chebЧебышевский сборникChebyshevskii Sbornik2226-8383Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University10.22405/2226-8383-2023-24-2-266-275cheb-1546Research ArticleКраткие сообщенияИнтегрирование уравнения КдФ отрицательного порядка со свободным членом в классе периодических функцийIntegration of the KdV equation of negative order with a free term in the class of periodic functionsХасановМузаффар МашариповичKhasanovMuzaffar Maksharipovich

кандидат физико-математических наук

candidate of physical and mathematical sciences

hmuzaffar@mail.ruРахимовИлхом ДавронбековичRakhimovIlkhom Davronbekovich

аспирант

postgraduate student

ilxom@urdu.uzУргенчский государственный университетУзбекистанUrganch State UniversityUzbekistan202331102023242266275Copyright © Хасанов М.М., Рахимов И.Д., 20232023Хасанов М.М., Рахимов И.Д.Khasanov M.M., Rakhimov I.D.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.chebsbornik.ru/jour/article/view/1546

В данной работе рассматривается уравнение КдФ отрицательного порядка со свободным членом в классе периодических функций. Показано, что уравнение КдФ отрицательного порядка со свободным членом в классе периодических функций может быть проинтегрировано методом обратной спектральной задачи. Определена эволюция спектральных данных оператора Штурма-Лиувилля с периодическим потенциалом, связанного с решени-ем уравнение КдФ отрицательного порядка со свободным членом в классе периодических функций. Полученные результаты позволяют применить метод обратной задачи для решения уравнение КдФ отрицательного порядка со свободным членом в классе периодических функций.

In this paper, we consider the KdV equation of negative order with a free term in the class of periodic functions. It is shown that the KdV equation of negative order with a free term in the class of periodic functions can be integrated by the method of the inverse spectral problem.The evolution of the spectral data of the Sturm-Liouville operator with a periodic potential associated with the solution of a negative-order KdV equation with a free term in the class of periodic functions is determined. The results obtained make it possible to apply the inverseproblem method to the solution of the KdV equation of negative order with a free term in the class of periodic functions.

КдФ отрицательного порядкасамосогласованный источникобратная спектральная задачасистема уравнений Дубровина - Трубовица.KdV of negative orderself-consistent sourceinverse spectral problemDubrovin - Trubovits system of equations.ReferencesGardner C.S., Greene J.M., Kruskal M.D., Miura R.M. Method for solving the Korteweg-de Vries equation // Phys. Rev. Lett.. 1967. Vol. 19, № 19, P. 1095-1097.Gardner C.S. Greene J.M., Kruskal M.D., Miura R.M. 1967, “Method for solving the Kortewegde Vries equation“, Phys. Rev. Lett., vol. 19, № 19, pp. 1095-1097.Новиков С.П. Периодическая задача Кортевега-де Фриза I // Функц. анализ и прил.. 1974. T. 8, № 3. C. 54-66.Novikov S.P. 1974, “The periodic problem for the Korteweg—de vries equation“, Funct Anal Its Appl, vol. 8, pp. 236–246.Дубровин Б.А., Новиков С.П. Периодический и условно периодический аналоги многосолитонных решений уравнения Кортевега-де Фриза // ЖЭТФ. 1974. T. 67, № 12, C. 2131-2143.Dubrovin B.A., Novikov S.P. 1974, Periodic and conditionally periodic analogues of multisoliton solutions of the Korteweg-de Vries equation“, ZhETF., vol. 67, № 12, pp. 2131-2143.Марченко В.А. Периодическая задача Кортевега-де Фриза // Мат. сб.. 1974. T. 95, № 3. C. 331-356.Marchenko V.A. 1974, “Korteweg-de Vries periodic problem“, Math. Sat., vol. 95, № 3, pp. 331-356.Дубровин Б.А. Периодическая задача для уравнения Кортевега-де Фриза в классе конечнозонных потенциалов // Функц. анализ и прил.. 1975. T. 9, № 3. C. 41-51.Dubrovin B.A. 1975, “Periodic Problem for the Korteweg-de Vries Equation in the Class of Finite-Gap Potentials“, Funct. analysis and application, vol. 9, № 3, pp. 41-51.Итс А.Р., Матвеев В.Б. Операторы Шредингера с конечнозонным спектром и 𝑁-солитонные решения уравнения Кортевега-де Фриза // Теорет. мат. физ.. 1975. T. 23, № 1. C. 51-68.Its A.R., Matveev V.B. 1975, “Finite-gap Schr¨odinger operators and 𝑁-soliton solutions of the Korteweg-de Vries equation“, Teoret. mat. Phys., vol. 23, № 1, pp. 51-68.Lax P. Periodic solutions of the KdV equations // Lecture in Appl. Math. AMS. 1974. Vol. 15. P. 85-96.Lax P. 1974, “Periodic solutions of the KdV equations“, Lecture in Appl. Math. AMS., vol. 15, pp. 85-96.Lax P. Periodic Solutions of the KdV equation // Comm. Pure and Appl. Math.. 1975. Vol. 28. P. 141-188.Lax P. 1975, “Periodic Solutions of the KdV equation“, Comm. Pure and Appl. Math., vol. 28, pp. 141-188.Мельников В.К. Метод интегрирования уравнения Кортевега-де Вриса с самосогласованным источником // Препринт. Дубна. 1988.Melnikov V.K. 1988, “Method for integrating the Korteweg-de Vries equation with a selfconsistent source“, Preprint. Dubna.Хасанов А.Б., Яхшимуратов А.Б. Об уравнении Кортевега-де Фриза с самосогласованным источником в классе периодических функций // Теорет. мат. физ.. 2010. T. 164, № 2. С. 214-221.Khasanov A.B., Yakhshimuratov A.B. 2010, “On the Korteweg-de Vries equation with a selfconsistent source in the class of periodic functions“, Teoret. mat. Phys., vol. 164, № 2, pp. 214-221.Яхшимуратов А.Б. Интегрирование уравнения Кортевега-де Фриза со специальным свободным членом в классе периодических функций // Уфимский матем. журнал. - Уфа. 2011. T. 3. № 4. C. 144-150.Yakhshimuratov A.B. 2011, “Integration of the Korteweg-de Vries equation with a special free term in the class of periodic functions“, Ufimskii Matem. magazine. - Ufa., vol. 3, № 4, pp. 144-150.Verosky J.M. Negative powers of Olver recursion operators // J. Math. Phys. 1991. Vol. 32. P. 1733-1736.Verosky J.M. 1991, “Negative powers of Olver recursion operators“, J. Math. Phys., vol. 32, pp. 1733-1736.Lou S.Y. Symmetries of the KdV equation and four hierarchies of the integrodifferential KdV equations // J. Math. Phys. 1994. Vol. 35. P. 2390-2396.Lou S.Y. 1994, “Symmetries of the KdV equation and four hierarchies of the integrodifferential KdV equations“, J. Math. Phys., vol. 35, pp. 2390-2396.Degasperis A., Procesi M. Asymptotic integrability, in symmetry and perturbation theory // edited by A. Degasperis and G. Gaeta, World Scientific. 1999. P. 23-37.Degasperis A., Procesi M. 1999, “Asymptotic integrability, in symmetry and perturbation theory“, edited by A. Degasperis and G. Gaeta, World Scientific., pp. 23-37.G. P., Qiao Z.J. Cuspons and smooth solitons of the Degasperis-Procesi equation under inhomogeneous boundary condition // Mathematical Physics, Analysis and Geometry. 2007. Vol. 10. P. 205-225.G. P., Qiao Z.J. 2007, “Cuspons and smooth solitons of the Degasperis-Procesi equation under inhomogeneous boundary condition“, Mathematical Physics, Analysis and Geometry., vol. 10, pp. 205-225.Qiao Z.J., Fan E.G. Negative-order Kortewe-de Vries equations // Phys. Rev. 2012. Vol. 86. P 016601.Qiao Z.J., Fan E.G. 2012, “Negative-order Kortewe-de Vries equations“, Phys. Rev., vol. 86, pp. 016601.Chen J.B. Quasi-periodic solutions to a negative-order integrable system of 2-component KdV equation // Int. J. Geom. Methods Mod. Phys.. 2018. Vol. 15. No. 03. P. 1-34.Chen J.B. 2018, “Quasi-periodic solutions to a negative-order integrable system of 2-component KdV equation“, Int. J. Geom. Methods Mod. Phys., vol. 15, № 03, pp. 1-34.Qiao Z.J., Li J.B. Negative-order KdV equation with both solitons and kink wave solutions // Euro. Phys. Lett. 2011. Vol. 94. P. 50003.Qiao Z.J., Li J.B. 2011, “Negative-order KdV equation with both solitons and kink wave solutions“, Euro. Phys. Lett., vol. 94, pp. 50003.Zhao S., Sun Y. A Discrete negative order potential Korteweg–de Vries equation // Z. Naturforsch. 2016. Vol. 71(12)A. P. 1151-1158.Zhao S., Sun Y. A 2016, “Discrete negative order potential Korteweg–de Vries equation“, Z. Naturforsch., vol. 71(12)A. pp. 1151-1158.Chen J. Quasi-periodic solutions to the negative-order KdV hierarchy // Int. J. Geom. Methods Mod. Phys. 2019. Vol. 15. P. 1850040.Chen J. 2019, “Quasi-periodic solutions to the negative-order KdV hierarchy“, Int. J. Geom. Methods Mod. Phys., vol. 15, pp. 1850040.Rodriguez M., Li J., Qiao Z. Negative Order KdV equation with no solitary traveling waves // Mathematics. 2022. Vol. 10. P. 48.Rodriguez M., Li J., Qiao Z. 2022, “Negative Order KdV equation with no solitary traveling waves“, Mathematics., vol. 10, pp. 48.Wazwaz A. Negative-order KdV equations in (3+1) dimensions by using the KdV recursion operator // Waves Random Complex Media. 2017. Vol. 27. P. 768.Wazwaz A. 2017, “Negative-order KdV equations in (3+1) dimensions by using the KdV recursion operator“, Waves Random Complex Media., vol. 27, pp. 768.Kuznetsova M. Necessary and sufficient conditions for the spectra of the Sturm-Liouville operators with frozen argument // Applied Mathematics Letters. 2022. Vol. 131. P. 108035.Kuznetsova M. 2022, “Necessary and sufficient conditions for the spectra of the Sturm-Liouville operators with frozen argument“, Applied Mathematics Letters., vol. 131, pp. 108035.Титчмарш Э.Ч. Разложения по собственным функциям, связанные с дифференциальными уравнениями второго порядка // В 2-х т. - М.: ИЛ. 1961. T. 2. C. 556.Titchmarsh E.Ch. 1961, “Eigenfunction Expansions Associated with Second-Order Differential Equations“, In 2 vols. - M.: IL., vol. 2, pp. 556.Magnus W., Winkler W. Hill’s equation // New York: Interscience Wiley. 1966.Magnus W., Winkler W. 1966, “Hill’s equation“, New York: Interscience Wiley..Станкевич И.В. Об одной задаче спектрального анализа для уравнения Хилла // ДАН СССР. 1970. T. 192, № 1. C. 34-37.Stankevich I.V. 1970, “On a Problem of Spectral Analysis for the Hill Equation“, DAN SSSR., vol. 192, № 1, pp. 34-37.Марченко В.А., Островский И.В. Характеристика спектра оператора Хилла // Мат. сб. 1975. T. 97. C. 540-606.Marchenko V.A., Ostrovsky I.V. 1975, “Characterization of the spectrum of the Hill operator“, Math. Sat., vol. 97. pp. 540-606.Trubowitz E. The inverse problem for periodic potentials // Comm. Pure and Appl. Math. 1977. Vol. 30. P. 321-337.Trubowitz E. 1977, “The inverse problem for periodic potentials“, Comm. Pure and Appl. Math., vol. 30, pp. 321-337.Левитан Б.М., Саргсян И.С. Операторы Штурма-Лиувилля и Дирака // М.: “Наука” 1988.Levitan B.M., Sargsyan I.S. 1988, “Sturm-Liouville and Dirac operators“, M.: Nauka.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.