Некоторые проблемы теории чисел тесно связаны с нулями специальных функций, к которым относятся дзета-функция Римана ζ(s), L-функции Дирихле L(s, χ) и др. Самой известной из этих функций явля- ется дзета-функция Римана. На полуплоскости ℜs > 1 она задаётся рядом Дирихле ζ(s) = ∑ +∞ n=1 n −s . В 1859 г. Б. Риман высказал гипотезу о том, что все нетривиальные нули дзета-функции ζ(s) лежат на критической прямой. Г. Харди был первым, кто доказал, что на критической прямой лежит бесконечно много нулей дзета-функции Римана. В 1942 г. А. Сельберг получил правильную по порядку оценку числа нулей ζ(s), лежащих на отрезках критической прямой [T, T + H], H = T 0.5+ε . В 1984 году А. А. Карацуба доказал оценку Сельберга 1942 г. для случая отрезка критической прямой меньшей длины, т.е. для отрезка [T, T + H], H = T 27 82 +ε . Для арифметических рядов Дирихле без эйлерова произведения правильные по порядку нижние оценки для числа их нулей на отрезках прямой ℜs = 1 2 пока не получены. В 1980 г. С. М. Воронин доказал, что отрезок ( 1 2 , 1 2 + iT] критической прямой содержит больше, чем cT e 1 20 √ ln ln ln ln T нулей функции Дэвенпорта-Хейльброна. Тем самым С. М. Воронин впер- вые доказал, что на критической прямой лежит «аномально много» нулей арифметического ряда Дирихле без эйлерова произведения. В 1989 г. А. А. Карацуба разработал новый метод оценок снизу чис- ла нулей некоторых рядов Дирихле на отрезках критической прямой, с помощью которого существенно улучшил результат Воронина. В 1991 г. А. А. Карацуба решил своим методом задачу о нижней оценке числа нулей, лежащих на интервале ( 1 2 , 1 2 + iT] критической прямой, линейной комбинации аналогов функции Харди, соответствующих L(s, χ)− функциям Дирихле. В настоящей работе решается задача о числе нулей линейных комбинаций L−функций Дирихле на почти всех промежутках вида [T, T + H], H = Xε , ε > 0, X ≤ T ≤ 2X.
Some problems of the number theory are associated with the zeros of special functions, such as the Riemann zeta function ζ(s), Dirichlet L-functions L(s, χ) and others. The Riemann zeta function is the most famous. On the half-plane ℜs > 1, the Riemann zeta function is defined by Dirichlet series ζ(s) = ∑ +∞ n=1 n −s . In 1859, Riemann conjectured that all non-trivial zeros of the Riemann zeta function lie on the critical line ℜs = 1 2 . Hardy was the first to prove in 1914 that an infinity of zeros are on the critical line. In 1942, Selberg obtained lower bound of the correct order of magnitude for the number zeros of the Riemann zeta functions on intervals of critical line [T, T + H], H = T 0.5+ε . In 1984, A. A. Karatsuba proved Selberg’s result for shorter intervals of critical line [T, T + H], H = T 27 82 +ε . For arithmetic Dirichlet series satisfying a functional equation of Riemann type but admitting no Euler product expansions, lower bounds of the correct order of magnitude for the number of their zeros on intervals of the critical line ℜs = 1/2 have not been obtained so far. The first to show that the critical line contains abnormally many zeros of an arithmetic Dirichlet series without Euler products was Voronin, who proved in 1980 that interval (0, T] of critical line contains more than cT e 1 20 √ ln ln ln ln T zeros of the Davenport–Heilbronn function. In 1989 A. A. Karatsuba developed a new method for obtaining lower bounds for the number zeros of certain Dirichlet series in intervals of critical line; by using this method, he substantially strengthened Voronin’s result. In 1991 Karatsuba solved (by his 1989 method) the problem of estimating the number zeros of linear combinations of functions which are analogous the Hardy function. In the present paper we prove a theorem similar to the theorem of A. A. Karatsuba (in 1991), but only for "almost all" intervals of the form (T, T + H), H = Xε , where ε is an arbitrary positive number, and X ≤ T ≤ 2X, X > X0(ε).
The authors declare that there are no conflicts of interest present.