambridge University Press, Cambridge.Лидл Р., Нидеррайтер Г., Конечные поля//Мир. Москва. 1988.Lidl R., & Niederreiter H., 1988, “Finite Fields”, Mir, Moscow.Анашин В. С., Равномерно распределенные последовательности целых 𝑝-адических чисел//Матем. заметки. 55. № 2. С. 3–46. 1994.Anashin, V. S., 1994, “Uniformly Distribueted Sequences of 𝑝-Adic Integers”, Matematicheskie Zametki, vol. 55, no. 2, pp. 3-46.Anashin V., Khrennikov A. Applied Algebraic Dynamics//De Gruyter Expositions in Mathematics. Vol. 49, Berlin, New York: Walter de Gruyter, 2009.Anashin V. & Khrennikov A., 2009, “Applied Algebraic Dynamics”, De Gruyter Expositions in Mathematics, vol. 49, Berlin, New York: Walter de Gruyter.Durand, F., Paccaut, F. Minimal polynomial dynamics on the set of 3-adic integers//Bull. London Math. Soc. 2009. Vol. 42, № 2, P. 302-314.Durand, F. & Paccaut, F., 2009, “Minimal polynomial dynamics on the set of 3-adic integers”, Bull. London Math. Soc., vol. 42, no. 2, pp. 302-314.Шафаревич И.Р., Ремизов А.О., Линейная алгебра и геометрия//Физматлит. 2009.Shafarevich I. R. & Remizov A. O. “Linear Algebra and Geometry”//Fizmatlit. 2009.Khrennikov A., Yurova E. Criteria of ergodicity for 𝑝-adic dynamical systems in terms of coordinate functions//Chaos, Solitons and Fractals. Vol. 60. P. 11–30. 2014.Khrennikov A. & Yurova E., 2014, “Criteria of ergodicity for 𝑝-adic dynamical systems in terms of coordinate functions”, Chaos, Solitons and Fractals, vol. 60, pp. 11–30.Yurova E. A., Khrennikov A. Y., Generalization of Hensel lemma: finding the roots of p-adic Lipschitz functions//J. Number Theory. Vol. 158, P. 217–233. 2016.Yurova, E. A. & Khrennikov, A. Y., 2016, “Generalization of Hensel lemma: finding the roots of p-adic Lipschitz functions”, J. Number Theory, vol. 158, pp. 217–233.Memic, N. Ergodicity conditions on the group of 3-adic integers// Colloquium Mathematicum. 2016.Memic, N., 2016, “Ergodicity conditions on the group of 3-adic integers”, Colloquium Mathematicum.Memic, N. Ergodic Polynomials on Subsets of 𝑝-Adic Integers//𝑝-Adic Numbers, Ultrametric Analysis and Applications. 2016. Vol. 8. № 2. P. 149-159.Memic, N., 2016, “Ergodic Polynomials on Subsets of 𝑝-Adic Integers”, 𝑝-Adic Numbers, Ultrametric Analysis and Applications, vol. 8, no. 2, pp. 149-159.Юрова Аксельссон Е. И., Хренников А. Ю. Подкоординатное представление p-адических функций и обобщение леммы Гензеля//Изв. РАН. Сер. матем. 2018. 82, № 3. C. 192-206.Yurova, E. A. & Khrennikov, A. Y., 2018, “Subcoordinate representation of 𝑝-adic functions and generalization of Hensel lemma”, Izvestiya RAN : Ser. Mat., vol. 82, no. 3, pp. 192-206.Wang, S., Hu, B., Liu, Y. The autocorrelation properties of single cycle polynomial Tfunction// Des. Codes Cryptogr. 2018. Vol. 86. P. 1527-1540.Wang, S., Hu, B. & Liu, Y., 2018, “The autocorrelation properties of single cycle polynomial 𝑇-function”, Des. Codes Cryptogr, vol. 86, pp. 1527-1540.Sangtae, J. Measure-preservation and the existence of a root of p-adic 1-Lipschitz functions in Mahlers expansion//𝑝-Adic Numbers, Ultrametric Analysis and Applications. 2018. Vol. 10, № 3. P. 192-208.Sangtae, J., 2018, “Measure-preservation and the existence of a root of p-adic 1-Lipschitz functions in Mahlers expansion”, 𝑝-Adic Numbers, Ultrametric Analysis and Applications, vol. 10, no. 3, pp. 192-208.da Silva, D. W., de Araujo, C. P., Chow, E., Barillas, B. S. A new approach towards fully homomorphic encryption over geometric algebra//IEEE/10th Annual Ubiquitous Computing, Electronics & Mobile Communication Conference (UEMCON). 2019. P. 0241-0249.da Silva, D. W., de Araujo, C. P., Chow, E. & Barillas, B. S., 2019, “A new approach towards fully homomorphic encryption over geometric algebra”, IEEE/10th Annual Ubiquitous Computing, Electronics & Mobile Communication Conference (UEMCON), pp. 0241-0249.Khrennikov, A. Y., Yurova, E. A. Description of (fully) homomorphic cryptographic primitives within the p-adic model of encryption//Springer. 2019. P. 241-148.Khrennikov, A. Y. & Yurova, E. A., 2019, “Description of (fully) homomorphic cryptographic primitives within the 𝑝-adic model of encryption”, Springer, pp. 241-148.Khrennikov A. Y., Yurova E. A. Description of (fully) homomorphic cryptographic primitives within the p-adic model of encryption. In Analysis, Probability, Applications, and Computation, pages//Springer. 2019. P. 241–248.Khrennikov A. Y. & Yurova E. A., 2019, “Description of (fully) homomorphic cryptographic primitives within the p-adic model of encryption. In Analysis, Probability, Applications, and Computation, pages”, Springer, pp. 241–248.Furno, J. Natural extensions for 𝑝-adic 𝛽-shifts and other scaling maps//Indagationes Mathematicae. 2019. Vol. 30. P. 1099-1108.Furno, J., 2019, “Natural extensions for 𝑝-adic 𝛽-shifts and other scaling maps”, Indagationes Mathematicae, vol. 30, pp. 1099-1108.Kim D., Kwon Y., K. Song K. Minimality of 5-adic polynomial dynamical systems//Dynamical Systems: An International Journal. 2020. Vol. 35. №. 4, P. 584-596.Kim D., Kwon Y., K. Song K., 2020, “Minimality of 5-adic polynomial dynamical systems”, Dynamical Systems: An International Journal. vol. 35, no. 4, pp. 584-596.da Silva, D. W. A Mathematical Framework Towards Efficient Clifford-Based Homomorphic Cryptosystems Using p-Adic Numbers//University of Colorado Colorado Springs. 2020.da Silva, D. W., 2020, “A Mathematical Framework Towards Efficient Clifford-Based Homomorphic Cryptosystems Using p-Adic Numbers”, University of Colorado Colorado Springs.Memi´c , N. Mahler coefficients of uniformly differentiable functions modulo 𝑝// International Journal of Number Theory. 2020.Memi´c, N., 2020, “Mahler coefficients of uniformly differentiable functions modulo 𝑝”, International Journal of Number Theory.Gouvˆea, F. Q. 𝑝-adic Numbers An Introduction//Springer. 2020. 3rd.Gouvˆea, F. Q., 2020, “𝑝-adic Numbers An Introduction”, Springer, 3rd.da Silva, D. W., Harmon, L. and Delavignette, G., Araujo, C. Leveled Fully Homomorphic Encryption Schemes with Hensel Codes//Cryptology ePrint Archive. 2021.da Silva D. W., Harmon L., Delavignette G. & Araujo C., 2021, “Leveled Fully Homomorphic Encryption Schemes with Hensel Codes”, Cryptology ePrint Archive.Anashin, V. S. The 𝑝-adic Theory of Automata Functions//Springer. 2021. 9-113.Anashin, V. S., 2021, “The 𝑝-adic Theory of Automata Functions”, Springer, pp. 9-113.Memic, N. Mahler Coefficients of Some 3-adic Ergodic Functions//Acta Mathematica Vietnamica. 2021.Memic, N., 2021, “Mahler Coefficients of Some 3-adic Ergodic Functions”, Acta Mathematica Vietnamica.Z´u˜niga-Galindo, W., Bourama, T. Advances in Non-Archimedean Analysis and Applications: The 𝑝-adic Methodology in STEAM-H//Springer Nature. 2021.Z´u˜niga-Galindo, W. & Bourama, T., 2021, “Advances in Non-Archimedean Analysis and Applications: The 𝑝-adic Methodology in STEAM-H”, Springer Nature.Лопес А., О сохранении меры и эргодичности 1-липшицевых функций на кольце целых 3 -адических чисел в терминах координатных функций//Вестн. Моск. ун-та. Сер.15. Вычисл. матем. и киберн. № 2. C. 30-33. 2022.L´opez, A. P. 2022, “Measuring Preservation and Ergodicity of 1-Lipschitz Functions on the Ring of 3-Adic Integers in Terms of Coordinate Functions”, Vestnik Moskovskogo Universiteta, Seriya 15, vol. 46, no. 2, pp. 30-33.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.