доктор физико-математических наук
doctor of physical and mathematical sciences
Вопрос интегрируемости преобразования Фурье и других интегральных преобразований ℱ(𝑓) на классах функций в весовых пространствах 𝐿𝑝(R𝑑) является фундаментальной проблемой гармонического анализа. Классический результат Хаусдорфа—Юнга говорит, что если функция 𝑓 из 𝐿𝑝(R𝑑) при 𝑝 ∈ [1, 2], то ее преобразование Фурье ℱ(𝑓) ∈ 𝐿𝑝′(R𝑑).При 𝑝 > 2 преобразование Фурье в общей ситуации будет обобщенной функцией. Определить преобразование Фурье как обычную функцию при 𝑝 > 2 можно за счет рассмотрениявесовых пространств 𝐿𝑝(R𝑑). В частности, из классического неравенства Питта следует, что если 𝑝, 𝑞 ∈ (1,∞), 𝛿 = 𝑑( 1𝑞 − 1𝑝′ ), 𝛾 ∈ [(𝛿)+, 𝑑𝑞 ) и функция 𝑓 интегрируема в 𝐿𝑝(R𝑑) со степенным весом |𝑥|𝑝(𝛾−𝛿), то ее преобразование Фурье ℱ(𝑓) принадлежит пространству 𝐿𝑞(R𝑑) с весом |𝑥|−𝑞𝛾. Случай 𝑝 = 𝑞 отвечает известному неравенству Харди—Литлвуда.Возникает вопрос о расширении условий интегрируемости преобразования Фурье при дополнительных условиях на функции. В одномерном случае G. Hardy и J. Littlewood доказали, что если 𝑓 — четная невозрастающая стремящаяся к нулю функция и 𝑓 ∈ 𝐿𝑝(R) для 𝑝 ∈ (1,∞), то ℱ(𝑓) принадлежит 𝐿𝑝(R) с весом |𝑥|𝑝−2. R. Boas (1972) предположил, что для монотонной функции 𝑓 принадлежность | · |𝛾−𝛿𝑓 ∈ 𝐿𝑝(R) эквивалентна | · |−𝛾ℱ(𝑓) ∈ 𝐿𝑝(R)тогда и только тогда, когда 𝛾 ∈ (− 1𝑝′ , 1𝑝 ). Одномерная гипотеза Боаса была доказана Y. Sagher (1976).D. Gorbachev, E. Liflyand и S. Tikhonov (2011) доказали многомерную гипотезу Боаса для радиальных функций, причем на более широком классе обобщенно монотонных неотрицательных радиальных функций 𝑓: ‖| · |−𝛾ℱ(𝑓)‖𝑝 ≍ ‖| · |𝛾−𝛿𝑓‖𝑝 тогда и только тогда, когда 𝛾 ∈ ( 𝑑/𝑝 − (𝑑+1)/2 , 𝑑/𝑝 ), где 𝛿 = 𝑑( 1/𝑝 − 1/𝑝′ ). Для радиальных функций преобразование Фурье выражается через преобразование Бесселя полуцелого порядка, которое сводитсяк классическому преобразованию Ханкеля и включает косинус- и синус-преобразования Фурье. Для последних гипотеза Боаса доказана E. Liflyand и S. Tikhonov (2008). Дляпреобразования Бесселя–Ханкеля с произвольным порядком гипотеза Боаса доказана L. De Carli, D. Gorbachev и S. Tikhonov (2013). D. Gorbachev, V. Ivanov и S. Tikhonov (2016) обобщили данные результаты были на случай (𝜅, 𝑎)-обобщенного преобразования Фурье. A. Debernardi (2019) изучил случай преобразования Ханкеля и обобщенно монотонных знакопеременных функций.До сих пор гипотеза Боаса рассматривалась для функций на полуоси. В данной работе она изучается на всей оси. Для этого рассматривается интегральное преобразование Данкля, которое для четных функций сводится к преобразованию Бесселя–Ханкеля.Также показывается, что гипотеза Боаса остается справедливой для (𝜅, 𝑎)-обобщенного преобразования Фурье, при 𝑎 = 2 дающее преобразование Данкля. В итоге имеем
$$‖| · |−𝛾ℱ𝜅,𝑎(𝑓)‖𝑝,𝜅,𝑎 ≍ ‖| · |𝛾−𝛿𝑓‖𝑝,𝜅,𝑎,$$
где 𝛾 ∈ ( 𝑑_𝜅,𝑎/𝑝 − )𝑑_𝜅,𝑎+𝑎/2)/2 , (𝑑_𝜅,𝑎)/𝑝 ), 𝛿 = 𝑑𝜅,𝑎( 1/𝑝 − 1/𝑝′ ), 𝑑𝜅,𝑎 = 2𝜅 + 𝑎 − 1.
The question of integrability of the Fourier transform and other integral transformations ℱ(𝑓) on classes of functions in weighted spaces 𝐿𝑝(R𝑑) is a fundamental problem of harmonic analysis. The classical Hausdorff–Young result says that if a function 𝑓 from 𝐿𝑝(R𝑑) with 𝑝 ∈ [1, 2], then its Fourier transform ℱ(𝑓) ∈ 𝐿𝑝′ (R𝑑). For 𝑝 > 2 the Fourier transform in the general situation will be a generalized function. The Fourier transform can be defined as an usual function for 𝑝 > 2 by considering the weighted spaces 𝐿𝑝(R𝑑). In particular, the classical Pitt inequality implies that if 𝑝, 𝑞 ∈ (1,∞), 𝛿 = 𝑑( 1/𝑞 − 1/𝑝′ ), 𝛾 ∈ [(𝛿)+, 𝑑/𝑞 ) and function 𝑓 is integrable in 𝐿𝑝(R𝑑) with power weight |𝑥|𝑝(𝛾−𝛿), then its Fourier transform ℱ(𝑓) belongs to the space 𝐿𝑞(R𝑑) with weight |𝑥|−𝑞𝛾. The case 𝑝 = 𝑞 corresponds to the well-known Hardy–Littlewood inequality.The question arises of extending the conditions for the integrability of the Fourier transform under additional conditions on the functions. In the one-dimensional case, G. Hardy and J. Littlewood proved that if 𝑓 is an even nonincreasing function tending to zero and 𝑓 ∈ 𝐿𝑝(R)for 𝑝 ∈ (1,∞), then ℱ(𝑓) belongs to 𝐿𝑝(R) with weight |𝑥|𝑝−2. R. Boas (1972) suggested that for a monotone function 𝑓 the membership | · |𝛾−𝛿𝑓 ∈ 𝐿𝑝(R) is equivalent to | · |−𝛾ℱ(𝑓) ∈ 𝐿𝑝(R) if and only if 𝛾 ∈ (−1/𝑝′ , 1/𝑝 ). The one-dimensional Boas conjecture was proved by Y. Sagher (1976).D. Gorbachev, E. Liflyand and S. Tikhonov (2011) proved the multidimensional Boas conjecture for radial functions, moreover, on a wider class of general monotone non-negative radial functions 𝑓: ‖| · |−𝛾ℱ(𝑓)‖𝑝 ≍ ‖| · |𝛾−𝛿𝑓‖𝑝 if and only if 𝛾 ∈ ( 𝑑/𝑝 − (𝑑+1)/2, 𝑑/𝑝 ), where𝛿 = 𝑑( 1/𝑝 − 1/𝑝′ ). For radial functions, the Fourier transform is expressed in terms of the Bessel transform of half-integer order, which reduces to the classical Hankel transform and includes the cosine and sine Fourier transforms. For the latter, the Boas conjecture was proved by E. Liflyand and S. Tikhonov (2008). For the Bessel–Hankel transform with an arbitrary order, the Boas conjecture was proved by L. De Carli, D. Gorbachev and S. Tikhonov (2013). D. Gorbachev, V. Ivanov and S. Tikhonov (2016) generalized these results to the case of (𝜅, 𝑎)-generalized Fourier transform. A. Debernardi (2019) studied the case of the Hankel transform and general monotone alternating functions.So far, the Boas conjecture has been considered for functions on the semiaxis. In this paper, it is studied on the entire axis. To do this, we consider the integral Dunkl transform, which for even functions reduces to the Bessel–Hankel transform. It is also shown that the Boas conjecture remains valid for the (𝜅, 𝑎)-generalized Fourier transform, which gives the Dunkl transform for 𝑎 = 2. As a result, we have
$$‖| · |−𝛾ℱ𝜅,𝑎(𝑓)‖𝑝,𝜅,𝑎 ≍ ‖| · |𝛾−𝛿𝑓‖𝑝,𝜅,𝑎,$$
where 𝛾 ∈ ( 𝑑_𝜅,𝑎/𝑝 − )𝑑_𝜅,𝑎+𝑎/2)/2 , (𝑑_𝜅,𝑎)/𝑝 ), 𝛿 = 𝑑𝜅,𝑎( 1/𝑝 − 1/𝑝′ ), 𝑑𝜅,𝑎 = 2𝜅 + 𝑎 − 1.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.