доктор физико-математических наук
doctor of physical and mathematical sciences
В конусе пространства непрерывных функций методом весовых метрик (аналог метода Белецкого) доказывается глобальная теорема о существовании, единственности и способе нахождения нетривиального решения начальной задачи для однородного интегродифференциального уравнения 𝑛-го порядка с разностным ядром и степенной нелинейностью. Показано, что это решение может быть найдено методом последовательных приближений пикаровского типа и дана оценка скорости их сходимости к решению в терминах весовой метрики. Исследование основано на сведении начальной задачи к эквивалентному нелинейному интегральному уравнению Вольтерра. Получены точная нижняя и верхняя априорные оценки решения, на основе которых построено полное весовое метрическое пространство, инвариантное относительно нелинейного оператора, порожденного этим интегральным уравнением Вольтерра. В отличие от линейного случая, установлено, что нелинейное однородное интегральное уравнение Вольтерра помимо тривиального решения может иметь еще и нетривиальное решение. Анализ полученных результатов показывает, что с ростом порядка интегро-дифференциального уравнения со степенной нелинейностью показатель степени уменьшается. Приведены примеры, иллюстрирующие полученные результаты.
In the cone of the space of continuous functions, the method of weight metrics (analogous to Bielecki’s method) is used to prove a global theorem on the existence, uniqueness, and method of finding a nontrivial solution to the initial problem for a homogeneous 𝑛-order integro-differential equation with a difference kernel and power nonlinearity. It is shown that this solution can be found by the method of successive approximations of the Picard type and an estimate is given for the rate of their convergence to the solution in terms of the weight metric. The study is based on the reduction of the initial problem to the equivalent nonlinear Volterra integral equation.Exact lower and upper a priori estimates for the solution are obtained, on the basis of which a complete weighted metric space is constructed that is invariant with respect to the nonlinear operator generated by this Volterra integral equation. In contrast to the linear case, it hasbeen established that, in addition to the trivial solution, the non-linear homogeneous Volterra integral equation can also have a non-trivial solution. An analysis of the results obtained shows that with an increase in the order of an integro-differential equation with a power nonlinearity, the exponent decreases. Examples are given to illustrate the results obtained.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.