доктор физико-математических наук, профессор, член-корреспондент Академии наук Республики Таджикистан, директор Института математики им. А. Джураева Академии наук Республики Таджикистан
doctor of physical andmathematical sciences, professor, corresponding member of Academy of Sciences of the Republic of Tajikistan, director of the Dzhuraev Institute of Mathematics
Метод оценок тригонометрических сумм с простыми числами И. М. Виноградова позволил ему решить ряд арифметических проблем с простыми числами. Одна из них касается распределения значений неглавного характера на последовательностях сдвинутых простых чисел. В 1938 г. он доказал: если q — простое нечётное, (l, q) = 1, χ — неглавный характер по модулю q, тогда T(χ) = X p6x χ(p − l) ≪ x1+ε r 1 q + q x + x−1 6 . (IMV ) При x ≫ q1+ε эта оценка нетривиальна и из неё следует асимптотическая формула для числа квадратичных вычетов (невычетов) mod q вида p − l, p 6 x. Затем в 1953 г. И. М. Виноградов получил нетривиальную оценку T(χ) при x > q0,75+ε, q — простое. Этот результат был неожиданным. Дело в том, что T(χ) можно записать в виде суммы, по нулям соответствующей L — функции Дирихле; тогда в предположении справедливости расширенной гипотезы Римана для T(χ) получится нетривиальная оценка, но только при x > q1+ε. В 1968 г. А. А. Карацуба нашел метод, который позволил ему получить нетривиальную оценку коротких сумм характеров в конечных полях фиксированной степени. В 1970 г. он с помощью развития этого метода в соединении с методом И. М. Виноградова доказал: если q — простое, χ — неглавный характер по модулю q, x > q 1 2+ε, тогда T(χ) ≪ xq− ε2 1024 . В 1985 г. З. Х. Рахмонов обобщил оценку (IMV) на случай составного модуля и доказал: пусть D — достаточно большое натуральное число, χ — неглавный характер по модулю D, χq — примитивный характер, порожденный характером χ, тогда T(χ) 6 x ln5 x r 1 q + q x τ 2(q1) + x−1 6 τ (q1) , q1 = Y p\D p̸\q p. Если характер χ совпадает со своим порождающим примитивным характером χq, то последняя оценка нетривиальна при x > q(ln q)13. В 2010 г. Дж. Б. Фридландер, К. Гонг, И. Е. Шпарлинский для составного q показали, что нетривиальная оценка суммы T(χq) существует, когда x — длина суммы — по порядку меньше q. Они доказали: для примитивного характера χq и всякого ε > 0 существует δ > 0, что для всех x > q 8 9+ε имеет место оценка T(χq) ≪ xq−δ. В 2013 г. З. Х. Рахмонов для составного q и примитивного характера χq доказал нетривиальную оценку T(χq) при x > q 5 6+ε. В этой работе для модулей q – свободных от кубов, доказана теорема об оценке суммы T(χq), являющиеся нетривиальной при x > q 1 2+ε.
Vinogradov’s method of estimation of exponential sums over primes allowed him to solve the number of arithmetic problems with primes. One of them is a problem of distribution of the values of non-principal character on the sequence of shifted primes. In 1938 he proved that if q is an odd prime, (l, q) = 1, χ(a) is non-principal character modulo q, then T(χ) = X p6x χ(p − l) ≪ x1+ε r 1 q + q x + x−1 6 . (IMV ) This estimate is non-trivial when x ≫ q1+ε and an asymptotic formula for the the number of quadratic residues (non-residues) modulo q of the form p − l, p 6 x follows from it. Later in 1953, I. M. Vinogradov obtained a non-trivial estimate of T(χ) when x > q0,75+ε, q is a prime. It was a surprising result. In fact, T(χ) can be represented as a sum over zeroes of correspondent Dirichlet L — function; So a non-trivial estimate of T(χ) is obtained only for x > q1+ε provided that the extended Riemann hypothesis is true. In 1968 A. A. Karatsuba found a method that allowed him to obtain non-trivial estimate of short sums of characters in finite fields with fixed degree. In 1970 using the modification of his technique coupled with Vinogradov’s method he proved that: if q is a prime number, χ is non-principal character modulo q and x > q 1 2+ε, then the following estimate is true T(χ) ≪ xq− 1 1024 ε2 . In 1985 Z. Kh. Rakhmonov generalized the estimate (IMV) for the case of composite modulo and proved: let D is a sufficiently large positive integer, χ is a non-principal character modulo D, χq is primitive character generated by character χ, thenT(χ) 6 x ln5 x r 1 q + q x τ 2(q1) + x−1 6 τ (q1) , q1 = p\D p ̸ \q p. If a character χ coincides with it generating primitive character q, then the last estimate is non-trivial for x > q(ln q)13. In 2010 г. J. B. Friedlander, K. Gong, I. E. Shparlinski showed that a non-trivial estimateof the sum T(χq) exists for composite q when x — length of the sum, is of smaller order than q. They proved: for a primitive character χq and an arbitrary ε > 0 there exists such δ > 0 that for all x > q 8 9+ε the following estimate holds: T(χq) ≪ xq−δ. In 2013 Z. Kh. Rakhmonov obtained a non-trivial estimate of T(χq) for the composite modulo q and primitive character χq when x > q 5 6+ε. In this paper the theorem about the estimate of the sum T(χq) is proved for cubefree modulo q. It is non-trivial when x > q 5 6+ε.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.