chebЧебышевский сборникChebyshevskii Sbornik2226-8383Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University10.22405/2226-8383-2023-24-3-242-250cheb-1563Research ArticleКраткие сообщенияО последовательности дробных частей отношения чисел Фибоначчи 𝑥_(𝑛+1) = {︁((𝐹_(𝑛+1))/(𝐹_𝑛))𝑥𝑛}︁On the sequence of fractional parts of the ratio of Fibonacci numbers 𝑥𝑛+1 = {︁((𝐹_(𝑛+1))/𝐹_𝑛)𝑥𝑛}︁ГиясиАзарGiyasiAzar

кандидат физико-математических наук

candidate of physical and mathematical sciences

azarghyasi@atu.ac.irМихайловИлья ПетровичMikhailovIlya Petrovichchubarik2020@mail.ruЧубариковВладимир НиколаевичChubarikovVladimir Nikolaevich

доктор физико-математических наук, профессор

doctor of physical and mathematical sciences, professor

chubarik2020@mail.ruУниверситет имени Алламе ТабатабаиИранAllameh Tabataba’i UniversityIslamic Republic of IranКазанский авиационный институтРоссияKazan Aviation InstituteRussian FederationМосковский государственный университет им. М. В. ЛомоносоваРоссияLomonosov Moscow State UniversityRussian Federation202307112023243242250Copyright © Гияси А., Михайлов И.П., Чубариков В.Н., 20232023Гияси А., Михайлов И.П., Чубариков В.Н.Giyasi A., Mikhailov I.P., Chubarikov V.N.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.chebsbornik.ru/jour/article/view/1563

В работе для разложений действительных чисел по последовательности Фибоначчи доказаны теоремы о равномерном распределении остатков для почти всех чисел в смысле меры Лебега. Вывод этой теоремы основан на критерии Г.Вейля равномерного распределения последовательности по модулю единица и лемме Бореля – Кантелли.

In this paper for the expension of real numbers on Fibonacci sequence theorems on the uniform distribution of remainders for almost of all real numbers in the sense of Lebesgue’s measure. the conclusion of this theorem is based on theWeyl’s criteria of the uniform distributionof a sequence modulo unit and on the lemma.

последовательность Фибоначчикритерий Г. Вейлялемма Бореля – Кантелли.the Fibonacci’s sequenceH.Weyl’s criterialemma of Borel – Kantelli.ReferencesHardy G. H., Littlewood J. E. The fractional part of 𝑛𝑘𝜃.// Acta math., 1914, 37.Hardy G. H., Littlewood J. E., 1914, “The fractional part of 𝑛𝑘𝜃” // Acta math., 37.Borel E. Les probabilit´es d´enombarables et leurs applications arithm´etiques.// Rend Circolo math. Palermo, 1909, 27.Borel E, 1909, “Les probabilit´es d´enombarables et leurs applications arithm´etiques” // Rend Circolo math. Palermo, 27.Гельфонд А. О. Об одном общем свойстве систем счисления// Изв. АН СССР, сер. матем (in Russian). 1959, 23 (Избр.тр. с.366-371).Gel’fond A. O, 1959, “On one general property of numerical system ”// Izv. AN SSSR, Ser. math. (in Russian). 23 (Selected works) pp. 366–371.Zeckendorf E. Repr´sentation des nombres naturels par une somme de nombres de Fibonacci ou de nombres de Lucas// Bull. Soc. R. Sci. Li`ege (in French). 1972, 41, p. 179-182.Zeckendorf E, 1972, “Repr´sentation des nombres naturels par une somme de nombres de Fibonacci ou de nombres de Lucas” // Bull. Soc. R. Sci. Li`ege (in French). 41, pp. 179–182.Dickson L. E. History of the theory of numbers. — Carnegie Inst. of Washigton. 1919. Ch.17.Dickson L. E, 1919, “History of the theory of numbers” — Carnegie Inst. of Washigton. Ch.17.Архипов Г. И., Садовничий В. А., Чубариков В. Н. Лекции по математическому анализу. — М.: Дрофа. 2006. 640 с.Arkhipov G. I., Sadovnichii V. A., Chubarikov V. N, 2006, “Lectures on mathematical analysis” — M.: Drofa. Pp. 640.Касселс Дж. В. С. Введение в теорию диофантовых приближений. — М.: Изд-во иностр. лит-ры. 1961. 212 с.Cassels J. W. S, 1961, “An introduction to Diophantine approximation” — Cambridge University Press, pp. 212.Холл М. Комбинаторика. — М.: Изд-во “Мир”. 1970. 424 с.Hall M.,Jr, 1970, “Combinatorial theory” — Waltham (Massachusetts)-Toronto-London: Blaisdell Publ. Comp., pp. 424.Бернулли Д.// Comment. Acad.Sci. Petrop., 1728, 3, p. 85–100.Bernoulli D, 1728, “Combinatorial theory” // Comment. Acad.Sci. Petrop., 3, pp. 85–100.Кнут Д. Э. Искусство программирования, т.1. Основные алгоритмы, 3-е изд. Уч. пособие. — М.: Изд. дом “Вильямс”. 2000. 720 с.Knuth D. E, 1998, “The art computer programming. Fundamental algorithms. Third Ed” — Reading, Massachusetts-Harlow, England-Menlo Park, California-Berkley, california-Lon Mills, Ontario-Sidney-Bonn-Amsterdam-Tokyo-Mexico City: Addison Wesley Longman, Inc. pp. 720.de Moivre A.// Philos. Trans., 1922, 32, p. 162–178.de Moivre A, 1922, “Philos. Trans”, 32, p. 162–178.Чебышев П. Л. Теория вероятностей. — Изд-во АН СССР. 1936, S23. c.143–147.ChebyshevP. L, 1936, “The theory of probabilities” — AN SSSR. S23. pp. 143–147. (in Russian).Ландау Э. Основы анализа. — М.: ИЛ, 1947.Landau E, 1947, “Fundamentals of analysis” — M.: Inostr.literature.(in Russian).Голубов Б. И., Ефимов А. В., Скворцов В. А. Ряды и преобразования Уолша: теория и приложения. — М.: Наука, 1987, 344 с.Golubov B. I., Efimov A. V., Skvortsov V. A, 1987, “Series and the Uolsh’s transformations: the theory and applications” — M.: Nauka, pp. 344.(in Russian).Минеев М. П., Чубариков В. Н. Лекции по арифметическим вопросам криптографии. — М.: ООО“Луч”, 2014, 224 с.Mineev M.P., Chubarikov V. N, 2014, “Lectures on arithmetical questions of cryptography” — M.: LLC “Luch”, pp. 224. (in Russian).Ghyasi А. H. A generalization of the Gel’fond theorem concerning number systems// Russian Journal of Mathematical Physics. 2007, 14, No.3, p.370.Ghyasi А. H, 2007, “A generalization of the Gel’fond theorem concerning number systems”// Russian Journal of Mathematical Physics. 14, no.3, p.370.Гияси А.Х., Михайлов И. П., Чубариков В. Н. О разложении действительных чисел по некоторым последовательностям// Чебышевский сборник. 2022, 23, No.1, с.50-60.Ghyasi A. K., Mihaylov I.P., Chubarikov V. N, 2022, “On the expansion of real numbers over some sequences” // Chebyshevskii Sbornik. 23, no.3, pp.50–60.Гияси А. Х., Михайлов И. П., Чубариков В. Н. О равномерном распределении остатков в разложении действительных чисел по мультипликативной системе чисел// Чебышевский сборник. 2022, 23, No.3, с.38-44.Ghyasi A. K., Mihaylov I.P., ChubarikovV. N, 2022, “On the uniform distribution of remainders in the expansion of real numbers over the multiplicative system of numbers” // Chebyshevskii Sbornik. 23, No.5, с.38-44.Гияси А.Х., Михайлов И. П., Чубариков В. Н. О разложении действительных чисел по последовательности Фибоначчи// Чебышевский сборник. 2023, 24, No.2, с.Ghyasi A. K., Mihaylov I.P., Chubarikov V. N, 2023, “On the expansion of real numbers over the Fibonacci sequence” // Chebyshevskii Sbornik. 24, no.2, pp. 247–253.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.