доктор физико-математических наук, профессор
doctor of physical and mathematical sciences, professor
Обнаружение достаточного количества тензорных инвариантов (и не только первых интегралов), как известно [13, 14, 45], позволяет проинтегрировать систему дифференциальных уравнений. Например, наличие инвариантной дифференциальной формы фазового объема позволяет уменьшить количество требуемых первых интегралов. Как известно, для консервативных систем этот факт естественен. Для систем же, обладающих притягивающими или отталкивающими предельными множествами, не только некоторые первые интегралы, но и коэффициенты имеющихся инвариантных дифференциальных форм должны, вообще говоря, включать трансцендентные (т.е. имеющие существенно особыеточки, в смысле комплексного анализа) функции (см. также [1, 23, 24]).Кратко приведем примеры часто встречающихся тензорных инвариантов. Скалярные инварианты — это первые интегралы рассматриваемой системы. Инвариантные векторные поля — поля симметрий для данной системы (они коммутируют с векторным полем рассматриваемой системы). Фазовые потоки систем дифференциальных уравнений, порождаемых этими полями, переводят решения рассматриваемой системы в решения тойже системы. Инвариантные внешние дифференциальные формы (что, в основном, и проведено в данной работе) порождают интегральные инварианты рассматриваемой системы.При этом само векторное поле рассматриваемой системы является одним из инвариантов (тривиальный инвариант). Знание тензорных инвариантов рассматриваемой системы дифференциальных уравнений облегчает и ее интегрирование, и качественное исследование. Наш подход состоит в том, что для точного интегрирования автономной системы из 𝑛 дифференциальных уравнений, помимо упомянутого тривиального инварианта, надо знать еще 𝑛 − 1 независимых тензорных инвариантов.В работе предъявлены тензорные инварианты (дифференциальные формы) для однородных динамических систем на касательных расслоениях к гладким четырехмерныммногообразиям. Показана связь наличия данных инвариантов и полным набором первых интегралов, необходимых для интегрирования геодезических, потенциальных и диссипативных систем. При этом вводимые силовые поля делают рассматриваемые системы диссипативными с диссипацией разного знака и обобщают ранее рассмотренные.
The detection of a sufficient number of tensor invariants (and not only the first integrals), as [13, 14, 45] is known, allows integrating a system of differential equations. For example, the presence of an invariant differential form of the phase volume makes it possible to reduce thenumber of required first integrals. As you know, this fact is natural for conservative systems.For systems with attracting or repelling limit sets, not only some first integrals, but also the coefficients of the available invariant differential forms should, generally speaking, include transcendental (i.e. having essentially singular points, in the sense of complex analysis) functions(see also [1, 23, 24]).We briefly give examples of frequently occurring tensor invariants. Scalar invariants are the first integrals of the system under consideration. Invariant vector fields are symmetry fields fora given system (they commute with the vector field of the system under consideration). The phase flows of systems of differential equations generated by these fields translate the solutions of the system in question into solutions of the same system. Invariant external differential forms (which is mainly carried out in this paper) generate integral invariants of the system under consideration. At the same time, the vector field of the system under consideration itself is one of the invariants (a trivial invariant). Knowledge of tensor invariants of the system of differential equations under consideration facilitates both its integration and qualitative research. Our approach consists in the fact that in order to accurately integrate an autonomous system of 𝑛 differential equations, in addition to the mentioned trivial invariant, it is necessary to know 𝑛 − 1 independent tensor invariants.In this paper, we present tensor invariants (differential forms) for homogeneous dynamical systems on the tangent bundles of smooth four-dimensional manifolds and demonstrate the connection between the availability of these invariants and the existence of a complete set of first integrals, which is necessary for integrating of geodesic, potential, and dissipative systems.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.