chebЧебышевский сборникChebyshevskii Sbornik2226-8383Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University10.22405/2226-8383-2023-24-3-42-55cheb-1551Research ArticleСтатьиArticleПары взаимодополнительных 2-мерных симплициальных многогранников: интересные примерыPairs of mutually complementary 2-dimensional simplicial polyhedra: Interesting examplesЛоренсСерж АлександровичLawrenceSerge Alexandrovich

кандидат физико-математических наук, доцент

candidate of physical and mathematical sciences, associateprofessor

lawrencenko@hotmail.comЛаоАлекс СергеевичLaoAlex Sergeevichlaoshanda@hotmail.comЛаоМария ЕвгеньевнаLaoMaria Evgenievnamany444@mail.ruЧеляпинаОльга ИвановнаChelyapinaOlga Ivanovna

кандидат технических наук, доцент

candidate of technical sciences, associate professor

olga-chelyapina@mail.ruРоссийский государственный университет туризма и сервиса; Институт сервисных технологийРоссияRussian State University of Tourism and Service; Institute of Service TechnologiesRussian FederationIT-компания «Комета Геймс»РоссияIT Company “Kometa Games”Russian Federation2023031120232434255Copyright © Лоренс С.А., Лао А.С., Лао М.Е., Челяпина О.И., 20232023Лоренс С.А., Лао А.С., Лао М.Е., Челяпина О.И.Lawrence S.A., Lao A.S., Lao M.E., Chelyapina O.I.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.chebsbornik.ru/jour/article/view/1551

Построен пример пары (2-мерных) 8-вершинных симплициальных тороидальных многогранников (каждый многогранник без самопересечений) с одним и тем же 1-мерным остовом в 3-мерном (евклидовом) пространстве, у которых нет ни одной общей 2-мерной грани, причём объединение 2-мерных остовов этих двух многогранников даёт геометрическую реализацию в 3-мерном пространстве 2-мерного остова 4-мерного гипероктаэдра.Также построен пример пары 6-вершинных симплициальных многогранных проективных плоскостей с одним и тем же 1-мерным остовом в 4-мерном пространстве, у которых нетни одной общей 2-мерной грани, причем объединение этих проективных плоскостей даёт геометрическую реализацию в 4-мерном пространстве 2-мерного остова 5-мерного гипертетраэдра. Наконец, показывается, как можно образно представить атомы в молекуле метана CH4 “связанными” парой внутренне непересекающихся остовных многогранных лентМёбиуса.

We construct an example of a pair of (2-dimensional) 8-vertex simplicial toroidal polyhedra (each polyhedron without self-intersection) with same 1-dimensional skeleton in (Euclidean) 3-space, which do not have a single common 2-face, and the union of the 2-skeletons of these two polyhedra gives a geometric realization of the 2-skeleton of the 4-dimensional hyperoctahedron in 3-space. Also, we construct an example of a pair of 6-vertex simplicial polyhedral projective planes with the same 1-skeleton in 4-space, which do not have a single common 2-face, and the union of these projective planes gives a geometric realization of the 2-skeleton of the 5-hypertetrahedron in 4-space. Finally, it is shown how to imagine, figuratively, the atoms in the molecule of methane CH4 “linked” by a pair of internally disjoint spanning polyhedral M¨obius strips.

многогранниктриангуляцияторпроективная плоскостьлента Мёбиусадиаграмма ШлегеляGeoGebrapolyhedrontriangulationtorusprojective planeM¨obius stripSchlegel diagramGeoGebraReferencesArchdeacon D., Bonnington C.P., Ellis-Monaghan J. A. How to exhibit toroidal maps in space // Discrete Comput. Geom. 2007. Vol. 38. № 3. P. 573-594.Archdeacon, D., Bonnington, C.P. & Ellis-Monaghan, J. A. 2007, “How to exhibit toroidal maps in space”, Discrete Comput. Geom., vol. 38, no. 3, pp. 573-594.Banchoff T. F., K¨uhnel W. Tight polyhedral models of isoparametric families, and PL-taut submanifolds // Adv. Geom. 2007. Vol. 7. № 4. P. 613-629.Banchoff, T. F. & K¨uhnel, W. 2007, “Tight polyhedral models of isoparametric families, and PL-taut submanifolds”, Adv. Geom., vol. 7, no. 4, pp. 613-629.Barnette D. Generating the triangulations of the projective plane // J. Combin. Theory Ser. B. 1982. Vol. 33. № 3. P. 222-230.Barnette, D. 1982, “Generating the triangulations of the projective plane”, J. Combin. Theory Ser. B, vol. 33, no. 3, pp. 222-230.Barnette D. All triangulations of the projective plane are geometrically realizable in 𝐸4 // Israel J. Math. 1983. Vol. 44. № 1. P. 75-87.Barnette, D. 1983, “All triangulations of the projective plane are geometrically realizable in 𝐸4”, Israel J. Math., vol. 44, no. 1, pp. 75-87.Bonnington C.P., Nakamoto A. Geometric realization of a triangulation on the projective plane with one face removed // Discrete Comput. Geom. 2008. Vol. 40. № 1. P. 141-157.Bonnington, C.P. & Nakamoto, A. 2008, “Geometric realization of a triangulation on the projective plane with one face removed”, Discrete Comput. Geom., vol. 40, no. 1, pp. 141-157.Gr¨unbaum B. Convex Polytopes (Graduate Texts in Mathematics, 221), 2nd edition. V. Kaibel, V. Klee and G. M. Ziegler, eds., Springer-Verlag, New York, 2003.Gr¨unbaum, B. “Convex Polytopes” (Graduate Texts in Mathematics, 221), 2nd edition. V. Kaibel, V. Klee and G. M. Ziegler, eds., Springer-Verlag, New York, 2003.Лавренченко С. А. Неприводимые триангуляции тора // Украинский геометрический сборник. 1987. Т. 30. С. 52-62.Lawrencenko, S.A., 1987, “Irreducible triangulations of the torus”, (Russian) Ukrain. Geom. Sb., vol. 30, pp. 52-62.Lavrenchenko S.A. All self-complementary simplicial 2-complexes homeomorphic to the torus or the projective plane // Baku International Topological Conference: Abstracts. Part II (Baku, 3-9 October 1987) — Baku, 1987. P. 159.Lavrenchenko, S. A., 1987, “All self-complementary simplicial 2-complexes homeomorphic to the torus or the projective plane”, in Baku International Topological Conference: Abstracts. Part II (Baku, 3-9 October 1987), Baku, p. 159.Лавренченко С. А. Перечисление в явном виде всех автоморфизмов неприводимых триангуляций тора и всех укладок на тор помеченных графов этих триангуляций / Харьковский институт радиоэлектроники им. акад. М.К. Янгеля. Харьков, 1987. Деп. в УкрНИИНТИ 01.10.1987, № 2779-Ук87. 57 с.Lawrencenko, S. A., 1987, “Explicit lists of all automorphisms of the irreducible toroidal triangulations and of all toroidal embeddings of their labeled graphs”. (Russian) Yangel Kharkov Institute of Radio Electronics, Kharkov. Report deposited at UkrNIINTI (Ukrainian Scientific Research Institute of Scientific and Technical Information), report no. 2779-Uk87 (1 Oct. 1987).Лавренченко С. А. О числе треугольных укладок вершинно-помеченного графа на торе // Украинский геометрический сборник. 1988. Т. 31. С. 76-90.Lawrencenko, S. A., 1988, “On the number of triangular embeddings of a vertex-labeled graph on the torus”, (Russian) Ukrain. Geom. Sb., vol. 31, pp. 76-90.Лавренченко С. А. Таблицы всех существенно различных триангуляций проективной плоскости с некоторыми интересными графами / МГУ, Москва, 1989. Деп. в ВИНИТИ 25.01.1989, № 613-В89. 23 с.Lawrencenko, S. A., 1989, “Tables of all essentially different triangulations of the projective plane with some interesting graphs”. (Russian) Lomonosov Moscow State University, Moscow. Report deposited at VINITI (Institute of Scientific and Technical Information), report no. 613-B89 (25 Jan. 1989).Лавренченко С. А. О числе треугольных укладок помеченного графа на проективной плоскости // Украинский геометрический сборник. 1989. Т. 32. С. 71-84.Lawrencenko, S. A., 1989, “On the number of triangular packings of a labeled graph in the projective plane”, (Russian) Ukrain. Geom. Sb., vol. 32, pp. 71-84.Lavrenchenko S. A. Irreducible triangulations of the torus // J. Soviet Math. 1990. Vol. 51. № 5. P. 2537-2543.Lavrenchenko, S. A., 1990, “Irreducible triangulations of the torus”, J. Soviet Math., vol. 51, no. 5, pp. 2537-2543.Lavrenchenko S. A. The number of triangular packings of a vertically labeled graph on a torus // J. Soviet Math. 1991. Vol. 54. № 1. P. 719-728.Lavrenchenko, S. A., 1991, “The number of triangular packings of a vertically labeled graph on a torus”, J. Soviet Math., vol. 54, no. 1, pp. 719-728.Lavrenchenko S. A. Number of triangular packings of a marked graph on a projective plane // J. Soviet Math. 1992. Vol. 59. № 2. P. 741-749.Lavrenchenko, S. A., 1992, “Number of triangular packings of a marked graph on a projective plane”, J. Soviet Math., vol. 59, no. 2, pp. 741-749.Lawrencenko S. Polyhedral suspensions of arbitrary genus // Graphs Combin. 2010. Vol. 26. № 4. P. 537-548.Lawrencenko, S. A., 2010, “Polyhedral suspensions of arbitrary genus”, Graphs Combin., vol. 26, no. 4, pp. 537-548.Lawrencenko S., Magomedov A. M. Generating the triangulations of the torus with the vertexlabeled complete 4-partite graph 𝐾2,2,2,2 // Symmetry. 2021. Vol. 13, № 8, 1418.Lawrencenko, S. A. & Magomedov, A. M. 2021, “Generating the triangulations of the torus with the vertex-labeled complete 4-partite graph 𝐾2,2,2,2”, Symmetry, vol. 13, no. 8, 1418.Маслова Ю.В., Петров М. В. Многогранник Лавренченко рода один // Герценовские чтения «Некоторые актуальные проблемы современной математики и математического образования»: сборник трудов конференции (Санкт-Петербург, 09-13 апреля 2018 г.) — Санкт-Петербург: 2018. С. 162-168.Maslova, Y. V. & Petrov, M. V. 2018, “Lavrenchenko’s polyhedron of genus one”. (Russian) in Some Actual Problems of Modern Mathematics and Mathematical Education; Herzen Readings—2018 (St. Petersburg, April 9-13, 2018) Russian Herzen State Pedagogical University: St. Petersburg, Russia, pp. 162-168.Steinitz E. Polyeder und Raumeinteilungen, in Enzykl. Math. Wiss. Part 3AB12 (Geometrie). 1922. P 1-139.Steinitz, E. 1922, “Polyeder und Raumeinteilungen”, in Enzykl. Math. Wiss. Part 3AB12 (Geometrie), pp. 1-139.Ch´avez M.-J., Lawrencenko S., Quintero A., Villar M.-T. Irreducible triangulations of the M¨obius band // Bul. Acad. ¸Stiin¸te Repub. Mold. Mat. 2014. № 2. P. 44-50.Ch´avez, M.-J., Lawrencenko, S., Quintero, A. & Villar, M.-T. 2014, “Irreducible triangulations of the M¨obius band”, Bul. Acad. ¸Stiin¸te Repub. Mold. Mat., no. 2, pp. 44-50.Chen B., Kwak J. H., Lawrencenko S. Weinberg bounds over nonspherical graphs // J. Graph Theory. 2000. Vol. 33. № 4. P. 220-236.Chen, B., Kwak, J. H. & Lawrencenko, S. 2000, “Weinberg bounds over nonspherical graphs”, J. Graph Theory, vol. 33, no. 4, pp. 220-236.Chen B., Lawrencenko S. Structural characterization of projective flexibility // Discrete Math. 1998. Vol. 188. № 1-3. P. 233-238.Chen, B. & Lawrencenko, S. 1998, “Structural characterization of projective flexibility”, Discrete Math., vol. 188, no. 1-3, pp. 233-238.Chen H., Schlenker J.-M. Weakly inscribed polyhedra // Trans. Amer. Math. Soc. Ser. B. 2022. Vol. 9. P. 415-449.Chen, H. & Schlenker, J.-M. 2022, “Weakly inscribed polyhedra”, Trans. Amer. Math. Soc. Ser. B, vol. 9, pp. 415-449.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.