chebЧебышевский сборникChebyshevskii Sbornik2226-8383Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University10.22405/2226-8383-2023-24-2-248-255cheb-1544Research ArticleКраткие сообщенияО разложении чисел по последовательности чисел ФибоначчиOn an expansion numbers on Fibonacci’s sequencesГиясиАзарGiyasiAzar

кандидат физико-математических наук

candidate of physical and mathematical sciences

azarghyasi@atu.ac.irМихайловИлья ПетровичMikhailovIlya Petrovichchubarik2020@mail.ruЧубариковВладимир НиколаевичChubarikovVladimir Nikolaevich

доктор физико-математических наук, профессор

doctor of physical and mathematical sciences, professor

chubarik2020@mail.ruУниверситет имени Алламе ТабатабаиИранAllameh Tabataba’i UniversityIslamic Republic of IranКазанский авиационный институтРоссияKazan Aviation InstituteRussian FederationМосковский государственный университет им. М. В. ЛомоносоваРоссияLomonosov Moscow State UniversityRussian Federation202330102023242248255Copyright © Гияси А., Михайлов И.П., Чубариков В.Н., 20232023Гияси А., Михайлов И.П., Чубариков В.Н.Giyasi A., Mikhailov I.P., Chubarikov V.N.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.chebsbornik.ru/jour/article/view/1544

В работе доказаны теоремы о разложении действительных чисел по последовательности Фибоначчи . Особое внимание обращено на “явные формулы” и условия единственности таких представлений. Отметим, что единственность разложения действительного числа пообратным значениям мультипликативной системы позволяет получить оценку вида 

$$𝑒 −Σ︁𝑛𝑘=0 1/𝑘!=(𝑥_𝑛)/𝑛!,1/(𝑛 + 1)≤ 𝑥𝑛 <1/𝑛.$$

Разложения чисел по последовательности обратных чисел Фибоначчи существенно использует их представление через степени “золотого сечения” 𝜙 = (1+√5)/2 .

In this paper theorems on the expression of real numbers on Fibonacci sequence. It pay a special attention to “explicit formulas” and conditions of the uniqueness of such representations.We note that unifiing of an expression of a real number over inverse values of a multiplicaticative system permits to get the estimation of the form 

$$𝑒 −Σ︁𝑛𝑘=0 1/𝑘!=(𝑥_𝑛)/𝑛!,1/(𝑛 + 1)≤ 𝑥𝑛 <1/𝑛.$$

Expressions of numbers over the sequence of inverse of Fibonacci numbers essentially uses these representation throw powers of “the gold section”  𝜙 = (1+√5)/2 .

последовательность Фибоначчи.the Fibonacci’s sequence.ReferencesHardy G. H., Littlewood J. E. The fractional part of 𝑛𝑘𝜃.// Acta math., 1914, 37.Hardy G. H., Littlewood J. E., 1914, “The fractional part of 𝑛𝑘𝜃”. // Acta math., 37.Borel E. Les probabilit´es d´enombarables et leurs applications arithm´etiques.// Rend Circolo math. Palermo, 1909, 27.Borel E., 1909, “Les probabilit´es d´enombarables et leurs applications arithm´etiques”. // Rend Circolo math. Palermo, 27.Гельфонд А. О. Об одном общем свойстве систем счисления// Изв. АН СССР, сер. матем (in Russian). 1959, 23 (Избр.тр. с.366-371).Gel’fond A. O., 1959, “On one general property of numerical system” // Izv. AN SSSR, Ser. math. (in Russian). 23 (Selected works. p.366-371).Zeckendorf E. Repr´sentation des nombres naturels par une somme de nombres de Fibonacci ou de nombres de Lucas// Bull. Soc. R. Sci. Li`ege (in French). 1972, 41, p. 179-182.Zeckendorf E., 1972, “Repr´sentation des nombres naturels par une somme de nombres de Fibonacci ou de nombres de Lucas” // Bull. Soc. R. Sci. Li`ege (in French). 41, p. 179-182.Dickson L. E. History of the theory of numbers. — Carnegie Inst. of Washigton. 1919. Ch.17.Dickson L. E., 1919, “History of the theory of numbers” — Carnegie Inst. of Washigton. Ch.17.Архипов Г. И., Садовничий В. А., Чубариков В. Н. Лекции по математическому анализу. — М.: Дрофа. 2006. 640 с.Arkhipov G. I., Sadovnichii V. A., Chubarikov V. N., 2006, “Lectures on mathematical analysis” — M.: Drofa. Pp. 640.Касселс Дж. В. С. Введение в теорию диофантовых приближений. — М.: Изд-во иностр. лит-ры. 1961. 212 с.Cassels J. W. S., 1961, “An introduction to Diophantine approximation” — Cambridge University Press. Pp.212.Холл М. Комбинаторика. — М.: Изд-во “Мир”. 1970. 424 с.Hall M.,Jr., 1970, “Combinatorial theory” — Waltham (Massachusetts)-Toronto-London: Blaisdell Publ. Comp. Pp. 424.Бернулли Д.// Comment. Acad.Sci. Petrop., 1728, 3, p. 85–100.Bernoulli D., 1728, “Combinatorial theory”. // Comment. Acad.Sci. Petrop., 3, p. 85–100.Кнут Д. Э. Искусство программирования, т.1. Основные алгоритмы, 3-е изд. Уч. пособие. — М.: Изд. дом “Вильямс”. 2000. 720 с.Knuth D. E., 1998, The art computer programming. Fundamental algorithms. Third Ed. — Reading, Massachusetts-Harlow, England-Menlo Park, California-Berkley, california-Lon Mills, Ontario-Sidney-Bonn-Amsterdam-Tokyo-Mexico City: AddisonWesley Longman, Inc.. Pp. 720.de Moivre A.// Philos. Trans., 1922, 32, p. 162–178.de Moivre A., 1922, // Philos. Trans., 32, p. 162–178.Чебышев П. Л. Теория вероятностей. — Изд-во АН СССР. 1936, S23. c.143–147.ChebyshevP. L., 1936, “The theory of probabilities” — AN SSSR. S23. 143–147. (in Russian).Ландау Э. Основы анализа. — М.: ИЛ, 1947.Landau E., 1947, “Fundamentals of analysis”. — M.: Inostr.literature.(in Russian).Голубов Б. И., Ефимов А. В., Скворцов В. А. Ряды и преобразования Уолша: теория и приложения. — М.: Наука, 1987, 344 с.Golubov B. I., Efimov A. V., Skvortsov V. A., 1987, “Series and the Uolsh’s transformations: the theory and applications”. — M.: Nauka, pp. 344.(in Russian).Минеев М. П., Чубариков В. Н. Лекции по арифметическим вопросам криптографии. — М.: ООО“Луч”, 2014, 224 с.Mineev M.P., Chubarikov V. N., 2014, “Lectures on arithmetical questions of cryptography”. — M.: OOO“Luch”, pp. 224. (in Russian).Ghyasi А. H. A generalization of the Gel’fond theorem concerning number systems// Russian Journal of Mathematical Physics. 2007, 14, № 3, p.370.Ghyasi А. H., 2007, “A generalization of the Gel’fond theorem concerning number systems” // Russian Journal of Mathematical Physics. 14, № 3, p.370.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.