кандидат физико-математических наук
candidate of physical and mathematical sciences
Рассмотрена задача Коши для системы двух квазилинейных дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка с непрерывными и ограниченными свободными членами. Сформулированы и доказаны теоремы о локальном и нелокальном существовании и единственности решений задачи Коши. Определены достаточные условия существования и единственности локального решения задачи Коши в исходных координатах, при которых решение имеет такую же гладкость по 𝑥, как и начальные функции задачи Коши. Определены достаточные условия существования и единственности нелокального решения задачи Коши в исходных координатах (для заданного конечного промежутка 𝑡 ∈ [0, 𝑇]). Локальная теорема существования и единственности решения задачи Коши длясистемы квазилинейных дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка с непрерывными и ограниченными свободными членами доказана с помощью метода дополнительного аргумента. Исследование нелокальной разрешимости задачи Коши основано на методе дополнительного аргумента. Доказательство нелокальной разрешимости задачи Коши для системы квазилинейных дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка с непрерывными и ограниченными свободными членами опирается на глобальные оценки.
We consider a Cauchy problem for a system of two quasilinear first order partial differential equations with continuous and bounded free terms. Theorems on the local and nonlocal existence and uniqueness of solutions to the Cauchy problem are formulated and proved. The sufficient conditions for the existence and uniqueness of a local solution of the Cauchy problem in the initial coordinates at which the solution has the same smoothness with respect to 𝑥 as the initialfunctions of the Cauchy problem are determined. The sufficient conditions for the existence and uniqueness of a nonlocal solution of the Cauchy problem in the initial coordinates (for a given finite interval 𝑡 ∈ [0, 𝑇]) are determined. Local existence and uniqueness theorem of the solution of the Cauchy problem for a system of quasilinear first order partial differential equations with continuous and bounded free terms is proved with the method of an additional argument. Theinvestigation of a nonlocal solvability of the Cauchy problem is based on the method of an additional argument. The proof of the nonlocal solvability of the Cauchy problem for a system of quasilinear first order partial differential equations with continuous and bounded free termsrelies on global estimates.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.