chebЧебышевский сборникChebyshevskii Sbornik2226-8383Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University10.22405/2226-8383-2023-24-2-81-128cheb-1536Research ArticleСтатьиArticleУстойчивость границы в проблеме Ферма — Штейнера в гиперпространствах над конечномерными нормированными пространствамиBoundary stability in the Fermat–Steiner problem in hyperspaces over finite-dimensional normed spacesГалстянАрсен ХачатуровичGalstyanArsen Khachaturovich

аспирант

postgraduate student

ares.1995@mail.ruМосковский государственный университет имени М. В. ЛомоносоваРоссияLomonosov Moscow State UniversityRussian Federation20233010202324281128Copyright © Галстян А.Х., 20232023Галстян А.Х.Galstyan A.K.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.chebsbornik.ru/jour/article/view/1536

Проблема Ферма — Штейнера состоит в поиске всех точек метрического пространства 𝑌 таких, что сумма расстояний от каждой из них до точек из некоторого фиксированного конечного подмножества 𝐴 = {𝐴1, . . . ,𝐴𝑛} пространства 𝑌 минимальна. В настоящей работе эта проблема рассматривается в случае, когда 𝑌 = ℋ(𝑋) — это пространство непустых компактных подмножеств конечномерного нормированного пространства 𝑋, наделённоеметрикой Хаусдорфа, то есть ℋ(𝑋) является гиперпространством над 𝑋. Множество 𝐴 называют границей, все 𝐴𝑖 — граничными множествами, а компакты, которые реализуют минимум суммы расстояний до 𝐴𝑖 — компактами Штейнера.В данной статье изучается вопрос устойчивости в проблеме Ферма — Штейнера при переходе от границы из конечных компактов 𝐴𝑖 к границе, состоящей из их выпуклых оболочек Conv(𝐴𝑖). Под устойчивостью здесь имеется в виду, что при переходе к выпуклым оболочкам граничных компактов минимум суммы расстояний 𝑆𝐴 не изменится.В работе было продолжено изучение геометрических объектов, а именно, множеств сцепки, возникающих в проблеме Ферма — Штейнера. Также были выведены три различных достаточных условия неустойчивости границы из ℋ(𝑋), два из которых опи-раются на построенную теорию таких множеств. Для случая неустойчивой границы 𝐴 = {𝐴1, . . . ,𝐴𝑛} был разработан метод поиска деформаций некоторого элемента из ℋ(𝑋), которые приводят к компактам, дающим меньшее значение суммы расстояний до Conv(𝐴𝑖), чем 𝑆𝐴.Построенная в рамках данного исследования теория была применена к одной известной из недавних работ границе 𝐴 ⊂ ℋ(R2), а именно, была доказана её неустойчивость и былинайдены компакты, реализующие меньшую, чем 𝑆𝐴, сумму расстояний до Conv(𝐴𝑖).

The Fermat–Steiner problem is to find all points of the metric space 𝑌 such that the sum of the distances from each of them to points from some fixed finite subset 𝐴 = {𝐴1, . . . ,𝐴𝑛} of the space 𝑌 is minimal. In this paper, this problem is considered in the case when 𝑌 = ℋ(𝑋) isthe space of non-empty compact subsets of a finite-dimensional normed space 𝑋 endowed with the Hausdorff metric, i.e. ℋ(𝑋) is a hyperspace over 𝑋. The set 𝐴 is called boundary, all 𝐴𝑖 are called boundary sets, and the compact sets that realize the minimum of the sum of distances to 𝐴𝑖 are called Steiner compacts.In this paper, we study the question of stability in the Fermat–Steiner problem when passing from a boundary consisting of finite compact sets 𝐴𝑖 to a boundary consisting of their convex hulls Conv(𝐴𝑖). By stability here we mean that the minimum of the sum of distances 𝑆𝐴 does not change when passing to convex hulls of boundary compact sets.The paper continued the study of geometric objects, namely, hook sets that arise in the Fermat–Steiner problem. Also three different sufficient conditions for the instability of the boundary from ℋ(𝑋) were derived, two of which are based on the constructed theory of suchsets. For the case of an unstable boundary 𝐴 = {𝐴1, . . . ,𝐴𝑛}, a method was developed to search for deformations of some element from ℋ(𝑋), which lead to compact sets that give a smaller value of the sum of distances to Conv(𝐴𝑖) than 𝑆𝐴.The theory constructed within the framework of this study was applied to one of the wellknown from recent works boundary 𝐴 ⊂ ℋ(R2), namely, its instability was proved and compact sets were found realizing the sum of distances to Conv(𝐴𝑖), less than 𝑆𝐴.

метрическая геометриягиперпространствавыпуклые множестварасстояние Хаусдорфапроблема Штейнерапроблема Ферма — Штейнераэкстремальные сети.metric geometryhyperspacesconvex setsHausdorff distanceSteiner problemFermat–Steiner problemextremal networks.А. Х. Галстян является стипендиатом Фонда развития теоретической физики и математики “БАЗИС” (договор No 21-8-3-3-1).ReferencesIvanov A. O., Tuzhilin A. A. Branching solutions to one–dimensional variational problems // World Sci. Publ., River Edge, NJ, 2001, xxii+342 pp.Ivanov, A. O. & Tuzhilin, A. A. 2001, Branching solutions to one–dimensional variational problems, World Sci. Publ., River Edge, NJ, xxii+342 pp.Cieslik D. Steiner minimal trees // Nonconvex Optim. Appl., 23, Kluwer Acad. Publ., Dordrecht, 1998, xii+319 pp.Cieslik, D. 1998, Steiner minimal trees, Nonconvex Optim. Appl., 23, Kluwer Acad. Publ., Dordrecht, xii+319 pp.Ivanov A. O., Tuzhilin A. A. Minimal networks: a review // Advances in dynamical systems and control, Stud. Syst. Decis. Control, 69, Springer, Cham, 2016, 43–80 pp.Ivanov, A. O. & Tuzhilin, A. A. 2016, “Minimal networks: a review”, Advances in dynamical systems and control, Stud. Syst. Decis. Control, 69, Springer, Cham, 43–80 pp.Hwang F. K., Richards D. S., Winter P. The Steiner Tree Problem // North–Holland, 1992, 339 p.Hwang, F. K., Richards, D. S. & Winter, P. 1992, The Steiner Tree Problem, North–Holland, 339 p.Jarnik V., K¨ossler M. On minimal graphs containing n given points // ˇCasopis ˇPest. Mat. Fys., 63:8 (1934), 223–235 pp.Jarnik, V. & K¨ossler, M. 1934, “On minimal graphs containing n given points”, ˇ Casopis ˇ Pest. Mat. Fys., vol. 63, no. 8 , pp. 223–235.Курант Р., Роббинс Г. Что такое математика? Элементарный очерк идей и методов, 3-е изд., испр. и доп. // МЦНМО, М., 2001, 568 с.Courant, R. & Robbins, H. 2001, What is mathematics? An elementary approach to ideas and methods, 3-rd ed., cor. and ad., Izdatelstvo MCNMO, М., p. 568.A. Ivanov A., Tropin A., Tuzhilin A. Fermat–Steiner problem in the metric space of compact sets endowed with Hausdorff distance // J. Geom., 108:2 (2017), 575–590.Ivanov, A., Tropin, A. & Tuzhilin, A. 2017, “Fermat–Steiner problem in the metric space of compact sets endowed with Hausdorff distance”, J. Geom., vol. 108, no. 2, pp. 575–590.Nadler S. B. Hyperspaces of sets // Marcel Dekker Inc., New York and Basel, 1978, 707 p.Nadler, S. B. 1978, Hyperspaces of sets, Marcel Dekker Inc., New York and Basel, 707 p.Blackburn C. C., Lund K., Schlicker S., Sigmon P., Zupan A. An introduction to the geometry of ℋ(R𝑛) // GVSU REU 2007, Grand Valley State Univ., Allendale, MI, 2007.Blackburn, C. C., Lund, K., Schlicker, S., Sigmon, P. & Zupan, A. 2007, An introduction to the geometry of ℋ(R𝑛), GVSU REU 2007, Grand Valley State Univ., Allendale, MI.Memoli F. On the use of Gromov–Hausdorff distances for shape comparison // Eurographics symposium on point based graphics, The Eurographics Association, Prague, 2007, 81–90.Memoli, F. 2007, “On the use of Gromov–Hausdorff distances for shape comparison”, Eurographics symposium on point based graphics, The Eurographics Association, Prague, pp. 81–90.Memoli F. Some properties of Gromov–Hausdorff distances // Discrete Comput. Geom., 48:2 (2012), 416–440.Memoli, F. 2012, “Some properties of Gromov–Hausdorff distances”, Discrete Comput. Geom., vol. 48, no. 2, pp. 416–440.Ivanov A. O., Tuzhilin A. A. Isometry group of Gromov–Hausdorff space // Mat. Vesnik, 71:1-2 (2019), 123–154.Ivanov, A. O. & Tuzhilin, A. A. 2019, “Isometry group of Gromov–Hausdorff space”, Mat. Vesnik, vol. 71, no. 1–2, pp. 123–154.Galstyan A. Kh., Ivanov A. O., Tuzhilin A. A. The Fermat–Steiner problem in the space of compact subsets of R𝑚 endowed with the Hausdorff metric // Sb. Math., 212:1 (2021), 25–56Galstyan, A. Kh., Ivanov, A. O. & Tuzhilin, A. A. 2021, “The Fermat–Steiner problem in the space of compact subsets of R𝑚 endowed with the Hausdorff metric”, Sb. Math., vol. 212, no. 1, pp. 25–56.Тропин А. М. Оценка длины минимальной параметрической сети в гиперпространствах при деформации граничного множества // Интеллектуальные системы. Теория и приложения, 25, 2, 2021, стр. 81–107Tropin, A. М. 2021, “An Estimation of the Length of a Minimal Parametric Network in Hyperspaces under the Deformation of the Boundary Set”, Intelligent systems. Theory and Applications, vol. 25, no. 2, pp. 81–107.Mendelson B. Introduction to topology // Dover Publications, 1990, 206 p.Mendelson, B. 1990, Introduction to topology, Dover Publications, 206 p.Leonard I. E., Lewis J. E. Geometry of convex sets // Wiley, 2015, 336 p.Leonard, I. E. & Lewis, J. E. 2015, Geometry of convex sets, Wiley, 336 p.Алимов А. Р., Царьков И. Г. Связность и другие геометрические свойства солнц и чебышёвских множеств // Фундаментальная и прикладная математика, 2014, том 19, No 4, с. 21–91.Alimov, A. R. & Tsarkov, I. G. 2014, “Connection and other geometric properties of suns and Chebyshev sets”, Fundamental and applied mathematics, vol. 19, no. 4, pp. 21–91.Schlicker S. The geometry of the Hausdorff metric // GVSU REU 2008, Grand Valley State Univ., Allendale, MI, 2008, 11 pp., http://faculty.gvsu.edu/schlicks/ HMG2008.pdf.Schlicker, S. 2008,“The geometry of the Hausdorff metric”, GVSU REU 2008, Grand Valley State Univ., Allendale, MI, 11 pp., http://faculty.gvsu.edu/schlicks/ HMG2008.pdf.Бураго Д. Ю., Бураго Ю. Д., Иванов С. В. Курс метрической геометрии // Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004. 512 с.Burago, D., Burago, Yu. & Ivanov, S. 2004, A course in metric geometry, Institute for Computer Research, Moscow–Izhevsk, p. 512.Иванов А. О., Тужилин А. А. Геометрия расстояний Хаусдорфа и Громова-Хаусдорфа: случай компактов // M.: Издательство Попечительского совета механико-математического факультета МГУ, 2017. 111 с.Ivanov, A. O. & Tuzhilin, A. A. 2017, Geometry of Hausdorff and Gromov–Hausdorff distances: the case of compact sets, Faculty of mechanics and mathematics of MSU, Moscow, p. 111.А. Х. Галстян. Про непрерывность одной операции с выпуклыми компактами в конечно-мерных нормированных пространствах // Чебышевcкий сборник, 2022, т. 23, вып. 5, с. 152–160.Galstyan, A. Kh. 2022, “About the continuity of one operation with convex compacts in finitedimensional normed spaces”, Chebyshevskii sbornik, vol. 23, no. 5, pp. 152–160.Drusvyatskiy D. Convex analysis and nonsmooth optimization // University Lecture, 2020, https://sites.math.washington.edu/ ddrusv/crs/Math_516_2020/bookwithindex.pdfDrusvyatskiy, D. 2020, Convex analysis and nonsmooth optimization, University Lecture, https://sites.math.washington.edu/ ddrusv/crs/Math_516_2020/bookwithindex.pdfGalstyan A. Kh. Boundary stability in the Fermat–Steiner problem in hyperspaces over finitedimensional normed spaces // arXiv:2212.01881, 2022Galstyan A. Kh. 2022, “Boundary stability in the Fermat–Steiner problem in hyperspaces over finite-dimensional normed spaces” // arXiv:2212.01881

The authors declare that there are no conflicts of interest present.