В конце 80-х и начале 90-х годов прошлого века американский математик Ч. Данкль (C. F. Dunkl) создал основу для теории специальных функций многих переменных, связанных с группами отражений, и их интегральных преобразований в ряде своих работ. Эта теория получила развитие в работах многих математиков. В настоящее время эта теория получила название теории Данкля в математической литературе. Теория Данкля находит широкие применения в теории вероятностей, математической физике, теории приближений. Настоящая работа посвящена применению гармонического анализа Данкля в пространствах Lp на евклидовом пространстве R d и единичной евклидовой сфере S d−1 с весом Данкля, определяемым системой корней и связанной с ней группой отражений, к задачам теории приближений. Задача нахождения точной константы в неравенстве Джексона, или константы Джексона, между величиной наилучшего приближения функции и ее модулем непрерывности является важной экстремальной задачей теории приближений. В работе рассматривается задача о константе Джексона в пространствах Lp, 1 ≤ p < 2, на единичной окружности S 1 с весом Данкля, связанным с группой диэдра Im, m ∈ N. Наилучшее приближение осуществляется подпространством κ-сферических гармоник, определяемых с помощью лапласиана Данкля. Модуль непрерывности опреде- ляется с помощью оператора обобщенного сдвига, впервые появившегося в работах Ю. Шу. В случае единичного веса, т. е. когда функция кратности κ на системе корней тождественно равняется нулю, неравенство Джексона на единичной многомерной евклидовой сфере S d−1 с константой 2 1/p−1 , совпадающей с константой Юнга пространства Lp, было доказано Д. В. Горбачевым. Он же установил точность этой константы. Неравенство Джексона с той же константой в пространствах Lp, 1 ≤ p < 2, на единичной многомерной евклидовой сфере S d−1 с весом Данкля, инвариантным относительно произвольной конечной группы отражений, было получено автором ранее. Теперь в работе получена оценка снизу константы Джексона в пространствах Lp, 1 ≤ p < 2, на единичной евклидовой окружности S 1 с весом Данкля, инвариантным относительно группы диэдра Im, m ∈ N. При m ≥ 3 группы диэдра — группы симметрий правильных m-угольников в R 2 . При решении поставленной задачи мы существенно используем подход, разработанный В. И. Ивановым совместно с Лю Юнпином. При этом преодолеваются дополнительные трудности, связанные с появлением в пространствах Lp[0, π], 1 ≤ p < 2, с весом |sin(t/2)| 2α+1| cos(t/2)| 2β+1 , α ≥ β ≥ −1/2, нового модуля непрерывности, определяемого с помощью несимметричного оператора обобщенного сдвига.
In the late 80ies and in the early 90ies of the past century the framework for a theory of special functions and integral transforms in several variables related with reflection groups was systematically built up in a series of papers of american mathematician C. F. Dunkl. This theory was further developed by many mathematicians. Nowadays, this theory is called Dunkl theory in the literature. Dunkl theory is widely used in probability theory, mathematical physics, approximation theory. The present paper is devoted to an application of Dunkl harmonic analysis on the Euclidean space R d and the unit Euclidean sphere S d−1 with Dunkl weight function invariant under the reflection group associated with some root system to problems of approximation theory. The problem of finding the sharp constant in Jackson’s inequality, or Jackson’s constant, between the value of best approximation of a function and its modulus of continuity in Lp-spaces is an important extremum problem of approximation theory. In the paper, the problem of Jackson’s constant in Lpspaces, 1 ≤ p < 2, on the unit circle S 1 in the Euclidean plane R 2 with Dunkl weight function invariant under the dihedral group Im, m ∈ N, is considered. Best approximation is given in terms of linear combinations of κ-spherical harmonics defined by means of the Dunkl Laplacian. We introduce the modulus of continuity using the generalized translation operator first appeared in the papers of Y. Xu. In the «weightless» case when the multiplicity function is identically equal to zero on a root system, D. V. Gorbachev proved Jackson’s inequality in Lpspaces, 1 ≤ p < 2, on the unit multidimensional Euclidean sphere S d−1 with the constant 2 1/p−1 coinciding with Jung’s constant of the Lp-spaces. He also established its sharpness. Jackson’s inequality with the same constant in Lp-spaces on the unit multidimensional Euclidean sphere S d−1 with arbitrary Dunkl weight function was established earlier by the author. Now in the paper, we obtain the lower estimate of Jackson’s constant in Lp-spaces, 1 ≤ p < 2, on the unit circle S 1 in R 2 with Dunkl weight function invariant under the dihedral group Im, m ∈ N. The dihedral groups are symmetry groups of regular m-gons in R 2 for m ≥ 3. To solve the given problem, we essentially use the method developed by V. I. Ivanov in cooperation with Liu Yongping. There are additional difficulties associated with the new modulus of continuity based on the nonsymmetric generalized translation operator in the spaces Lp[0, π], 1 ≤ p < 2, with the weight function |sin(t/2)| 2α+1| cos(t/2)| 2β+1 , α ≥ β ≥ −1/2.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.