chebЧебышевский сборникChebyshevskii Sbornik2226-8383Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University10.22405/2226-8383-2023-24-3-139-161cheb-1558Research ArticleСтатьиArticleТочное неравенство Джексона — Стечкина в 𝐿2,𝜇𝛼The exact Jackson–Stechkin inequality in 𝐿2,𝜇𝛼ТилеубаевТилектес ЕрешовичTileubayevTilektes EreshovichTileubaev@mail.ruЕвразийский национальный университет им. Л. Н. ГумилеваКазахстанEurasian L. N. Gumilyov National UniversityKazakhstan202307112023243139161Copyright © Тилеубаев Т.Е., 20232023Тилеубаев Т.Е.Tileubayev T.E.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.chebsbornik.ru/jour/article/view/1558

В работе решено несколько экстремальных задач о наилучшем средне квадратическом приближений функций 𝑓, на полуоси с степенным весом, которые может быть применены при решении различных задач. Получены точные неравенства типа Джексона–Стечкина на некоторых классах функций, в которых величины наилучших приближений оцениваются сверху через модули гладкости Ганкеля 𝑘-го порядка.

Several extremal problems on the best mean-square approximation of the functions 𝑓, on a semiaxis with a power-law weight are solved in the paper, which can be applied in solving various problems. Exact Jackson–Stechkin-type inequalities are obtained for some classes of functions in which the values of the best approximations are estimated from above in terms of 𝑘-th order Hankel moduli of smoothness.

Неравенство Джексонамодули гладкостинаилучшее приближениеточные константы.Jackson inequalitymoduli of smoothnessbest approximationexact constants.ReferencesКорнейчук Н. П. Точные константы в теории приближения – M.: Наука. 1987.Korneichuk N.P., 1987, “Exact constants in approximation theory“ Moskow, Nauka, [in Russian].Черных Н. И. О неравенстве Джексона в 𝐿2 // Тр. МИАН СССР, 88 (1967), 71–74.Chernykh N. I., “On the Jackson inequality in 𝐿2“, Tr.MIAN SSSR.1967 Vol. 88, P.71-74.Черных Н. И. О наилучшем приближении периодических функций тригонометрическими полиномами в 𝐿2// Матем. заметки, 2:5 (1967), 513–522.Chernykh N. I., 1967, “On the best approximation of periodic functions by trigonometric polynomials in 𝐿2“, Math. notes., Vol.2 № 5. P. 513-522.Шалаев B. B. О поперечниках в 𝐿2 классов дифференцируемых функций // Укр. матем. журнал., 1991 3 № 1 104-107.Shalaev B. B., 1991, “Widths in 𝐿2 of Classes of Differentiable Functions Defined by Continuity of Higher Order Modules“, Ukr. Mat. jour. Vol. 3 № 1. P. 104-107.Ибрагимов И. И., Насибов Ф. Г. Об оценке наилучшего приближения суммируемой функции на вещественной оси посредством целых функций конечной степени // Докл. АН СССР., 194:5 (1970), 1013–1016.Ibragimov I. I., Nasibov V. I., 1970, “Estimate of the best approximation of an integrable function on the real axis using entire functions of finite degree“, Dokl. acad. USSR Academy of Sciences, Vol. 194, № 5. P. 1013-1016.Попов В.Ю. О наилучших среднеквадратических приближениях целыми функциями экспоненциального типа // Изв. вузов. Матем., 1972, 6, 65–73.Popov V. Yu., 1970, “On Exact Constants in Jackson’s Inequalities for the Best Spherical Root-Mean-Square Approximations“, Russian Math.(Iz. VUZ) 1970, Vol. 12,235 P. 67-80.Арестов В. В., Попов В.Ю. Неравенства Джексона на сфере в 𝐿2 // Изв. вузов. Матем., 1995, 8, 13–20.Arestov V. V., Popov V.Yu., 1981, “Jackson’s inequalities on the sphere in L2“, Russian Math.jour., Vol.39, № 8. P.11-18.Бабенко А. Г. Точное неравенство Джексона–Стечкина в пространстве 𝐿2 функций на многомерной сфере // Матем. заметки, 60:3 (1996), 333–355.Babenko A. G., 1998, “Exact Jackson-Stechkin inequality for 𝐿2(𝑅𝑚)“, Tr. IMM UB RAS. Vol.5, № 3. P. 183-198.Шабозов М. Ш., Юсупов Г. А. Наилучшие полиномиальные приближения в 𝐿2 некоторых классов 2𝜋-периодических функций и точные значения их поперечников // Матем. заметки, 90:5 (2011), 764–775.M. Sh. Shabozov, G. A. Yusupov, “Best Polynomial Approximations in L2 of Classes of 2𝜋-Periodic Functions and Exact Values of Their Widths”, Math. Notes, 90:5 (2011), pp. 748–757J. Li, Liu Y.P. The Jackson inequality for the best 𝐿2-approximation of functions on [0, 1] with the weight x // Numer. Math. Theory Methods Appl. 2008 Vol. 1, № 3 P.340-356.Li J. , Liu Y.P., 2008, “The Jackson inequality for the best 𝐿2-approximation of functions on [0, 1] with the weight x“ Numer. Math. Theory Methods Appl. Vol. 1, № 3 P.340-356J. Li, Y.P Liu, Chun-Mei Su. Jackson inequality and widths of function classes in 𝐿2([0, 1], 𝑥2𝜈+1) //Journal of Complexity 2012 Vol. 28, P.582-596.Li J. , Liu Y.P., Chun-Mei Su., 2012,“Jackson inequality and widths of function classes in 𝐿2([0, 1], 𝑥2𝜈+1)“, Journal of Complexity. Vol. 28, P.582-596Бердышева Е. Е. Две взаимосвязанные экстремальные задачи для целых функций многих переменных // Матем. заметки, 66:3 (1999), 336–350.E. E. Berdysheva, “Two related extremal problems for entire functions of several variables“, Math. Notes, 66:3 (1999), pp. 271–282Московский А. В. Теоремы Джексона в пространствах 𝐿𝑝(𝑅𝑛) и 𝐿𝑝, 𝜆(𝑅+) // Изв. ТулГУ. сер. матем., мех., информатика 1997 Вып. 194, № 3 44-70.Moskovsky A. V., 1997, “Jackson’s theorems in the spaces 𝐿𝑝(𝑅𝑛) and 𝐿𝑝, 𝜆(𝑅+)“, Izv. TulGU. ser. mathematics, mechanics, informatics. Volume. 194, № 3, pp. 44-70Горбачев Д. В. Экстремальные задачи для целых функций экспоненциального сферического типа // Матем. заметки, 68:2 (2000), 179–187.D. V. Gorbachev, “Extremum problems for entire functions of exponential spherical type“, Math. Notes, 68:2 (2000), 159–166Иванов В. И. О точности неравенства Джексона в пространствах Lp на полупрямой со степенным весом // Матем. заметки, 98:5 (2015), 684–694.V. I. Ivanov, “On the Sharpness of Jackson’s Inequality in the Spaces Lp on the Half-Line with Power Weight”, Math. Notes, 98:5 (2015), 742–751Есмаганбетов М. Г. Поперечники классов из 𝐿2[0, 2𝜋] и минимизация точных констант в неравенствах типа Джексона // Матем. заметки, 65:6 (1999), 816–820.M. G. Esmaganbetov, “Widths of classes from 𝐿2[0, 2𝜋] and the minimization of exact constants in Jackson-type inequalities”, Math. Notes, 65:6 (1999), 689–693Шабозов М. Ш., Тухлиев К., Муродов К.Н. Точные оценки скорости сходимости рангов Фурье-Бесселя и значений n-поперечников некоторых классов функций // Вопросы вычислительной и прикладной математики 2015 № 2 40-47.Shabozov M. Sh., Tukhliev K., Murodov K.N. “Exact estimates of the rate of convergence of Fourier-Bessel ranks and values of n-widths of some classes of functions“, Questions of Computational and Applied Mathematics 2015 No. 2 40-47.Тайков Л. В. Неравенство, содержащее наилучшие приближения и модуль непрерывности функций из 𝐿2 // Матем. заметки, 1976 Т. 20, № 3 433–438.Taikov L. V.,1976, “An inequality containing the best approximations and the modulus of continuity of functions from 𝐿2“, Math. notes, Vol 20, № 3 P. 433–438Бейтман Г., Эрдейи А. 1966 Высшие трансцендентные функции. Функции Бесселя, функции параболического цилиндра, ортогональные многочлены – М.: Наука.G. Bateman G., Erdeyi A., 1966, Higher transcendental functions. Bessel functions, parabolic cylinder functions, orthogonal polynomials M. NaukaЛевитан Б. М. Разложение по функциям Бесселя в ряды и интегралы Фурье // УМН, 6:2(42) (1951), 102–143.Levitan V. M., 1951, “Expansion in Bessel functions in Fourier series and integrals“, Uspekhi Mat. Vol 42, № 6:2 P. 102-143.Платонов С. С. Гармонический анализ Бесселя и приближение функций на полупрямой // Изв. РАН. Сер. матем., 71:5 (2007), 149–196.Platonov S. S., 2007 “Bessel harmonic analysis and approximation of functions on the half-line“, Izv. Math., 71:5 (2007), pp. 1001–1048Абилов В. А., Абилов М. В., Керимов М. К. Точные оценки скорости сходимости рядов Фурье–Бесселя // Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 55:6 (2015), 917–927.Abilov V. A., Abilova F.V., Kerimov M. K., “Sharp estimates for the convergence rate of Fourier–Bessel series“, Comput. Math. Math. Phys., 55:6 (2015), pp. 907–916Абилов В. А., Абилов М. В., Керимов М. К. Точные оценки скорости сходимости двойных рядов Фурье по классическим ортогональным многочленам // Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 55:7 (2015), 1109–1117.Abilov V. A., Abilova F. V., Kerimov M. K., “Sharp estimates for the rate of convergence of double Fourier series in classical orthogonal polynomials”, Comput. Math. Math. Phys., 55:7 (2015), pp. 1094–1102Платонов С. С. Обобщенные сдвиги Бесселя и некоторые задачи теории приближений функций в метрике L2. I // Труды ПГУ. Математика, 2000, № 7, 70–83.Platonov S. S., 2000, “Generalized Bessel shifts and some problems in the theory of approximations of functions in the 𝐿2 metric. I“, Proceedings of PSU. Vol.7, P. 70-83Стейн И., Вейс Г. Введение в гармонический анализ на евклидовых пространствах –М.: Мир. 1974.Stein I.M , Weiss G. 1974 Introduction to harmonic analysis on Euclidean spaces M. MirВ. А. Юдин Экстремальные свойства функций и дизайны на торе // Матем. заметки 1997, Vol. 61, № 4 637–640.Yudin V. A., 1997, “Extremal properties of functions and designs on a torus“, Mat. Notes Vol. 61, No. 4 P. 637–640Lizorkin P. I., Nikol’skii S. M. A theorem concerning approximation on the sphere // Anal. Math. 1983 Vol. 9, 207–221.Lizorkin P.I., Nikol’skii S.M. 1983 “A theorem concerning approximation on the sphere“, Anal. Math. Vol. 9, P.207–221Рустамов Х. П. О приближении функций на сфере // Изв.РАН. Сер. матем., 1993 57, № 5, С. 127–148.Rustamov Kh.P., 1993 “On the approximation of functions on a sphere“, Izv.RAN. Ser. Mat., 1993 Vol. 57, 5 P. 127–148Никольский С. М., Лизоркин П. И. 1987 Аппроксимация функций на сфере // Изв.РАН. Сер. матем., 1987 Vol. 51, № 3, С. 635–651.Nikol’skii S. M., Lizorkin P. I. 1987 “Approximation of functions on a sphere“Izv.RAN. Ser. math. Vol. 51, 3 P.635-651Vakarchuk S. B., Shabozov M. Sh., and V. I. Zabutnaya. Structural characteristics of functions from 𝐿2 and the exact values of widths of some functional classes // Journal of Mathematical Sciences, 2015 Vol. 206, № 1, С. 97-114.Vakarchuk S. B., Shabozov M. Sh., and Zabutnaya V. I. 2015 “ Structural characteristics of functions from 𝐿2 and the exact values of widths of some functional classes“ Journal of Mathematical Sciences, Vol. 206, № 1 P.97-114Горбачев Д. В. Оценка оптимального аргумента в точном многомерном 𝐿2-неравенстве Джексона–Стечкина // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН., 2014, том 20, № 1, С. 83–91.Gorbachev D. V. 2015 “An estimate of an optimal argument in the sharp multidimensional Jackson–Stechkin L2-inequality“, Proc. Steklov Inst. Math. (Suppl.), 288, suppl. 1, pp. 70–78Ватсон Н. Г. Теория функций Бесселя – М.: Изд. иностранные лит-ры. 1949.Watson N.G., 1949, Theory of Bessel functions M. Izd. foreign litersШабозов М.Ш. Поперечники некоторых классов периодических функций в пространстве 𝐿2[0, 2𝜋] // 𝐿2 Мат. заметки., 2010, Vol. 87, № 4, 616–623.Shabozov M. Sh.2010, “Widths of some classes of periodic functions in the space 𝐿2[0, 2𝜋], 𝐿2“, Mat. notes., Vol. 87, No. 4, P.616–623.Вакарчук С.Б., Шабозов М.Ш., Лангаршоев М.Р. О наилучших среднеквадратических приближениях целыми функциями экспоненциального типа в 𝐿2(𝑅) и средних 𝜈-поперечниках некоторых функциональных классов // Известия вузов. Математика 2014, № 7, С. 30–48.Vakarchuk S.B., Shabozov M.Sh., and Langarshoev M.R. 2014, “On the best mean square approximations by entire functions of exponential type in 𝐿2(𝑅) and mean 𝜈-widths of some functional classes“, Russian Math.(Iz. VUZ). № 7, p. 30–48.Vakarchuk S.B. Jackson - type inequalities for the special moduli of continuity on the entire real axis and the exact values of mean 𝜈-widths for the classes of functions in the space 𝐿2(𝑅) // Ukrainian Mathematical Journal. 2014. Vol. 66, № 6, 827–856.Vakarchuk S.B. 2014 “Jackson - type inequalities for the special moduli of continuity on the entire real axis and the exact values of mean 𝜈-widths for the classes of functions in the space 𝐿2(𝑅) “ Ukrainian Mathematical Journal. Vol. 66, No. 6, pp. 827–856.Лигун А. А. Некоторые неравенства между наилучшими приближениями и модулями непрерывности в пространстве L2 // Мат. заметки.,1978, 24, № 6, 785–792.Ligun A.A. 1978 “Some inequalities between best approximations and moduli of continuity in the space 𝐿2“ Mat. notes., Vol 24, No. 6, pp. 785–792.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.