В работе круговым методом получена асимптотическая формула для взвешенного числа целых точек на многомерных гиперболических поверхностях, определяемых прямой суммой неопределённых кватернарных целочисленных квадратичных форм специального вида. При этом взвеши- вающая функция выбрана как экспонента, в показателе которой стоит целочисленная квадратичная форма, являющаяся прямой суммой положительных бинарных квадратичных форм с одними и тем же дискриминантом. Выбор такого специального вида взвешивающей функции обусловлен возможностью приложения используемого подхода при исследовании вопроса о числе целых точек лежащих в некоторых областях специального вида на рассматриваемых многомерных гиперболоидах. Опираясь на подход статьи [7], основанный на использовании точных значений двойных сумм Гаусса, мы рассматриваем многомерную задачу о взвешенном числе целых точек на гиперболических поверхностях специ- ального вида. Речь идёт об асимптотике с остаточным членом для величины Ih (n, s) = ∑ p(x,y,z,t)=h e − ω(x,y,z,t) n , где n → ∞ — вещественный параметр, p ( x, y, z,t ) = ∑s i=1 { Q (1) i (xi , yi) − Q (2) i (zi , ti) } , ω ( x, y, z,t ) = ∑s i=1 { Q (1) i (xi , yi) + Q (2) i (zi , ti) } , Q (1) i , Q(2) i — положительные целочисленные бинарные квадратичные фор- мы одного и того же дискриминанта δF ; h ̸= 0 — целое число. При выводе асимптотической формулы для Ih (n, s) существенно ис- пользуются: 1) формула обращения тета-ряда бинарной квадратичной формы (в нашем случае достаточно использовать двойной Θ-ряд вместо многомер- ного) 2) формула для 1 q( ∫q+N) − 1 q(q+N) e −2πihx ( 1 n2 + 4π 2x 2 )S dx 3) оценка для суммы Клостермана K (u, v; q) = ∑ x mod q ′ e 2πi q ( ux+vx ′ ) , где ll′ ≡ (mod q). Полученная асимптотическая формула для Ih (n, s) обобщает один из результатов Куртовой Л. Н. [7] о взвешенном числе целых точек на че- тырёхмерных гиперболоидах на случай многомерных гиперболоидов со- ответствующего специального вида. Кроме того, наш результат в слу- чае постоянных коэффициентов уравнения гиперболоида обобщает также один результат Малышева А. В. [10] на случай некоторых недиагональ- ных квадратичных форм, а в сравнении с результатом Головизина В. В. [3] главный член в рассматриваемой задаче получен в явном виде, а в [3] он выражен через некоторый комплексный интеграл W (N), для которого дана только оценка сверху, при этом в нашем случае N = [√ n]. В дальнейшем результат о величине Ih (n, s) може быть применён при получении асимптотических формул для числа целых точек, лежащих в некоторых областях специального вида на многомерных гиперболоидах.
In this paper asymptotic formula for weighted number of integer points on multidimensional hyperbolic surfaces defined by direct sum of indefinite quaternary integral quadratic forms of singular kind is obtained. In doing so weighted function is chosen as a real exponent on the index of which there stands integral quadratic form being direct sum of positive binary quadratic forms with the same discriminant equal to the discriminant δF of imaginary quadratic field F = Θ (√ d ) where d is the negative without quadrate number. The choice of real kind of weighting function is conditioned by possibility application used method in investigation of question about the number of integer points lying is some fields of real kind on examining multidimensional hyperboloids. Leaning upon the method of article [7] based on the use of exact meanings of Gauss double sum we examine multidimensional problem about weighted number of integer points on hyperbolic surface of real kind. The question is about the asymptotic with remainder of series for value Ih (n, s) = ∑ p(x,y,z,t)=h e − ω(x,y,z,t) n , where n → ∞ — real parameter, p ( x, y, z,t ) = ∑s i=1 { Q (1) i (xi , yi) − Q (2) i (zi , ti) } , ω ( x, y, z,t ) = ∑s i=1 { Q (1) i (xi , yi) + Q (2) i (zi , ti) } , Q (1) i , Q(2) i — positive integral binary quadratic forms of the same discriminant δF ; h ̸= 0 — integral number. In deducing the asymptotic formula for Ih (n, s) essentially we use: 1) the formula of turning of theta-series binary quadratic form (in our case it is enough to use double theta-series instead of multidimensional); 2) formula for 1 q( ∫q+N) − 1 q(q+N) e −2πihx ( 1 n2 + 4π 2x 2 )S dx 3) estimation of sum of Kloosterman K (u, v; q) = ∑ x mod q ′ e 2πi q ( ux+vx ′ ) , where xx ′ ≡ 1 (mod q). Obtained asymptotic formula for Ih (n, s) generalises one of the results of Kurtova L. N. [7] about weighted number of integer points on four-dimensional hyperboloids for the case of multidimensional hyperboloids corresponding real kind. Besides our result in case of constant coefficients of hyperboloid equation also generalized one result of Malishev A. B. [10] for a case of some nondiagonal quadratic forms in comparison with the result of Golovizina V. V. [3] the main number in examining problem is obtained in evident kind as in our work exact meanings of Gauss double sums are used and in [3] it is expressed by way of some complex integral W(N), for which only estimation is given over in doing so in our case N = [√ n]. Later on the result about value Ih (n, s) can be applied in obtaining asymptotic formulae for the number of integer points lying in some fields of real kind on multidimensional hyperboloids.