chebЧебышевский сборникChebyshevskii Sbornik2226-8383Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University10.22405/2226-8383-2023-24-2-179-196cheb-1540Research ArticleСтатьиArticleЯвные конструкции расширений полных полей характеристики 0Explicit constructions of extensions of complete fields of characteristic 0ЖуковИгорь БорисовичZhukovIgor Borisovichi.zhukov@spbu.ruИвановаОльга ЮрьевнаIvanovaOlga Yur’evnaolgaiv80@mail.ruСанкт-Петербургский государственный университетРоссияSaint Petersburg State UniversityRussian Federation202330102023242179196Copyright © Жуков И.Б., Иванова О.Ю., 20232023Жуков И.Б., Иванова О.Ю.Zhukov I.B., Ivanova O.Y.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.chebsbornik.ru/jour/article/view/1540

Данный обзор посвящён 𝑝-расширениям полных дискретно нормированных полей смешанной характеристики, где 𝑝 — характеристика поля вычетов. Известно, что любое вполне разветвлённое расширение Галуа с не максимальным скачком ветвления может быть задано уравнением Артина-Шрайера, при этом верхняя граница скачка ветвления соответствует нижней границе нормирования правой части уравнения. Задача построения расширений с произвольными группами Галуа не решена.

This survey article is devoted to 𝑝-extensions of complete discrete valuation fields of mixed characteristic where 𝑝 is the characteristic of the residue field. It is known that any totally ramified Galois extension with a non-maximal ramification jump can be determined by anArtin-Schreier equation, and the upper bound for the ramification jump corresponds to the lower bound of the valuation in the right-hand side of the equation. The problem of construction of extensions with arbitrary Galois groups is not solved.

дискретно нормированное полескачок ветвленияуравнение Артина- Шрайера.discrete valuation fieldramification jumpArtin-Schreier equationReferencesБойцов, В. Г., Жуков, И. Б., Продолжимость циклических расширений полных дискретноBoitsov, V. G., Zhukov, I. B. 2005 “Continuability of cyclic extensions of complete discrete valuation fields”, J. Math. Sci. (N. Y.), vol. 130, № 3 (2005), pp. 4643-4650.нормированных полей/ В. Г. Бойцов, И. Б. Жуков// Записки научных семинаров С.- Петербургского отделения Математического института им. В. А. Стеклова РАН (ПОМИ) - 2003. Т. 305 - С. 5-17Vostokov, S. V. 1986 “Explicit construction of class field theory for a multidimensional local field” Math. USSR-Izv., vol. 26, № 2, pp. 263—287.Востоков, С. В. Явная конструкция теории полей классов многомерного локального поля/ С. В. Востоков// Изв. АН СССР. Сер. матем 1985. - Т. 49 - № 2 - С. 283–308Fesenko, I. B., Vostokov, S. V., Zhukov I. B. 1990, “On the theory of multidimensional local fields. Methods and constructions”, Algebra i Analiz vol. 2, № 4. pp. 91-118.Востоков, С. В., Жуков, И. Б., Фесенко И. Б. К теории многомерных локальных полей. Методы и конструкции/ С. В. Востоков, И.Б. Жуков, И. Б. Фесенко // Алгебра и анализ. - 1990. - Т. 2 - № 4. - С. 91-118.Vostokov, S. V., Zhukov, I. B. 1995, “Some approaches to the construction of abelian extensions for p-adic fields”, Proceedings of the St. Petersburg Mathematical Society, vol. III, pp. 157–174, Amer. Math. Soc. Transl. Ser. 2, 166, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1995.Востоков, С. В., Жуков И. Б. Некоторые подходы к построению абелевых расширений для p-адических полей/ С. В. Востоков, И. Б. Жуков// Труды С.-Петерб. мат. общ. - 1995 - Т.3 - С. 194-214. olgaVostokov, S. V., Zhukov, I. B., Pak, G.K. 1999, “Extensions with almost maximal depth of ramification”, J. Math. Sci., vol. 112, № 3, pp. 4285-4302Востоков, С. В., Жуков, И. Б., Пак, Г. К. Расширения с почти максимальной глубиной ветвления/ С. В. Востоков, И. Б. Жуков, Г. К. Пак// Записки научных семинаров С.- Петербургского отделения Математического института им. В. А. Стеклова РАН (ПОМИ) - 1999. - Т. 265 - С. 77-109.Vostokov, S. V., Zhukov, I. B., Ivanova, O. Yu. 2019 “Inaba extensions of complete fields of characteristic 0” Chebyshevskii sbornik vol. 20, № 3, pp. 124-133Востоков, С. В., Жуков, И. Б., Иванова, О. Ю. Расширения Инабы полных полей характеристики 0/ С. В. Востоков, И. Б. Жуков, О. Ю. Иванова// Чебышёвский сб. - 2019 - T. 20 - № 3 - С. 124-133.Zhukov, I. B., 1995 “Structure theorems for complete fields”, Proceedings of the St. Petersburg Mathematical Society, vol. III, pp. 175–192, Amer. Math. Soc. Transl. Ser. 2, 166, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1995.Жуков, И. Б. Структурная теорема для полных полей/ И. Б. Жуков//Тр. С.-Петербург.Zhukov, I.B., Lysenko, E. F. 2018, “Construction of cyclic extensions of degree 𝑝2 for a complete field”, J. Math. Sci., vol. 234(2), pp. 148–157мат. общ-ва. - 1995. Т. 3. - С. 194-214.Zhukov I. B., Ivanova, O. Yu. 2022 “On Inaba extensions for two-dimensional local fields of mixed characteristic” J. Math. Sci., to appear.Жуков, И. Б., Лысенко, Е. Ф. Построение циклического расширения степени 𝑝2 полного поля/ И. Б. Жуков, Е. Ф. Лысенко//Записки научных семинаров С.-Петербургского отделения Математического института им. В. А. Стеклова РАН (ПОМИ) - 2017. - T. 455 - С. 52-66.Zhukov I. B., Ivanova, O. Yu. “Elimination of maximal jumps” In preparation.Жуков, И. Б., Иванова, О. Ю. О расширениях Инабы двумерных локальных полей смешанной характеристики/ И. Б. Жуков, О. Ю. Иванова// Записки научных семинаров С.-Петербургского отделения Математического института им. В. А. Стеклова РАН (ПО-МИ) - 2022. - Т. 513 - С. 57-73.Ivanova, O. Yu. 2022 “Construction of a cyclic ferocious extension by means of an Inaba equation” J. Math. Sci., to appear.Жуков, И. Б., Иванова, О. Ю. Устранение максимальных скачков/ И. Б. Жуков, О. Ю. Иванова// Готовится к публикацииIwasawa, K. 1986 Local class field theory, Oxford University Press.Иванова, O. Ю. Задание свирепого циклического расширения уравнением Инабы/ О. Ю. Иванова//Записки научных семинаров С.-Петербургского отделения Математического института им. В. А. Стеклова РАН (ПОМИ) 2022. -Т. 513 - С. 74-84.Cassels, J. W. S. Frohlich, A. (eds.), 1967, “Algebraic Number Theory”, Academic Press, London and New York.Ивасава, К., Локальная теория полей классов/ К. Ивасава - Москва: Мир - 1983.Lang. S. 2002 “Algebra”, Rev. 3rd edition, Springer, New York et al.Касселс, Дж., Фрёлих, А. (ред.) Алгебраическая теория чисел/ Дж. Касселс, А. Фрёлих - М.: Мир, 1969.Parshin, A. N. 1985 “Local class field theory” Proc. Steklov Inst. Math., vol. 165, pp. 157-185.Ленг, С. Алгебра/ С. Ленг - М.: Мир, 1968.Fesenko I. B., Vostokov, S. V., 2002, “Local fields and their extensions. A constructive approach”,Паршин, А. Н. Локальная теория полей классов/ А. Н. Паршин// Алгебраическая геометрия и ее приложения, Сборник статей, Тр. МИАН СССР 1984. - Т. 165 - С. 143–170Second edition, AMS, Providence, RI.Fesenko I. B., Vostokov, S.V. Local fields and their extensions. A constructive approach/ I. B. Fesenko and S. V. Vostokov - Second edition - AMS - Providence - RI - 2002.Hyodo, O., 1987, “Wild ramification in the imperfect residue field case”, Adv. Stud. Pure Math., vol. 12, pp. 287-314.Hyodo, O. Wild ramification in the imperfect residue field case/ O. Hyodo// Adv. Stud. Pure Math. - 1987. - Vol. 12 - P. 287-314.Ikeda, K. ˙I., Serbest E. 2021, “Local abelian Kato-Parshin reciprocity law: a survey”, K. ˙I. Ikeda, E. Serbest Hacet J. Math. Stat., vol. 50, № 5, pp. 1225-1250.Ikeda, K. ˙I., Serbest E. Local abelian Kato-Parshin reciprocity law: a survey, Hacet/ K. ˙I. Ikeda, E. Serbest// J. Math. Stat. - 2021. - Vol. 50 - № 5 - P. 1225-1250.Inaba, E., 1961, “On matrix equations for Galois extensions of fields with characteristic 𝑝”, Natur. Sci. Rep. Ochanomizu Univ., vol. 12, pp. 26-36.Inaba, E. On matrix equations for Galois extensions of fields with characteristic p/ E. Inaba//Natur. Sci. Rep. Ochanomizu Univ. - 1961. - Vol. 12 - P. 26-36.Kato, K. 1987 “Vanishing cycles, ramification of valuations, and class field theory” Duke Math. J., vol. 55, pp. 629-659.Kato, K. Vanishing cycles, ramification of valuations, and class field theory/ K. Kato// Duke Math. J. 1987. - Vol. 55 - P. 629-659.Keating, K. and Schwartz, P., 2022 “Galois scaffolds and Galois module structure for totally ramified 𝐶𝑝2-extensions in characteristic 0” J. Number Theory, vol. 239, pp. 113-136.Keating, K., Schwartz, P. Galois scaffolds and Galois module structure for totally ramified 𝐶𝑝2 - extensions in characteristic 0/ K. Keating, P. Schwartz// Number Theory 2022. - Vol. 239 - P. 113-136.Lubin, J., Tate, J. 1965 “Formal complex multiplication in local fields”, Ann. Math. vol. 81, pp. 380-387.Lubin, J., Tate, J. Formal complex multiplication in local fields/ J. Lubin, J. Tate// Ann. Math. - 1965. - Vol. 81 - P. 380-387.MacKenzie, R. E., Whaples, G., 1956, “Artin–Schreier equations in characteristic zero”, Amer. J. Math., vol. 78, pp. 473-485.MacKenzie, R. E., Whaples, G. Artin–Schreier equations in characteristic zero/ R. E. MacKenzie, G. Whaples// Amer. J. Math. 1956 Vol. 78, P. 473-485.Miki, H. 1974, “On 𝑍𝑝-extensions of complete p-adic power series fields and function fields”, J. Fac. Sci. Univ. Tokyo, Sect 1A, vol. 21, pp. 377-393.Miki, H. On 𝑍𝑝-extensions of complete p-adic power series fields and function fields/ H. Miki//J. Fac. Sci. Univ. Tokyo, Sect 1A - 1974. - Vol. 21 - P. 377-393.Serre, J.-P. 1979, “Local fields”, Springer.Serre, J.-P., Local fields/ J.-P. Serre - Springer - 1979.Xiao, L., Zhukov, I. 2014, “Ramification in the imperfect residue field case, approaches and questions”, Algebra i Analiz, vol. 26, № 5. pp. 695-740. St. Petersbg. Math. J. 26, № 5, pp. 695-74Xiao, L., Zhukov, I. Ramification in the imperfect residue field case, approaches and questions/ L. Xiao, I. Zhukov//Алгебра и анализ. 2014. - Т. 26 - № 5 - С. 695-740.Xiao, L., Zhukov, I. 2014 “Ramification in the imperfect residue field case, approaches and questions” L. Xiao, I. Zhukov in: Valuation theory in interaction. Proceedings of the 2nd international conference and workshop on valuation theory, Segovia and El Escorial, Spain, July 18-29, 2011. European Mathematical Society (EMS), Z¨urich, 2014, pp. 600-656 (Zbl 1312.14010)Xiao, L., Zhukov, I. Ramification in the imperfect residue field case, approaches and questions/ L. Xiao, I. Zhukov// in: Valuation theory in interaction. Proceedings of the 2nd international conference and workshop on valuation theory, Segovia and El Escorial, Spain, July 18-29 - 2011.Zhukov, I., 2000, “Explicit abelian extensions of complete discrete valuation fields”, in book: Fesenko, I., Kurihara, M. (eds.) Invitation to Higher Local Fields. Geometry and Topology Monographs, vol. 3, pp. 117-122.Z¨urich: European Mathematical Society (EMS). - 2014. - P. 600-656 (Zbl 1312.14010)Z¨urich: European Mathematical Society (EMS). - 2014. - P. 600-656 (Zbl 1312.14010)Zhukov, I. Explicit abelian extensions of complete discrete valuation fields/ I. Zhukov// in book: Fesenko, I., Kurihara, M. (eds.) Invitation to Higher Local Fields. Geometry and Topology Monographs - 2000. Vol. 3 - P. 117-122.Zhukov, I. Explicit abelian extensions of complete discrete valuation fields/ I. Zhukov// in book: Fesenko, I., Kurihara, M. (eds.) Invitation to Higher Local Fields. Geometry and Topology Monographs - 2000. Vol. 3 - P. 117-122.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.