chebЧебышевский сборникChebyshevskii Sbornik2226-8383Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University10.22405/2226-8383-2023-24-3-71-94cheb-1553Research ArticleСтатьиArticleОбобщение проблемы Варинга для девяти почти пропорциональных кубовGeneralization of Waring’s problem for nine almost proportional cubesРахмоновЗарулло ХусеновичRakhmonovZarullo Khusenovich

доктор физико-математических наук, профессор, академик НАН Таджикистана, директор Института математики им. А. Джураева 

doctor of physical and mathematical sciences, professor, Academician of the National Academy of Sciences of Tajikistan, director of the A. Dzhuraev Institute of Mathematics

zarullo-r@rambler.ruНАН Таджикистана, Институт математики им. А. ДжураеваТаджикистанNational Academy of Sciences of Tajikistan, A. Dzhuraev Institute of MathematicsTajikistan2023031120232437194Copyright © Рахмонов З.Х., 20232023Рахмонов З.Х.Rakhmonov Z.K.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.chebsbornik.ru/jour/article/view/1553

Получена асимптотическая формула для количества представлений достаточно большого натурального 𝑁 в виде суммы девяти кубов натуральных чисел 𝑥𝑖, 𝑖 = 1, 9, удовлетворяющих условиям 

$$|(𝑥_𝑖)^3− 𝜇𝑖𝑁| ⩽ 𝐻, 𝜇1 + . . . + 𝜇9 = 1 𝐻 ⩾ 𝑁^)1−(1/30)+𝜀), $$ 

где 𝜇1, . . . , 𝜇9 — положительные фиксированные числа. Этот результат является усилением теоремы Е.М.Райта.

An asymptotic formula is obtained for the number of representations of a sufficiently large natural 𝑁 as a sum of nine cubes of natural numbers 𝑥𝑖, 𝑖 = 1, 9, satisfying the conditions 

$$|(𝑥_𝑖)^3− 𝜇𝑖𝑁| ⩽ 𝐻, 𝜇1 + . . . + 𝜇9 = 1 𝐻 ⩾ 𝑁^)1−(1/30)+𝜀), $$ 

where 𝜇1, . . . , 𝜇9 — positive fixed numbers. This result is a strengthening of E.M.Wright’s theorem.

проблема Варингапочти пропорциональные слагаемыекороткая тригонометрическая сумма Г. Вейлямалая окрестность центров больших дуг.Waring’s problemalmost proportional SummandsH. Weil’s short exponential sumsmall neighborhood of centers of major arcsReferencesWaring E. M. Meditationes algebraicae // Cambridge. 1770.Waring E. M., 1770, Meditationes algebraicae , Cambridge.Hilbert D. Beweis f¨ur die Darstellbarkeit der ganzen Zahlen durch eine feste Anzahl n-terHilbert D., 1909, “Beweis f¨ur die Darstellbarkeit der ganzen Zahlen durch eine feste AnzahlPotenzen (Waringsches Problem) // Mathematische Annalen. 1909. V. 67. P. 281 – 300.n-ter Potenzen (Waringsches Problem)”, Mathematische Annalen, vol. 67, pp. 281—300.Hardy G. H., Littlwood J. E. Some problems of ”Partitio Numerorum”. I: A new solutionHardy G. H., & Littlwood J.E., 1920, “Some problems of ”Partitio Numerorum”. I: Aof Waring’s problem. // Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu G¨ottingen.new solution of Waring’s problem”, Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zuMathematisch-Physikalische Klasse. 1920. P. 33 – 54.G¨ottingen. Mathematisch-Physikalische Klasse, pp. 33-54.Виноградов И. М. Избранные труды — М: Изд-во АН СССР, 1952 г.Vinogradov I. M., 1952, Izbrannye trudy. (Russian) [Selected works.], Izdat. Akad. Nauk SSSR, Moscow, 436 pp., (in Russian).Виноградов И. М. Новое решение проблемы Варинга // Доклады Академии наук СССР.Vinogradov I.M., 1934, “Novoe reshenie problemy Varinga”, Doklady Akademii nauk, vol. 2,г. № 2. С. 337 – 341.pp. 337–341, (in Russian).Виноградов И. М. К вопросу о верхней границе для 𝐺(𝑛) // Известия Академии наукVinogradov I. M., 1959, “On an upper bound for 𝐺(𝑛)”, Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat.,СССР. Серия математическая. 1959 г. Т. 23. № 5. С. 637 – 642.vol. 23, no 5, pp. 637–642, (in Russian).Карацуба А. А. О функции 𝐺(𝑛) в проблеме Варинга // Известия Академии наук СССР.Karatsuba A. A., 1986, “On the function 𝐺(𝑛) in Waring’s problem”, Math. USSR-Izv., vol. 27,Серия математическая. 1985 г. -Т. 49. № 5. C. 935 – 947.no 2, pp. 239–249.Wooley T. D. Large improvements in Waring’s problem // Ann of Math. 1992. V. (2)135. №Wooley T. D., 1992, “Large improvements in Waring’s problem”, Ann of Math., vol. (2)135,P. 131 – 164.no 1. pp. 131-164.Davenport H. OnWaring’s Problem for Fourth Powers // Annals of Mathematics Second Series. 1939. V. 40.№ 4. P. 731 – 747.Davenport H., 1939, “On Waring’s Problem for Fourth Powers”, Annals of Mathematics Second Series, vol. 40, no. 4, pp. 731-747.Линник Ю. В. О разложении больших чисел на семь кубов // Доклады Академии наукLinnik Yu. V.,1942, “On the representation of large numbers as sums of seven cubes”,СССР. 1942 г. № 35. C. 179 – 180.C. R. (Dokl.) Acad. Sci. URSS, n. Ser., vol. 35, pp. 162.Vaughan R.C. On Waring’s problem for cubes // J. Reine Angew. Math. 1986. V. 365. P. 122 –170.Vaughan, R. C., 1986, “On Waring’s problem for cubes”, J. Reine Angew. Math., vol. 365,Wright E. M. Proportionality conditions in Waring’s problem // Mathematische Zeitschrift.pp. 122-170.V. 38. P. 730 – 746.Wright E. M., 1934, “Proportionality conditions in Waring’s problem”, MathematischeWright E. M. An extension ofWaring’s problem // Philos. Trans. R. Soc. Lond. 1933. Ser. A 232. P. 1 – 26.Zeitschrift, vol. 38, pp. 730-746.Рахмонов З. Х. Кубическая задача Эстермана с почти равными слагаемыми // Матема-Wright E. M., 1933, “An extension of Waring’s problem”, Philosophical Transactions of theтические заметки. 2014. Т. 95. вып. 3. С. 445 – 456.Royal Society of London, Series A, vol. 232. pp. 1-26.Рахмонов З. Х., Назрублоев Н. Н., Рахимов А. О. Короткие суммы Г.Вейля и их прило-Rakhmonov, Z. Kh., 2014, “The Estermann cubic problem with almost equal summands“,жения // Чебышевский сборник. 2015. Т. 16. В. 1(53). С. 232 – 247.Mathematical Notes, vol. 95, Is. 3-4, pp. 407–417. doi.org/10.1134/S0001434614030122.Рахмонов З. Х. Тернарная задача Эстермана с почти равными слагаемыми // Математические заметки. 2003. Т. 74. вып. 4. С. 564 – 572.Rakhmonov Z. Kh., & Nazrubloev N. N., Rakhimov A.O., 2015, “Short Weyl sums and theirРахмонов З. Х. Короткие тригонометрические суммы Г.Вейля // Ученые записки Орлов-applications”, Chebyshevskii Sbornik, vol. 16, Is. 1, pp. 232–247, (in Russian).ского университета. Серия естественные, технические и медицинские науки. 2013. № 6.Rakhmonov Z. Kh., 2003, “Estermann’s ternary problem with almost equal summands”,часть 2. С. 194 – 203.Mathematical Notes, vol. 74, Is. 4, pp. 534-542. doi.org/10.1023/A:1026199928464.Рахмонов З. Х., Азамов А. З., Назрублоев Н. Н. Короткие тригонометрические суммы Г.Rakhmonov Z. Kh., 2013, “Short Weyl sums”, Uchenyye zapiski Orlovskogo universiteta. Seriya yestestvennyye, tekhnicheskiye i meditsinskiye nauki, no. 6, part 2, pp. 194–203, (in Russian).Вейля в малых дугах // Доклады Академии наук Республики Таджикистан. 2018 г. Т. 61.Rakhmonov Z. Kh., & Azamov A.Z., Nazrubloev N. N., 2018, “Of short Weyl’s exponential sum in minor arcs”, Doklady Akademii nauk Respubliki Tajikistan, vol. 61, no 7-8, pp. 609-614, (in Russian).№ 7-8. С. 609–614.Rakhmonov Z. Kh., & Mirzoabdugafurov K. I., 2008, “Waring’s problem for cubes with almostРахмонов З. Х., Мирзоабдугафуров К. И. Проблема Варинга для кубов с почти равнымиequal summands”, Doklady Akademii nauk Respubliki Tajikistan, vol. 51, no 2, pp. 83-86, (inслагаемыми // Доклады Академии наук Республики Таджикистан, 2008. Т. 51. № 2.Russian).С. 83 – 86.Rakhmonov Z. Kh., & Azamov A.Z., 2011, “An asymptotic formula in Waring’s problem forРахмонов З. Х., Азамов А. З. Асимптотическая формула в проблеме Варинга для чет-fourth powers with almost equal summands”, Doklady Akademii nauk Respubliki Tajikistan,вертых степеней с почти равными слагаемыми // Доклады Академии наук Республикиvol. 54, no 3, pp. 34-42, (in Russian).Таджикистан. 2011. Т. 54. № 3. С. 34 – 42.Rakhmonov Z. Kh., & Nazrubloev N. N., 2014, “Waring’s problem for fifth powers with almostРахмонов З. Х., Назрублоев Н. Н. Проблема Варинга для пятых степеней с почти равными слагаемыми // Доклады Академии наук Республики Таджикистан. 2014. Т. 57. № 11 – 12. С. 823 – 830.equal summands”, Doklady Akademii nauk Respubliki Tajikistan, vol. 57, no 11-12, pp. 823-830,Рахмонов Ф. З., Рахимов А. О. Об одной аддитивной задаче с почти равными слагае-(in Russian).мыми // Исследования по алгебре, теории чисел, функциональному анализу и смежнымRakhmonov F. Z., & Rakhimov A. O., 2015, “On an additive problem with almost equalвопросам. Издательство: Саратовский национальный исследовательский государственныйsummands”, Issledovaniya po algebre, teorii chisel, funktsional’nomu analizu i smezhnymуниверситет им. Н.Г. Чернышевского. ISSN: 1810-4134. 2016. № 8. С. 87 – 89.voprosam. Izdatel’stvo: Saratovskiy natsional’nyy issledovatel’skiy gosudarstvennyy universitetАрхипов Г. И., Карацуба A. A., Чубариков В. Н. Теория кратных тригонометрическихim. N.G. Chernyshevskogo, ISSN: 1810-4134, no 8, pp. 87–89, (in Russian).сумм. — Москва. Наука. 1987 г.Arkhipov G. I. & Chubarikov V. N. & Karatsuba A. A. 2004. Trigonometric sums in numberУиттекер Э. Т., Ватсон Дж. Н. Курс современного анализа. ч. 1. Основные операцииtheory and analysis, Berlin–New-York: Walter de Gruyter, 554 p.анализа. — Изд. 2–е. Перев. с англ. Физматгиз. М. 1963 г. -342 с.Whittaker G. E., Watson T. N., 1915, A Course of Modern Analysis. Part 1. The processes ofВон Р. Метод Харди–Литтлвуда. — Мир, М., 1985.analysis. Part 2. The transcendental functions, Cambridge, Cambridge University Press, 620.Vaughan R. C., 1981. The Hardy-Littlewood method, Cambridge Tracts in Mathematics, vol.Vaughan R. C., 1981. The Hardy-Littlewood method, Cambridge Tracts in Mathematics, vol., Cambridge University Press, Cambridge, 172 p., Cambridge University Press, Cambridge, 172 p.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.