chebЧебышевский сборникChebyshevskii Sbornik2226-8383Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University10.22405/2226-8383-2023-24-2-214-227cheb-1542Research ArticleСтатьиArticleОб оценках Быковского для отклонений обобщенных параллелепипедальных сетокOn Bykovsky estimates for deviations of generalized parallelepipedal gridsКормачеваАнтонина НиколаевнаKormachevaAntonina Nikolaevnajuska789@mail.ruДобровольскийНиколай НиколаевичDobrovol’skiiNikolai Nikolaevich

кандидат физико-математических наук

candidate of physical and mathematical sciences

nikolai.dobrovolsky@gmail.comРеброваИрина ЮрьевнаRebrovaIrina Yuryevna

кандидат физико-математических наук

candidate of physical and mathematical sciences

i_rebrova@mail.ruДобровольскийНиколай МихайловичDobrovol’skiiNikolai Mihailovich

доктор физико-математических наук, профессор

doctor of physical and mathematical sciences, professor

dobrovol@tsput.ruТульский государственный педагогический университет им. Л. Н. ТолстогоРоссияTula State Lev Tolstoy Pedagogical UniversityRussian Federation202330102023242214227Copyright © Кормачева А.Н., Добровольский Н.Н., Реброва И.Ю., Добровольский Н.М., 20232023Кормачева А.Н., Добровольский Н.Н., Реброва И.Ю., Добровольский Н.М.Kormacheva A.N., Dobrovol’skii N.N., Rebrova I.Y., Dobrovol’skii N.M.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.chebsbornik.ru/jour/article/view/1542

Данная работа посвящена получению оценок типа оценок Быковского для отклонения обобщённой параллелепипедальной сетки. В ней продолжены исследования аналогичные тем, что ранее мы выполнили для оценок меры качества и количественной меры параллелепипедальной сетки.Основная идея, используемая в данной работе, восходит к работе В. А. Быковского (2002 год) об оценке погрешности приближенного интегрирования по параллелепипедальным сеткам и её обобщению в работе О. А. Горкуши и Н. М. Добровольского (2005 год) на случай гиперболической дзета-функции произвольной решётки. Центральное место в этихработах играет множество Быковского, состоящее из локальных минимумов второго рода, и суммы по этим множествам.Как и в работе «Об оценках Быковского для меры качества оптимальных коэффициентов» был обнаружен эффект, что в оценках отклонения появляется множитель с логарифмическим порядком роста, который стал входить в определение модифицированной суммы Быковского.Методом работы является объединение подходов из работы «Оценки отклонений обобщенных параллелепипедальных сеток» (1984 год) с подходами 2005 года.Намечены дальнейшие пути для получения уточнения полученных оценок.

This paper is devoted to obtaining estimates of the type of Bykovsky estimates for the deviation of a generalized parallelepipedal grid. It continues the studies similar to those that we previously performed to assess the quality measure and the quantitative measure of theparallelepipedal grid.The main idea used in this paper goes back to the work of V. A. Bykovsky (2002) on estimating the error of approximate integration over parallelepipedal grids and its generalization in the work of O. A. Gorkusha and N. M. Dobrovolsky (2005) for the case of a hyperbolic zeta function of an arbitrary lattice. The central place in these works is played by the Bykovsky set, consisting of local minima of the second kind, and sums over these sets.As in the work "On Bykovsky estimates for a measure of the quality of optimal coefficients the effect was found that a multiplier with a logarithmic order of growth appears in the deviation estimates, which began to include the definition of the modified Bykovsky sum.The method of work is to combine the approaches from the work "Estimates of deviations of generalized parallelepipedal grids"(1984) with the approaches of 2005.Further ways to obtain clarification of the received estimates are outlined.

функция качестваобобщённая параллелепипедальная сеткамноже- ство Быковскогосумма Быковскоголокальные минимумы решёткиминимальные реше- ния сравнения.quality functiongeneralized parallelepipedal gridBykovsky setBykovsky sumlocal lattice minimaminimal comparison solutions.Исследование выполнено РНФ № 23-21-00317 по теме «Геометрия чисел и диофантовы приближения в теоретико-числовом методе в приближенном анализе».Acknowledgments: The reported study was funded by the RSF No. 23-21-00317 on the topic “Number geometry and Diophantine approximations in the number-theoretic method in approximate analysis”.ReferencesБахвалов Н. С. О приближенном вычислении кратных интегралов // Вестн. Моск. ун-та, 1959. № 4. С. 3–18.Bakhvalov, N.S. 1959, “On approximate computation of multiple integrals”, Vestnik Moskovskogo universiteta, no. 4, pp. 3–18.Быковский В. А. О погрешности теоретико-числовых квадратурных формул // Чебышевский сборник, 2002, т. 3, вып. 2(4), С. 27–33.Bykovskij, V.А 2002, “On the error of number-theoretic quadrature formulas”, Chebyshevskij sbornik, vol. 3, no. 2(4), pp. 27–33.О. А. Горкуша, Н. М. Добровольский. Об оценках гиперболической дзета-функции решёток // Чебышевский сборник, 2005, т. 6, вып. 2(14), С. 130–138.O. A. Gorkusha, N. M. Dobrovolsky, 2005, "On estimates of hyperbolic zeta function of lattices" // Chebyshevsky Collection, vol. 6, issue 2(14), pp. 130-138.Добровольский Н. М. Гиперболическая дзета функция решёток. / Деп. в ВИНИТИ 24.08.84, N 6090–84.Dobrovol’skii, N. M. 1984, “The hyperbolic Zeta function of lattices”, Dep. v VINITI, no. 6090–84.Добровольский Н. М. Оценки отклонений обобщенных параллелепипедальных сеток. / Деп. в ВИНИТИ 24.08.84, N 6089–84.Dobrovol’skii, N. M. 1984, “Evaluation of generalized variance parallelepipedal grids”, Dep. v VINITI, no. 6089–84.Н. Н. Добровольский, М. Н. Добровольский, И. Ю. Реброва, Н. М. Добровольский. Конечное отклонение и основная мера качества для сеток Коробова // Чебышевcкий сборник. 2022. Т. 23, вып. 2, С. 56–73.N. N. Dobrovol’skii, M. N. Dobrovol’skii, I. Yu. Rebrova, N. M. Dobrovol’skii, 2022, "The final deviation and the main quality measure for Korob ov grids Chebyshevskii sbornik, vol. 23, no. 2, pp. 56–73.Добровольский Н. М., Есаян А. Р., Пихтильков С. А., Родионова О. В., Устян А. Е. Об одном алгоритме поиска оптимальных коэффициентов // Известия ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика. Т. 5, вып. 1. Тула, 1999. С. 51–71.Dobrovol’skii, N. M., Esayan, А.R., Pikhtil’kov, S.А., Rodionova, O.V. & Ustyan, А.E. 1999, “On a single algorithm for finding optimal coefficients”, Izvestiya TulGU. Seriya Matematika. Mekhanika. Informatika, vol. 5, no. 1, pp. 51–71.Добровольский Н. М., Есаян А. Р., Реброва И. Ю. Об одном рекурсивном алгоритме для решёток // Теория приближений и гармонический анализ: Тез. докл. Междунар. конф. Тула, 1998.Dobrovol’skii, N. M., Esayan, А.R. & Rebrova, I. YU. 1998, “On a recursive algorithm for lattices”, Teoriya priblizhenij i garmonicheskij analiz: Tezisy doklada Mezhdunarodnoj konferentsii (Approximation theory and harmonic analysis: proceedings of the International conference), Tula, Russia.Добровольский Н. М., Есаян А. Р., Реброва И. Ю. Об одном рекурсивном алгоритме для решёток // Известия ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика. Т. 5, вып. 3. Тула, 1999. C. 38–51.Dobrovol’skii, N. M., Esayan, А.R. & Rebrova, I. YU. 1998, “On a recursive algorithm for lattices”, Izvestiya TulGU. Seriya Matematika. Mekhanika. Informatika, vol. 5, no. 3, pp. 38–51.Н. М. Добровольский, Н. М. Коробов. Об оценке погрешности квадратурных формул с оптимальными параллелепипедальными сетками // Чебышевский сб., 2002, Т. 3, вып. 1, С. 41–48.Dobrovol’skii, N. M. & Korobov, N. M. 2002, “On the error estimation of quadrature formulas with optimal parallelepipedal grids”, Chebyshevskij sbornik, vol. 3, no. 1(3), pp. 41–48.А. Н. Кормачева, Н. Н. Добровольский, И. Ю. Реброва, Н. М. Добровольский. О гиперболическом параметре двумерной решётки сравнений // Чебышевcкий сборник, 2021, т. 22, вып. 4, с. 168–182.A. N. Kormacheva, N. N. Dobrovol’skii, N. M. Dobrovol’skii, 2021, “On the hyp erb olic parameter of a two-dimensional lattice of comparisons”, Chebyshevskii sbornik, vol. 22, no. 4, pp. 168–182.Коробов Н. М. Вычисление кратных интегралов методом оптимальных коэффициентов // Вестн. Моск. ун-та, 1959. № 4. С. 19–25.Korobov, N.M. 1959, “The evaluation of multiple integrals by method of optimal coefficients”, Vestnik Moskovskogo universiteta, no. 4, pp. 19–25.Коробов Н. М. Свойства и вычисление оптимальных коэффициентов // ДАН СССР 132. 1960. № 5. С. 1009–1012.Korobov, N.M. 1960, “Properties and calculation of optimal coefficients”, Doklady Аkademii nauk SSSR, vol. 132, no. 5, pp. 1009–1012.Коробов Н. М. Теоретико-числовые методы в приближенном анализе. (второе издание) М.: МЦНМО, 2004.Korobov, N.M. 2004, Teoretiko-chislovye metody v priblizhennom analize [Number-theoretic methods in approximate analysis], 2nd ed, MTSNMO, Moscow, Russia.Михляева А. В. Приближение квадратичных алгебраических решёток и сеток целочисленными решётками и рациональными сетками // Чебышевcкий сборник, 2018, т. 19, вып. 3. С. 241–256.Mikhlyaeva, A. V., 2018, "Approximation of quadratic algebraic lattices and nets by integer lattices and rational nets" , Chebyshevskii sbornik, vol. 19, no. 3, pp. 241–256.Михляева А. В. Функция качества для приближения квадратичных алгебраических сеток // Чебышевcкий сборник, 2019, т. 20, вып. 1. С. 307–312.Mikhlyaeva, A. V., 2019, "Quality function for the approximation of quadratic algebraic nets", Chebyshevskii sbornik, vol. 20, no. 1, pp. 307–312.Серегина Н. К. Алгоритмы численного интегрирования с правилом остановки // Известия ТулГУ. Естественные науки. 2013. Вып. 3. С. 193 — 201.Seregina N. K., 2013, "Algorithms of numerical integration with the stopping rule" , TulSU extraction. Natural sciences. Issue 3. pp. 193 — 201.Серегина Н. К. О количественной мере качества оптимальных коэффициентов // Известия ТулГУ. Естественные науки. Вып. 1, 2015. С. 22–29.Seregina N. K., 2015, "On the quantitative measure of the quality of optimal coefficients", Izvestiya TulSU. Natural sciences. Issue 1, pp. 22–29.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.