chebЧебышевский сборникChebyshevskii Sbornik2226-8383Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University10.22405/2226-8383-2023-24-3-263-288cheb-1564Research ArticleИстория математики и приложенийСomputer scienceВариационное исчисление в целом: рождение, становление, приложенияCalculus of variations in the large: birth, formation, applicationsБоеваАнна ВячеславовнаBoevaAnna Vyacheslavovnamukhiny@mail.ruМухинРавиль РафкатовичMukhinRavil’ Rafkatovich

доктор физико-математических наук

doctor of physical and mathematical sciences

mukhiny@mail.ruСтарооскольский технологический институт им. А. А. Угарова (филиал) Национального исследовательского технологического университета «МИСиС»РоссияUgarov Stary Oskol Technological Institute (branch) National University of Science and Technology “MISiS”Russian Federation202307112023243251276Copyright © Боева А.В., Мухин Р.Р., 20232023Боева А.В., Мухин Р.Р.Boeva A.V., Mukhin R.R.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.chebsbornik.ru/jour/article/view/1564

Работа посвящена эволюции понятий и методов вариационного исчисления в целом – раздела математики, возраст которого составляет немного более столетия. Предметом этой области является изучение качественных характеристик вариационных задач. В развитии вариационного исчисления в целом можно выделить несколько периодов с присущими каждому из них чертами. Первый период определим с конца XIX в. до конца 1940-х гг., когда происходит рождение и становление теории, которая сложилась из двух главных частей – теории Морса и теории категорий Люстерника-Шнирельмана. Здесь еще заметновыступают черты традиционной математики. В следующий период – с конца 1940-х до конца 1970-х гг. вариационное исчисление в целом сформировалась как отдельная область математики, и она обрела свою современную форму, основанную на понятиях и методах алгебраической топологии. Открылись широкие возможности для решения новых задач математики и был получен целый ряд впечатляющих результатов. Современный периодможно определить с конца 1970-х гг. до настоящего времени. Главной его чертой является невиданное ранее сближение математики и области ее приложений, особенно с физикой.Не всегда стало возможным указать различимую границу между обеими областями науки, появился даже термин «физическая математика». Вариационное исчисление в целом входит в качественную теорию, представляющей значительную часть современной математики и находит широкие применения в приложениях. Но ее место еще более значительно, оно составляет одну из основ, формирующей наше мировоззрение.

The work is devoted to the evolution of the concepts and methods of the calculus of variations in the large, a branch of mathematics that is a little over a century old. The subject of this area is the study of qualitative characteristics of variational problems. In the developmentof the calculus of variations in the large several periods can be distinguished with features inherent in each of them. The first period is defined from the end of the 19th century. until the end of the 1940s, when the theory was born and formed, which was formed from twomain parts - the Morse theory and the theory of Lyusternik-Shnirelman categories. Here, the features of traditional mathematics are still noticeable. In the next period - from the end of the 1940s to the end of the 1970s. the calculus of variation in the large was formed as a separate area of mathematics, and it acquired its modern form, based on the concepts and methods of algebraic topology. Ample opportunities opened up for solving new problems in mathematics,and a number of impressive results were obtained. The modern period can be defined from the late 1970s. until now. Its main feature is the unprecedented convergence of mathematics and the field of its applications, especially with physics. It has not always been possible toindicate a distinguishable boundary between the two fields of science; even the term "physical mathematics"has appeared. The calculus of variations in the large is included in the qualitative theory, which represents a significant part of modern mathematics and finds wide applications. But its place is even more significant, it is one of the foundations that forms our worldview.

критическая точкаэкстремальгеодезическая линиятопологиякатегория.critical pointextremalgeodesic linetopologycategory.Исследование выполнено при поддержке РФФИ (проект 20-011-00402 А).ReferencesCampbell L., Garnett W. The life of James Clerk Maxwell. L.: MacMillan and Co., 1882. 342 p.Campbell L., Garnett W. The life of James Clerk Maxwell. L.: MacMillan and Co., 1882. 342 p.Maxwell J.C. On the transformations of surfaces by bending // The scientific papers of James Clerk Maxwell. Ed. W.D. Niven. V. 1. N.Y.: Dover Publ., 1965. Pp. 80-114.Maxwell J.C. On the transformations of surfaces by bending // The scientific papers of James Clerk Maxwell. Ed. W.D. Niven. V. 1. N.Y.: Dover Publ., 1965. Pp. 80-114.Maxwell J.C. Faraday // The scientific papers of James Clerk Maxwell. Ed. W.D. Niven. V. 2. N.Y.: Dover Publ., 1965. Pp. 355-360.Maxwell J.C. Faraday // The scientific papers of James Clerk Maxwell. Ed. W.D. Niven. V. 2. N.Y.: Dover Publ., 1965. Pp. 355-360.Maxwell J.C. On Hills and Dales // The scientific papers of James Clerk Maxwell. Ed. W.D. Niven. V. 2. N.Y.: Dover Publ., 1965. Pp. 233-240.Maxwell J.C. On Hills and Dales // The scientific papers of James Clerk Maxwell. Ed. W.D. Niven. V. 2. N.Y.: Dover Publ., 1965. Pp. 233-240.Cayley A. On Contour and Slope Lines // Phil. Mag. 1859. V. XVIII. Pp. 264-268.Cayley A. On Contour and Slope Lines // Phil. Mag. 1859. V. XVIII. Pp. 264-268.Мухин Р.Р. О теореме Пуанкаре-Биркгофа как важнейшем результате теории динамических систем // Чебышев. сб. 2022. Т. 23. № 1. С. 209-222.Mukhin R.R. On the Poincar´e-Birkhoff theorem as the most important result of the theory of dynamical systems // Chebyshevskii Sbornik. 2022. V. 23. No. 1. Pp. 209-222 (in Russian).Poincar´e, H. Sur les lignes g´eod´esiques des surfaces convexes // Trans. AMS. V. 6. Pp. 237-274.Poincar´e, H. Sur les lignes g´eod´esiques des surfaces convexes // Trans. AMS. V. 6. Pp. 237-274.Jacobi C.G. Note von der geod¨atischen Linie auf einem Ellipsoid und der verschiedenen Anwendungen einer merkw¨urdigen Substitution // Crelles J. 1839. V. 19. S. 309-313.Jacobi C.G. Note von der geod¨atischen Linie auf einem Ellipsoid und der verschiedenen Anwendungen einer merkw¨urdigen Substitution // Crelles J. 1839. V. 19. S. 309-313.Darboux G. Le¸con sur sur la th´eorie des surfaces. 3 partie. Paris: Gauthier-Villars, 1894.Darboux G. Le¸con sur sur la th´eorie des surfaces. 3 partie. Paris: Gauthier-Villars, 1894.Hadamard J. Les surfaces `a courbures oppose´es et leurs lignes g´eod´esiques // J. Math. pures et appl. 1898. V. 4. Pp. 27-73.Hadamard J. Les surfaces `a courbures oppose´es et leurs lignes g´eod´esiques // J. Math. pures et appl. 1898. V. 4. Pp. 27-73.Briefe Jacobi’s an Bessel // C.G.J. Jacobi’s Gesammelte Werke. 7 B. Berlin: Druck und Verlag von Georg Reiner. 1891. S. 377-386.Briefe Jacobi’s an Bessel // C.G.J. Jacobi’s Gesammelte Werke. 7 B. Berlin: Druck und Verlag von Georg Reiner. 1891. S. 377-386.Poincar´e H. Memoire sur les courbes d´efinies par une ´equations differentielle // J. math. pures et appl. S´er. 3. 1881. V. 7. P. 375-422; 1882. V. 8. P. 251-296; S´er. 4. 1885. V. 1. P. 167-244; 1886.Poincar´e H. Memoire sur les courbes d´efinies par une ´equations differentielle // J. math. pures et appl. S´er. 3. 1881. V. 7. P. 375-422; 1882. V. 8. P. 251-296; S´er. 4. 1885. V. 1. P. 167-244; 1886. V. 2. P. 151-217.V. 2. P. 151-217. Рус. пер.: Пуанкаре А. О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями. М.: ГИТТЛ, 1947. 392 с.Morse M. The calculus of variations in the large. N.Y.: AMS, 1934. 360 p.Morse M. The calculus of variations in the large. N.Y.: AMS, 1934. 360 p.Pogrebyssky I.B. On geodesic lines on convex surfaces // Henri Poincar´e. Collect. works. V. 2. M.: Nauka, 1972. Pp. 982-983 (in Russian).Погребысский И.Б. О геодезических линиях на выпуклых поверхностях // Анри Пуанкаре. Избр. труды. Т. 2. М.: Наука, 1972. С. 982-983.Birkhoff, G.D. An extension of Poincare’s last geometric theorem // Acta. Math. 1926. V. 47. Рp. 297-311.Birkhoff, G.D. An extension of Poincare’s last geometric theorem // Acta. Math. 1926. V. 47. Рp. 297-311.Birkhoff, G.D. Dynamical systems with two degrees of freedom // Trans. AMS. 1917. V. 18. Pp. 199-300 / G.D. Birkhoff. Coll. math. papers. V. 2. N.Y.: AMS, 1950. Pp. 1-102.Birkhoff, G.D. Dynamical systems with two degrees of freedom // Trans. AMS. 1917. V. 18. Pp. 199-300 / G.D. Birkhoff. Coll. math. papers. V. 2. N.Y.: AMS, 1950. Pp. 1-102.Birkhoff G.D. Dynamical Systems. Providence, Rhod Island: AMS, 1927. IX + 295 p.Birkhoff G.D. Dynamical Systems. Providence, Rhod Island: AMS, 1927. IX + 295 p. / Рус. пер.: Дж. Биркгоф Динамические системы / Пер. с англ. Ижевск: РХД, 1999. 408 с.Morse M. Relations between the critical points of a real functiond of n independent variables // Trans. AMS. 1925. V. 22. Pp. 84-110.Morse M. Relations between the critical points of a real functiond of n independent variables // Trans. AMS. 1925. V. 22. Pp. 84-110.Morse M. The foundations of a theory of the calculus of variations in the large // Trans. AMS. 1928. V. 30. Pp. 213-274.Morse M. The foundations of a theory of the calculus of variations in the large // Trans. AMS. 1928. V. 30. Pp. 213-274.Lefschetz S. Continuous transformations of manifolds // Proc. National Acad. Sci. 1925. V. 11. Pp. 290-292.Lefschetz S. Continuous transformations of manifolds // Proc. National Acad. Sci. 1925. V. 11. Pp. 290-292.Hopf H. Vectorfelder in n-dimensionalen Mannigfoltigkeiten // Math. Ann. 1926. V. 96. S. 225-251.Hopf H. Vectorfelder in n-dimensionalen Mannigfoltigkeiten // Math. Ann. 1926. V. 96. S. 225-251.Morse M. The calculus of variations in the large // Mat. Congr. Zurick, 1932. Pp. 173-188.Morse M. The calculus of variations in the large // Mat. Congr. Zurick, 1932. Pp. 173-188.Lusternik L. Sur quelque m´ethodes topologiques dans le g´eom´etrie differentielle // Acti. Congr. Inter. Mat. Bologna. 1928. V. 4. Pp. 291-296.Lusternik L. Sur quelque m´ethodes topologiques dans le g´eom´etrie differentielle // Acti. Congr. Inter. Mat. Bologna. 1928. V. 4. Pp. 291-296.Lusternik L., Schnirelmann L. Sur un principe topologique en analyse // Comp. Ren.. 1929. V. 188. Pp. 295-298.Lusternik L., Schnirelmann L. Sur un principe topologique en analyse // Comp. Ren.. 1929. V. 188. Pp. 295-298.Lusternik L., Schnirelmann L. Existence des trois g´eod´esiques ferm´ees sur tout surfaces de genre 0 // Comp. Ren.. 1929. V. 188. Pp. 269-271.Lusternik L., Schnirelmann L. Existence des trois g´eod´esiques ferm´ees sur tout surfaces de genre 0 // Comp. Ren.. 1929. V. 188. Pp. 269-271.Lyusternik L.A., Shnirelman L.G. Topological methods in variational problems. M.: Gosizdat, 1930. 68 p. (in Russian).Люстерник Л.А., Шнирельман Л.Г. Топологические методы в вариационных задачах. М.: Госиздат, 1930. 68 с.Lyusternik L.A., Shnirelman L.G. Topological methods in variational problems and their applications to differential geometry of surfaces // Russian Mat. Survey. 1947. Vol. 2. V. 1(17). Pp. 166-217 (in Russian).Люстерник Л.А., Шнирельман Л.Г. Топологические методы в вариационных задачах и ихShvarts A.S. Topology of spaces of closed curves // Proc. Moscow Math. Soc. 1960. T. 9. Pp. 3-44 (in Russian).приложения к дифференциальной геометрии поверхностей // УМН. 1947. Т. 2. В. 1(17).Klein F. Elementarmathematik vom hoheren Standpunkte aus. Teil I. Berlin: Springer, 1968. 614 S.С. 166-217.Thom R. Sur une partition en cellules associ´ee a une function sur une vari´et´e // Comp. Ren. 1949. T. 228. Pp. 973-975.Шварц А.С. Топология пространств замкнутых кривых // Тр. ММО. 1960. Т. 9. С. 3-44.Tu L.V. The life and works of Raoul Bott // The founders of index theory. Ed. S.-T. Yau. Sommerville, MA: Int. Press, 2003. Pp. 85-112.Клейн Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей. Т. 1. М.: Наука, 1987. 435 с.Bott R. Morse theory indominable // Publ. Math. IHES. 1988. V. 68. Pp. 99-114.Thom R. Sur une partition en cellules associ´ee a une function sur une vari´et´e // Comp. Ren.Milnor J. Morse theory. Princeton, N.J.: Princeton Univ.Press, 1963. 154 p.T. 228. Pp. 973-975.Bott R. An application of the Morse theory to the topology of Lie-groops // Bull. SMF. 1956. V. 84. Pp. 251-281.Tu L.V. The life and works of Raoul Bott // The founders of index theory. Ed. S.-T. Yau.Bott R. The stable homotopy of the classical groops // Ann. Math. 1959. V. 70. N 2. Pp. 313-337.Sommerville, MA: Int. Press, 2003. Pp. 85-112.Atyah M. Obituary Raoul Bott // Bull. London Math. Soc. 2010. V. 42. Pp. 170-180.Bott R. Morse theory indominable // Publ. Math. IHES. 1988. V. 68. Pp. 99-114.Andronov A.A., Pontryagin L.S. Rough systems // Rep. Acad. Sci. USSR. 1937. V. 14, Pp. 247-250 (in Russian).Милнор Дж. Теория Морса. М.: Мир, 1965. 186 с.Smale S. Finding a Horseshoe on the Beaches of Rio // Chaos Avant-Gard. Singapore: World Sci., 2000. Pp. 7-22.Bott R. An application of the Morse theory to the topology of Lie-groops // Bull. SMF. 1956.Smale S. Morse inequalities for the dynamical system // Bull. AMS. 1960. V. 66. Pp. 43-49.V. 84. Pp. 251-281.Andronov A.A. Mathematical problems in self-oscillation theory // A.A. Andronov. Coll. Works, M.: Acad. Sci. USSR, 1956. Pp. 32-71 (in Russian).Bott R. The stable homotopy of the classical groops // Ann. Math. 1959. V. 70. N 2. Pp.Smale S. Generalized Poincare conjecture in a higher dimensions // Bull. AMS. 1960. V. 66. Pp. 373-375.-337.Smale S. Generalized Poincare conjecture in dimensions greater than four // Ann. Math. 1961. V. 74. Pp. 391-406.Atyah M. Obituary Raoul Bott // Bull. London Math. Soc. 2010. V. 42. Pp. 170-180.Palis J. On Morse-Smale dynamical systems // Topology. 1969. V. 8. N 4. Pp. 385-404.Андронов А.А., Понтрягин Л.С. Грубые системы // ДАН СССР. 1937. Т. 14. № 5. С.247-252.Palis J., Smale S. Structural stability theorems // Global Analysis. Proc. Simp. Pure Math. Providence, RI. 1970. V. 14. Pp. 223-231.Smale S. Finding a Horseshoe on the Beaches of Rio // Chaos Avant-Gard. Singapore: World Sci., 2000. Pp. 7-22.Smale S. On gradient dynamical systems // Ann. Math. 1961. V. 74. N 1. Pp. 199-206.Smale S. Morse inequalities for the dynamical system // Bull. AMS. 1960. V. 66. Pp. 43-49 / Рус. пер.: Смейл С. Неравенства Морса для динамических систем / Математика. 1967. Т. 11. В. 4. С. 79-87.Smale S. A structurally stable differential homomorphysm with an infinite number of periodic points // Proc. Int. Symp. Nonlin. Oscillations. Kyiv 1961. Kyiv: AN Ukranian SSR, 1963. Pp.365–366.Андронов А.А. Математические проблемы теории автоколебаний // I Всесоюзн. конф. по колебаниям. Т. I. М.: Гостехтеориздат, 1933. С. 32–71.Smale S. A structurally stable systems are not dense // Am. J. Math. 1966. V. 88. N 2. Pp. 491-496.Smale S. Generalized Poincare conjecture in a higher dimensions // Bull. AMS. 1960. V. 66. Pp. 373-375.Dirac P.A. M. Quantized singularities in the electromagnetic field // Proc. Roy. Soc. 1931 V. 31. V. 133. Pp. 60-72.Smale S. Generalized Poincare conjecture in dimensions greater than four // Ann. Math. 1961. V. 74. Pp. 391-406.Smale S. Topology and mechanics // Invent. Math. 1970. N10. Pp. 305-351.Palis J. On Morse-Smale dynamical systems // Topology. 1969. V. 8. N 4. Pp. 385-404.Palmore J.L. Classifying relative equilibria // Bull. AMS. 1973. V. 79. Pp. 904-908; 1975. V. 81. Pp. 488-491.Palis J., Smale S. Structural stability theorems // Global Analysis. Proc. Simp. Pure Math. Providence, RI. 1970. V. 14. Pp. 223-231.Kozlov V.V. Calculus of variations in the large and classical mechanics // Russian Mat. Survey. 1985. Vol. 40. Issue 2(242). Pp. 33-60 (in Russian).Smale S. On gradient dynamical systems // Ann. Math. 1961. V. 74. N 1. Pp. 199-206.Kozlov V.V. Integrability and non-integrability in Hamiltonian mechanics // Russian Mat. Survey. 1983. Vol. 38. Issue 1. Pp. 3-67 (in Russian).Smale S. A structurally stable differential homomorphysm with an infinite number of periodic points // Тр. Межд. симпоз. по нелин. колебаниям. Киев 1961. Киев: АН УССР, 1963. С. 365–366.Kozlov V.V. Topological obstacles to the integrability of natural mechanical systems // Rep. Acad. Sci. USSR. 1979. V. 249. N. 6. Pp. 1299-1302 (in Russian).Smale S. A structurally stable systems are not dense // Am. J. Math. 1966. V. 88. N 2. Pp. 491-496 / Рус. пер.: Смейл С. Грубые системы не плотны / Математика. 1967. Т. 11, № 4. С. 107–112.Arnold V.I. Mathematical methods of classical mechanics. N.Y.: Springer-Verlag, 1989. 536 p.Dirac P.A. M. Quantized singularities in the electromagnetic field // Proc. Roy. Soc. 1931 V. 31. V. 133. Pp. 60-72.Novikov S.P. Multivalued functions and functionals. An analogue of the Morse theory // Rep. Acad. Sci. USSR. 1981. V. 260. N. 1. Pp. 31-34 (in Russian).Смейл С. Топология и механика // УМН. 1972. Т. 27. В. 2(164). С. 77-133.Novikov S.P., Shmeltser I. Periodic Solutions of the Kirchhoff Equations for Free Motion of a Rigid Body in a Fluid and the Extended Lyusternik-Shnirelman-Morse (LSM) Theory // Funct. analysis and its applications. 1981. V. 15. Issue. 3. Pp. 54-66 (in Russian).Palmore J.L. Classifying relative equilibria // Bull. AMS. 1973. V. 79. Pp. 904-908; 1975. V. 81. Pp. 488-491.Novikov S.P. Variational Methods and Periodic Solutions of Kirchhoff Type Equations // Funct. analysis and its applications. 1981. V. 15. Issue. 4. Pp. 37-52 (in Russian).Козлов В.В. Вариационное исчисление в целом и классическая механика // УМН. 1985. Т. 40. В. 2(242). С. 33-60.Kirchhoff G. Vorlesungen ¨𝑢ber mechanic. Leipzig: B. G. Teubner, 1897. 475 p.Козлов В.В. Интегрируемость и неинтегрируемость в гамильтоновой механике // УМН. 1983. Т. 38. В. 1. С. 3-67.Borisov A.V., Mamaev I.S. Poisson structures and Lie algebras in Hamiltonian mechanics. Izhevsk: Ed. House "Udmurt. Univ.”, 1999. 464 p. (in Russian).Козлов В.В. Топологические препятствия к интегрируемости натуральных механических систем // ДАН СССР. 1979. Т. 249. № 6. С. 1299-1302.Novikov S.P. Hamiltonian formalism and a many-valued analogue of Morse theory // Russian Mat. Survey. 1982. V. 37. Issue 5(227). Pp.3-49 (in Russian).Арнольд В.И. Математические методы классической механики. М.: Наука, 1989. 472 с.Michel L., Mozrzymas B. Application of Morse theory to the symmetry breaking in the Landau theory of second order phase transition // Group theoretical methods in physics. Lecture notes in physics. Berlin: Springer-Verlag, 1978. Pp. 447-461.Новиков С.П. Многозначные функции и функционалы. Аналог теории Морса // ДАН СССР. 1981. Т. 260. № 1. С. 31-34.Belavin A.A., Polyakov A.M., Schwarz A.S., Tyupkin Y.S. Pseudopartical solutions of the Yang-Mills equations // Phys. Lett. 1975. V. 59B. Pp. 85-87.Новиков С.П., Шмельцер И. Периодические решения уравнений Кирхгофа для свободного движения твердого тела в жидкости и расширенная теория Люстерника-Шнирельмана-Морса (ЛШМ) // Функц. анализ и его прил. 1981. Т. 15. В. 3. С. 54-66.Polyakov A. M. The spectrum of particles in quantum field theory // JETP Letters. 1974. V. 20. Issue 6. Pp. 430-433 (in Russian).Новиков С.П. Вариационные методы и периодические решения уравнений типа Кирхгофа // Функц. анализ и его прил. 1981. Т. 15. В. 4. С. 37-52.Atyah M. Geometry of Yang-Mills fields. Fermi lecture // Michel Atyah. Collected works. V. 5. Oxford: Clarendon Press, 1988. Pp. 75-174.Кирхгоф Г. Механика. Лекции по математической физике. М.: Из-во АН СССР, 1962. 402 с.Atyah M., Bott R. The Yang-Mills equations over Riemann surfaces // Phil. Trans. Soc. Lond. 1982. V. A 308. Pp. 523-615.Борисов А.В., Мамаев И.С. Пуассоновы структуры и алгебры Ли в гамильтоновой механике. Ижевск: Изд. Дом «Удмурт. ун-т», 1999. 464 с.Witten E. Supersymmetry and MORSE Theory // J. Dif. Geometry. 1982. V. 17(4). Pp. 661-692.Новиков С.П. Гамильтонов формализм и многозначный аналог теории Морса // УМН. 1982. Т. 37. В. 5(227). С. 3-49.Donaldson S. Self-dual connections and the topology of smooth 4-manifolds // Bull. AMS. 1983. V. 8. Pp. 81-83.Michel L., Mozrzymas B. Application of Morse theory to the symmetry breaking in the Landau theory of second order phase transition // Group theoretical methods in physics. Lecture notes in physics. Berlin: Springer-Verlag, 1978. Pp. 447-461.Donaldson S., Kronheimer P. The Geometry of Four- Manifolds. Oxford: OUP, 1990. 440 p.Belavin A.A., Polyakov A.M., Schwarz A.S., Tyupkin Y.S. Pseudopartical solutions of the Yang-Mills equations // Phys. Lett. 1975. V. 59B. Pp. 85-87.Bourbaki N. Elements of the history of mathematics. N.Y.: Springer-Verlag, 1994. 301 p.Поляков А. М. Спектр частиц в квантовой теории поля // Письма в ЖЭТФ. 1974. Т. 20. В. 6. С. 430—433.Alvarez-Gaume L. Supersymmetry and the Atiyah-Singer Index Theorem // Comm. Math. Phys. 1983. V. 90. Pp. 161-173.Atyah M. Geometry of Yang-Mills fields. Fermi lecture // Michel Atyah. Collected works. V. 5. Oxford: Clarendon Press, 1988. Pp. 75-174.Monastyrsky M.I. Modern Mathematics in the Light of the Fields Medals. M.: Janus-K, 2000. 200 p. (in Russian).Atyah M., Bott R. The Yang-Mills equations over Riemann surfaces // Phil. Trans. Soc. Lond. 1982. V. A 308. Pp. 523-615.Atyah M., Bott R. The Yang-Mills equations over Riemann surfaces // Phil. Trans. Soc. Lond. 1982. V. A 308. Pp. 523-615.Witten E. Supersymmetry and MORSE Theory // J. Dif. Geometry. 1982. V. 17(4). Pp. 661- 692.Witten E. Supersymmetry and MORSE Theory // J. Dif. Geometry. 1982. V. 17(4). Pp. 661- 692.Donaldson S. Self-dual connections and the topology of smooth 4-manifolds // Bull. AMS. 1983. V. 8. Pp. 81-83.Donaldson S. Self-dual connections and the topology of smooth 4-manifolds // Bull. AMS. 1983. V. 8. Pp. 81-83.Donaldson S., Kronheimer P. The Geometry of Four- Manifolds. Oxford: OUP, 1990. 440 p.Donaldson S., Kronheimer P. The Geometry of Four- Manifolds. Oxford: OUP, 1990. 440 p.Бурбаки Н, Очерки по истории математики. М.: Изд-во иностр. литературы, 1963. 292 с.Бурбаки Н, Очерки по истории математики. М.: Изд-во иностр. литературы, 1963. 292 с.Alvarez-Gaume L. Supersymmetry and the Atiyah-Singer Index Theorem // Comm. Math. Phys. 1983. V. 90. Pp. 161-173.Alvarez-Gaume L. Supersymmetry and the Atiyah-Singer Index Theorem // Comm. Math. Phys. 1983. V. 90. Pp. 161-173.Монастырский М.И. Современная математика в отблеске медалей Филдса. М.: Янус-К, 2000. 200 с.Монастырский М.И. Современная математика в отблеске медалей Филдса. М.: Янус-К, 2000. 200 с.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.