кандидат физико-математических наук, доцент
candidate of physical and mathematical sciences, associateprofessor
доктор физико-математических наук, профессор
doctor of physical and mathematical sciences, professor
Классическим свойством непостоянной 2𝑟-периодической функции на вещественной оси является отсутствие у нее периода, несоизмеримого с 𝑟. Одним из многомерных аналогов этого утверждения является следующая хорошо известная теорема Л. Зальцмана о двух радиусах: для существования ненулевой локально суммируемой функции 𝑓 : R𝑛 → C с нулевыми интегралами по всем шарам радиусов 𝑟1 и 𝑟2 в R𝑛, необходимо и достаточно, чтобы 𝑟1/𝑟2 ∈ 𝐸𝑛, где 𝐸𝑛 — множество всевозможных отношений положительных нулей функции Бесселя 𝐽𝑛/2. Условие 𝑟1/𝑟2 /∈ 𝐸𝑛 эквивалентно равенству 𝒵+ (︀̃︀𝜒𝑟1)︀∩𝒵+(︀̃︀𝜒𝑟2)︀= ∅,где 𝜒𝑟 — индикатор шара 𝐵𝑟 = {𝑥 ∈ R𝑛 : |𝑥| < 𝑟}, ̃︀𝜒𝑟 — сферическое преобразование (преобразование Фурье-Бесселя) индикатора 𝜒𝑟, 𝒵+(̃︀𝜒𝑟) — множество всех положительных нулей четной целой функции ̃︀𝜒𝑟. В терминах сверток теорема о двух радиусах означает,что оператор
$$𝒫𝑓 = (𝑓 * 𝜒𝑟1 , 𝑓 * 𝜒𝑟2 ), 𝑓 ∈ 𝐿^(1,loc) (R𝑛)$$
инъективен тогда и только тогда, когда 𝑟1/𝑟2 /∈ 𝐸𝑛. В данной работе найдена новая формула обращения оператора 𝒫 при условии 𝑟1/𝑟2 /∈ 𝐸𝑛. Полученный результат существенно упрощает известные ранее процедуры восстановления функции 𝑓 по заданным шаровым средним 𝑓 *𝜒𝑟1 и 𝑓 *𝜒𝑟2 . В доказательствах используются методы гармонического анализа, а также теории целых и специальных функций.
A classical property of a non-constant 2𝑟-periodic function on the real axis is that it has no period incommensurable with 𝑟. One of the multidimensional analogues of this statement is the following well-known theorem of L. Zalcman on two radii: for the existence of a nonzero locally summable function 𝑓 : R𝑛 → C with nonzero integrals over all balls of radii 𝑟1 and 𝑟2 in R𝑛 it is necessary and sufficient that 𝑟1/𝑟2 ∈ 𝐸𝑛, where 𝐸𝑛 is the set of all possible ratios of positive zeros of the Bessel function 𝐽𝑛/2. The condition 𝑟1/𝑟2 /∈ 𝐸𝑛is equivalent to the equality 𝒵+(︀̃︀𝜒𝑟1)︀∩ 𝒵+(︀̃︀𝜒𝑟2)︀= ∅, where 𝜒𝑟 is the indicator of the ball 𝐵𝑟 = {𝑥 ∈ R𝑛 : |𝑥| < 𝑟}, ̃︀𝜒𝑟 is the spherical transform (Fourier-Bessel transform) of the indicator 𝜒𝑟, 𝒵+(̃︀𝜒𝑟) is the set of all positive zeros of even entire function ̃︀𝜒𝑟. In terms of convolutions, L. Zalcman’s theorem means that the operator
$$𝒫𝑓 = (𝑓 * 𝜒𝑟1 , 𝑓 * 𝜒𝑟2 ), 𝑓 ∈ 𝐿^(1,loc) (R𝑛)$$
is injective if and only if 𝑟1/𝑟2 /∈ 𝐸𝑛. In this paper, a new formula for the inversion of the operator 𝒫 is found under the condition 𝑟1/𝑟2 /∈ 𝐸𝑛. The result obtained significantly simplifies the previously known procedures for recovering a function 𝑓 from given ball means values 𝑓 *𝜒𝑟1 и 𝑓 * 𝜒𝑟2 . The proofs use the methods of harmonic analysis, as well as the theory of entire and special functions.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.