кандидат физико-математических наук, доцент
candidate of physical and mathematical sciences, associateprofessor
В статье исследуются верхние оценки на длины периодов функциональных непрерывных дробей для ключевых элементов гиперэллиптических полей над числовыми полями. В случае, когда гиперэллиптическое поле задается многочленом нечетной степени, конечная длина периода тривиальным образом оценивается сверху удвоенной степенью фундаментальной 𝑆-единицы. Более интересный и сложный случай, когда гиперэллиптическое поле задается многочленом четной степени. В 2019 году В.П. Платоновым и Г.В. Федоровым для гиперэллиптических полей ℒ = Q(𝑥)(√𝑓), deg 𝑓 = 2𝑔 + 2, над полем Q рациональных чисел найден точный промежуток значений 𝑠 ∈ Z таких, что непрерывные дроби элементов вида √𝑓/𝑥𝑠 ∈ ℒ ∖ Q(𝑥) периодические. В данной статье найдено обобщение этого результата для произвольного поля в качестве поля констант. Опираясь на этот результат, найдены точные оценки сверху на длины периодов функциональных непрерывных дробей элементов гиперэллиптических полей над числовыми полями 𝐾, зависящие только от рода 𝑔 гиперэллиптического поля, степени расширения 𝑘 = [𝐾 : Q] и порядка 𝑚 подгруппы кручения якобиана соответствующей гиперэллиптической кривой.
The paper investigates upper bounds on the period length of functional continued fractions for key elements of hyperelliptic fields over number fields. In the case when the hyperelliptic field is given by a polynomial of odd degree, the finite period length is trivially estimated from above twice the power of the fundamental 𝑆-unit. A more interesting and complicated case is when the hyperelliptic field is given by a polynomial of even degree. In 2019 V.P. Platonov andG.V. Fedorov for hyperelliptic fields ℒ = Q(𝑥)(√𝑓), deg 𝑓 = 2𝑔 +2, over the field Q of rational numbers the exact interval of values 𝑠 ∈ Z is found such that the continued fractions of elements of the form√𝑓/𝑥𝑠 ∈ ℒ∖Q(𝑥) are periodic. In this article, we find a generalization of this result for an arbitrary field as a field of constants. Based on this result, sharp upper estimates for the lengths of the periods are found functional continued fractions of elements of hyperelliptic fields over number fields 𝐾, depending only on the genus 𝑔 of the hyperelliptic field, the degree of extension 𝑘 = [𝐾 : Q] and order 𝑚 of the Jacobian torsion subgroup of the corresponding hyperelliptic curve.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.