кандидат физико-математических наук
candidate of physical and mathematical sciences
кандидат физико-математических наук
candidate of physical and mathematical sciences
доктор физико-математических наук, профессор
doctor of physical and mathematical sciences, professor
В работе исследуется вопрос об области абсолютной сходимости дзета-ряда для некоторых моноидов натуральных чисел. Рассмотрены два основных случая: моноиды с 𝐶 степенной 𝜃-плотностью и моноиды с 𝐶-логарифмической 𝜃-степенной плотностью. Введено новое понятие — сильная ⃗𝐶 = (𝐶1, . . . ,𝐶𝑛) степенная ⃗𝜃-плотность. Для дзета-функции последовательности натуральных чисел 𝐴 с сильной ⃗𝐶= (𝐶1, . . . ,𝐶𝑛) степенной⃗𝜃-плотностью доказана теорема, согласно которой дзета-функция 𝜁(𝐴|𝛼) является аналитической функцией переменной 𝛼, регулярной при 𝜎 > 0, имеющая 𝑛 полюсов первого порядка, и найдены вычеты в этих полюсах.Для случая 𝐶 логарифмической 𝜃-степенной плотности доказан принципиально другой результат: если моноид 𝑀 имеет 𝐶 логарифмическую 𝜃-степенную плотность с 0 < 𝜃 < 1, то дзета-функция моноида 𝑀 имеет область голоморфности полуплоскость 𝜎 > 0 и мнимая ось является линией особенностей.В третьем разделе рассмотрен вопрос об аналитическом продолжении дзета-функции моноида натуральных чисел в трёх случаях: для моноида 𝑘-ых степеней натуральных чисел, для множества натуральных чисел свободных от 𝑘-ых степеней и для объединения двух моноидов 𝑘-ых степеней натуральных чисел, когда показатели степеней взаимно простые числа.Во всех трёх случаях показано, что аналитическое продолжение существует на всю комплексную плоскость. Найдены функциональные уравнения для каждого из трёх случаев.Они все имеют принципиально разный вид. Кроме этого, для каждого аналитического продолжения в критической полосе найдены новые свойства дзета-функции, которые отсутствуют у дзета-функции Римана.В заключении перечислены перспективные, актуальные темы дальнейших исследований.
The paper investigates the question of the domain of absolute convergence of the zeta series for some monoids of natural numbers. Two main cases are considered: monoids with 𝐶 power𝜃- density and monoids with 𝐶-logarithmic 𝜃-power density. A new concept is introduced — strong ⃗𝐶= (𝐶1, . . . ,𝐶𝑛) power ⃗𝜃 is the density. For the zeta function of a sequence of natural numbers 𝐴 with a strong ⃗𝐶= (𝐶1, . . . ,𝐶𝑛)power ⃗𝜃-density proved the theorem according to which the zeta function 𝜁(𝐴|𝛼) is an analytical function of the variable 𝛼, regular at 𝜎 > 0, having 𝑛 poles of the first order, and deductions are found in these poles.For the case of 𝐶 logarithmic 𝜃-power density, a fundamentally different result is proved: if the monoid 𝑀 has a 𝐶 logarithmic𝜃-power density with 0 < 𝜃 < 1, then the zeta function of the monoid 𝑀 has a holomorphic half-plane 𝜎 > 0 and the imaginary axis is the singularityline.In the third section, the question of the analytical continuation of the zeta function of the monoid of natural numbers in three cases is considered: for a monoid of 𝑘-th powers of natural numbers, for a set of natural numbers free of 𝑘-th powers, and for the union of two monoids of 𝑘-th powers of natural numbers when the exponents of the degrees are mutually prime numbers.In all three cases, it is shown that the analytic continuation exists on the entire complex plane. Functional equations are found for each of the three cases. They all have a fundamentally different look. In addition, new properties of the zeta function that are missing from the Riemann zeta function are found for each analytic continuation in the critical band.In conclusion, promising, relevant topics for further research are listed.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.