доктор физико-математических наук, профессор
doctor of physical and mathematical sciences, professor
С 2012 года в гармоническом анализе на прямой со степенным весом интенсивно изучается двупараметрическое (𝑘, 𝑎)-обобщенное преобразование Фурье, предложенное S. Ben Sa¨ıd, T. Kobayashi, B. Orsted и обобщающее преобразование Данкля (𝑎 = 2), зависящее только от одного параметра 𝑘 ⩾ 0. Вместе с увеличением разнообразия унитарных преобразований наличие параметра 𝑎 > 0 при 𝑎 ̸= 2 приводит к появлению деформационных свойств, например, для функций из пространства Шварца обобщенное преобразование Фурье может не быть бесконечно дифференцируемым или быстро убывающим на бесконечности. Быстрое убывание сохраняется только для последовательности 𝑎 = 2/𝑛, 𝑛 ∈ N. Некоторая замена переменной в этом случае улучшает и другие свойства обобщенного преобразования Фурье. Обобщенное преобразование Данкля, получающееся после замены переменной при 𝑎 = 2/(2𝑟 + 1), 𝑟 ∈ Z+, лишено деформационных свойств и, в значительной степени, уже изучено. В настоящей работе изучается обобщенное преобразование Ганкеля, получающееся после замены переменной при 𝑎 = 1/𝑟, 𝑟 ∈ N. Для него описано инвариантное подпространство из быстро убывающих на бесконечности функций, найден дифференциально-разностный оператор, для которого ядро обобщенного преобразования Ганкеля является собственной функцией. На основе новой теоремы умножениядля функций Бесселя Boubatra — Negzaoui — Sifi построены два оператора обобщенного сдвига, исследована их 𝐿𝑝-ограниченность и положительность. Для теоремы умножениядано простое доказательство. Определены две свертки, для которых доказаны теоремы Юнга. С помощью сверток определены обобщенные средние, для которых предложеныдостаточные условия 𝐿𝑝-сходимости и сходимости почти всюду. Исследованы обобщенные аналоги средних Гаусса — Вейерштрасса, Пуассона и Бохнера–Рисса.
Since 2012, in harmonic analysis on the line with a power-law weight, the two-parameter (𝑘, 𝑎)-generalized Fourier transform proposed by S. Ben Sa¨ıd, T. Kobayashi, B. Orsted has been intensively studied. It generalizes the Dunkl transform depending on only one parameter 𝑘 ⩾ 0.Together with an increase in the variety of unitary transforms, the presence of a parameter 𝑎 > 0 for 𝑎 ̸= 2 leads to the appearance of deformation properties, for example, for functions from the Schwartz space, the generalized Fourier transform may not be infinitely differentiable or rapidly decreasing at infinity. The fast decay is preserved only for the sequence 𝑎 = 2/𝑛, 𝑛 ∈ N. Some change of variable in this case also improves other properties of the generalizedFourier transform. The generalized Dunkl transform obtained after changing the variable at 𝑎 = 2/(2𝑟 + 1), 𝑟 ∈ Z+ is devoid of deformation properties and, to a large extent, has already been studied. In this paper, we study the generalized Hankel transform obtained after a change of variable for 𝑎 = 1/𝑟, 𝑟 ∈ N. An invariant subspace of functions rapidly decreasing at infinity is described for it, and a differential-difference operator is found for which the kernelof the generalized Hankel transform is an eigenfunction. On the basis of a new multiplication theorem for the Bessel functions Boubatra–Negzaoui–Sifi, two generalized translation operators are constructed, and their 𝐿𝑝-boundedness and positivity are investigated. A simple proof is given for the multiplication theorem. Two convolutions are defined for which Young’s theorems are proved. With the help of convolutions, generalized means are defined, for which sufficientconditions for 𝐿𝑝-convergence and convergence almost everywhere are proposed. Generalized analogs of the Gauss-Weierstrass, Poisson and Bochner–Riesz means are investigated.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.