Пусть 𝑎1, . . . , 𝑎𝑑 – натуральные числа, удовлетворяющие условию 𝑎1 ≥ 𝑎2 ≥ . . . ≥ 𝑎𝑑−1 ≥ 𝑎𝑑 = 1. Определим последовательность {𝑇𝑛} при помощи линейного рекуррентного соотношения 𝑇𝑛 = 𝑎1𝑇𝑛−1 + 𝑎2𝑇𝑛−2 + . . . + 𝑎𝑑𝑇𝑛−𝑑 и начальных условий 𝑇0 = 1,𝑇𝑛 = 1 + 𝑎1𝑇𝑛−1 + 𝑎2𝑇𝑛−2 + . . . + 𝑎𝑛𝑇0 для 𝑛 < 𝑑. Пусть N(𝑤) – множество натуральных чисел, для которых жадное разложение по линейной рекуррентной последовательности {𝑇𝑛} заканчивается на некоторое слово 𝑤. При этом 𝑤 выбирается так, чтобы множество N(𝑤) было непустым. Рассматривается задача о числе 𝑟𝑘(𝑁) представлений натурального числа 𝑁 в виде суммы 𝑘 слагаемых из N(𝑤).С использованием полученного ранее описания множеств N(𝑤) в терминах сдвигов торов размерности 𝑑−1 получена асимтотическая формула для числа представлений 𝑟𝑘(𝑁),а также найдены верхние оценки для числа представлений.Найдены условия на 𝑘, при выполнении которых искомое представление существует для всех достаточно больших натуральных 𝑁. В частности, такое представление существует, если , где 𝑚 – длина фиксированного окончания 𝑤 жадного разложения. Кроме того, получена асимтотическая формула для среднего числа представлений.В заключении сформулировано несколько нерешенных задач.
Let 𝑎1, . . . , 𝑎𝑑 be natural numbers satisfying condition 𝑎1 ≥ 𝑎2 ≥ . . . ≥ 𝑎𝑑−1 ≥ 𝑎𝑑 = 1.Define sequence {𝑇𝑛} using the linear recurrent relation 𝑇𝑛 = 𝑎1𝑇𝑛−1 + 𝑎2𝑇𝑛−2 + . . . + 𝑎𝑑𝑇𝑛−𝑑 and initial conditions 𝑇0 = 1, 𝑇𝑛 = 1 + 𝑎1𝑇𝑛−1 + 𝑎2𝑇𝑛−2 + . . . + 𝑎𝑛𝑇0 for 𝑛 < 𝑑. Let N(𝑤) be a set of natural numbers for which the greedy expansion on the linear recurrent sequence {𝑇𝑛} ends with some word 𝑤. Here 𝑤 is chosen in such a way that so that the set N(𝑤) is non-empty.We study the problem about the number 𝑟𝑘(𝑁) of representations of a natural number 𝑁 in as the sum of 𝑘 terms from N(𝑤).Using the previously obtained description of the sets N(𝑤) in terms of shifts of tori of dimension 𝑑 − 1, an asymptotic formula for the number of representations 𝑟𝑘(𝑁) is obtained, and also found upper bounds for the number of representations.Conditions on 𝑘 that ensure the existence of considered representations for all sufficiently large natural numbers 𝑁 are found. In particular, such representations exist if , where 𝑚 is the length of the fixed end 𝑤 of the greedy expansion.In addition, an asymptotic formula is obtained for the average number of representations.In conclusion, several unsolved problems are formulated.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.