chebЧебышевский сборникChebyshevskii Sbornik2226-8383Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University10.22405/2226-8383-2023-24-3-95-121cheb-1554Research ArticleСтатьиArticleИнтерполяция для системы концентрических сетокInterpolation for a system of concentric gridsРодионовАлександр ВалерьевичRodionovAlexander Valerievichrodionovalexandr@mail.ruДобровольскийМихаил НиколаевичDobrovol’skiiMikhail Nikolaevich

кандидат физико-математических наук

candidate of physical and mathematical sciences

m.dobrovolsky@gcras.ruДобровольскийНиколай НиколаевичDobrovol’skiiNikolai Nikolaevich

кандидат физико-математических наук

candidate of physical and mathematical sciences

nikolai.dobrovolsky@gmail.comДобровольскийНиколай МихайловичDobrovol’skiiNikolai Mihailovich

доктор физико-математических наук, профессор

doctor of physical and mathematical sciences, professor

dobrovol@tsput.ruТульский государственный педагогический университет им. Л. Н. ТолстогоРоссияTula State Lev Tolstoy Pedagogical UniversityRussian FederationГеофизический центр РАНРоссияGeophysical Centre of RASRussian Federation20230411202324395121Copyright © Родионов А.В., Добровольский М.Н., Добровольский Н.Н., Добровольский Н.М., 20232023Родионов А.В., Добровольский М.Н., Добровольский Н.Н., Добровольский Н.М.Rodionov A.V., Dobrovol’skii M.N., Dobrovol’skii N.N., Dobrovol’skii N.M.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.chebsbornik.ru/jour/article/view/1554

В работе дается обзор по результатам Тульской школы теории чисел по вопросам интерполяции периодических функций многих переменных, заданных в узлах обобщенной параллелепипедальной сетки целочисленной решетки, и по алгоритмам численного инте-грирования с правилом остановки. Необходимые факты и обозначения приводятся во 2 разделе, который состоит из 6 подразделов: 2.1. Из геометрии чисел; 2.2. Тригонометрические суммы сеток и решёток; 2.3. Неравенства для перенормировок на пространстве (𝐸_𝑠)^a ; 2.4. Интерполяционные формулы для обобщенной параллелепипедальной сетки целочисленной решётки; 2.5. Свойства оператора интерполирования; 2.6. Оценки погрешностиинтерполирования. В этих подразделах наряду с известными фактами и определениями,полученными ранее в Тульской школе теории чисел, содержатся новые понятия и фактысвязанные с интерполированием по сдвинутым параллелепипедальным сеткам.В следующем разделе 3. Алгоритмы приближенного интегрирования и интерполирования с правилом остановки содержится новые определения, связанные с переносом понятия концентрический алгоритм приближенного интегрирования на случай мультипликативного, концентрического алгоритма приближенного интерполирования.В работе исследуются новые вопросы приближенного интерполирования с правиламиостановки. В 4-ом разделе рассмотрен наиболее важный и интересный для практическойреализации случай вложенных последовательностей параллелепипедальных сеток. Получена оценка нормы разности двух операторов интерполирования по решётке и подрешётке, что позволило в качестве правила остановки концентрического алгоритма приближенного интерполирования периодических функций взять величину максимума модуля разности этих операторов на точках большей параллелепипедальной сетки. В заключении формулируются задача для дальнейшего исследования.

The paper provides an overview of the results of the Tula School of Number Theory on the following issues interpolation of periodic functions of many variables defined in the nodes of a generalized parallelepipedal grid of an integer lattice, and by numerical integration algorithms with a stopping rule.The necessary facts and notations are given in Section 2, which consists of 6 subsections: 2.1.From the geometry of numbers; 2.2. Trigonometric sums of grids and lattices; 2.3. Inequalities forrenormalization on the space (𝐸_𝑠)^a ; 2.4. Interpolation formulas for the generalized parallelepipedal grid of an integer lattice; 2.5. Properties of the interpolation operator; 2.6. Estimates of the interpolation error. These subsections, along with the known facts and definitions obtained earlier at the Tula School of Number Theory, contain new concepts and facts related to interpolation on shifted parallelepipedal grids.The following section 3. Algorithms of approximate integration and interpolation with the stopping rule contains new definitions related to the transfer of the concept of a concentric algorithm of approximate integration to the case of a multiplicative, concentric algorithm ofapproximate interpolation.The paper investigates new issues of approximate interpolation with stopping rules. In the 4th section, the most important and interesting case of nested sequences of parallelepipedal grids is considered for practical implementation. An estimate of the norm of the difference between two interpolation operators on a lattice and a sublattice was obtained, which made it possible to take the maximum of the modulus of the difference of these operators at the points of a larger parallelepipedal grid as the stopping rule of the concentric algorithm for approximate interpolation of periodic functions. In conclusion, the task for further research is formulated.

абсолютно минимальная гиперболическая полная система вычетов.the minimum polynomial of the given algebraic irrationalityresidual fractionscontinued fractionsTDP-shapethe modules Tuecouple Tuelinear-fractional transformation of the second kind.Работа выполнена в рамках государственного задания Министерства просвещения РФ соглашение №073- 03-2023-303/2 от 14.02.23 г. тема научного исследования «Теоретико-числовые методы в приближенном анализе и их приложения в механике и физике»The study was carried out within the framework of state task No. 073-03-2022-117/7 on the topic "Numbertheoretic methods in approximate analysis and their applications in mechanics and physics" .ReferencesБабенко К. И. Основы численного анализа. М.: Наука, 1986.Babenko, K.I. 1986, Osnovy chislennogo analiza [Fundamentals of numerical analysis], Nauka, Moscow, Russia.Бочарова Л. П. Алгоритмы поиска оптимальных коэффициентов // Чебышевский сборник 2007 Т. 8. Вып. 1(21). Тула, Из-во ТГПУ им. Л. Н. Толстого. С. 4–109.Bocharova, L.P. 2007, “Algorithms for finding the optimal coefficients”, Chebyshevskij sbornik, vol. 8, no. 1(21), pp. 4–109.Быковский В. А. Дискретное преобразование Фурье и циклическая свертка на целочисленных решетках // Мат. сб. 136(178). 4(8). 1988. C. 451–467Bykovskij, V.А 1988, “Discrete Fourier transform and cyclic convolution on integer lattices”, Matematicheskij sbornik, vol. 136(178), no. 4(8), pp. 451–467.Быковский В. А. О погрешности теоретико-числовых квадратурных формул // Чебышевский сборник, 2002, т. 3, вып. 2(4), С. 27–33.Bykovskij, V.А 2002, “On the error of number-theoretic quadrature formulas”, Chebyshevskij sbornik, vol. 3, no. 2(4), pp. 27–33.О. А. Горкуша, Н. М. Добровольский. Об оценках гиперболической дзета-функции решёток // Чебышевский сборник, 2005, т. 6, вып. 2(14), С. 130–138.O. A. Gorkusha, N. M. Dobrovolsky, 2005, "On estimates of hyperbolic zeta function ofДобровольская Л. П., Добровольский Н. М., Симонов А. С. О погрешности приближенного интегрирования по модифицированным сеткам // Чебышевский сборник, 2008 Т. 9. Вып. 1(25). Тула, Из-во ТГПУ им. Л. Н. Толстого. С. 185 — 223.lattices" // Chebyshevskii Sbornik, vol. 6, issue 2(14), pp. 130-138.Добровольский М. Н. Об оптимальных коэффициентах комбинированных сеток // Чебышевский сборник. Тула, 2004. Т. 5. Вып. 1(9). С. 82–113.Dobrovol’skaya, L. P., Dobrovol’skii, N. M. & Simonov, А.S. 2008, “On the error of approximate integration over modified grids”, Chebyshevskij sbornik, vol. 9, no. 1(25), pp. 185–223.Добровольский М. Н., Добровольский Н. М., Киселева О. В. О произведении обобщенных параллелепипедальных сеток целочисленных решеток // Чебышевский сборник. Тула, 2002. Т. 3. Вып. 2(4). С. 43 – 59.Dobrovol’skii, M. N. 2004, “The optimum coefficients of the combined meshes”, Chebyshevskij sbornik, vol. 5, no. 1(9), pp. 95–121.Добровольский Н. М. Гиперболическая дзета функция решеток. Деп. в ВИНИТИDobrovol’skii, M. N., Dobrovol’skii, N. M. & Kiseleva, O.V. 2002, “On the product of08.84, № 6090–84.generalized parallelepipedal grids of integer lattices”, Chebyshevskij sbornik, vol. 3, no. 2(4), pp. 43–59.Добровольский Н. М., Бочарова Л. П. Пятьдесят лет теоретико-числовому методу в приближенном анализе // Наукоемкое образование. Традиции. Иновации. Перспективы.Dobrovol’skii, N. M. 1984, “The hyperbolic Zeta function of lattices”, Dep. v VINITI, no.Сборник межвузовских научных статей. Тула, АНОВО "ТИНО 2006. С. 189 – 198–84.Добровольский Н. М., Есаян А. Р., Андреева О. В., Зайцева Н. В. Многомерная теоретико-числовая Фурье интерполяция // Чебышевский сборник, 2004, Т. 5. Вып. 1(9). Тула, Из-во ТГПУ им. Л. Н. Толстого. С. 122 — 143.Dobrovol’skii, N. M. & Bocharova, L.P. 2006, “Fifty years of the number-theoretic method in the approximate analysis”, Naukoemkoe obrazovanie. Traditsii. Innovatsii. Perspektivy, Sbornik mezhvuzovskikh nauchnykh statej, pp.189–198.Добровольский Н. М., Манохин Е. В. Банаховы пространства периодических функций // Изв. ТулГУ. Сер. Механика. Математика. Информатика. Т. 4. Вып. 3. Тула, 1998. C. 56–67.N. M. Dobrovolsky, A. R. Yesayan, O. V. Andreeva, N. V. Zaitseva, 2004, “Multidimensional number-theoretic Fourier interpolation”, Chebyshevskii sbornik, vol. 5, iss. 1(9), pp. 122–143.Добровольский Н. М., Манохин Е. В., Реброва И. Ю., Аккуратова С. В. О некоторых свойствах нормированных пространств и алгебр сеток // Известия ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика. Т. 5. Вып. 1. Тула, 1999. С. 100–113.Dobrovol’skii, N. M. & Manokhin, E.V. 1998, “Banach spaces of periodic functions”, Izvestiya TulGU. Seriya Matematika. Mekhanika. Informatika, vol. 4, no. 3, pp. 56–67.Н. Н. Добровольский, И. Ю. Реброва, А. Н. Кормачева, Н. М. Добровольский. Оценки отклонения для рациональных сеток, приближающих алгебраические // Чебышевcкий сборник, 2022, т. 23, вып. 4, с. 178–187.Dobrovol’skii, N. M., Manokhin, E.V., Rebrova, I. YU. & Аkkuratova, S.V.1999, “On some properties of normed spaces and algebras of nets”, Izvestiya TulGU. Seriya Matematika. Mekhanika. Informatika, vol. 5, no. 1, pp. 100–113.Касселс Д. Введение в геометрию чисел. М.: Мир, 1965.N. N. Dobrovol’skii, I. Yu. Rebrova, A. N. Kormacheva, N. M. Dobrovol’skii, 2022, “Deviation estimates for rational grids approximating algebraic”, Chebyshevskii sbornik, vol. 23, no. 4, pp. 178–187.Коробов Н. М. Теоретико-числовые методы в приближенном анализе. М.: Физматгиз, 1963.Kassels, D. 1965, Vvedenie v geometriyu chisel, [Introduction to the geometry of numbers], Mir, Moscow, Russia.Коробов Н. М. Теоретико-числовые методы в приближенном анализе. (второе издание) М.: МЦНМО, 2004.Korobov, N.M. 1963, Teoretiko-chislovye metody v priblizhennom analize [Number-theoretic methods in approximate analysis], Fizmat-giz, Moscow, Russia.Локуциевский О. В., Гавриков М. Б. Начала численного анализа. М.: ТОО Янус, 1995.Korobov, N.M. 2004, Teoretiko-chislovye metody v priblizhennom analize [Number-theoretic methods in approximate analysis], 2nd ed, MTSNMO, Moscow, Russia.Lokutsievskij, O. V. & Gavrikov, M. B. 1995, Nachala chislennogo analiza [The beginning of numerical analysis], TOO “Yanus”, Moscow, Russia.Lokutsievskij, O. V. & Gavrikov, M. B. 1995, Nachala chislennogo analiza [The beginning of numerical analysis], TOO “Yanus”, Moscow, Russia.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.