Одним из мощных средств исследования в комплексном анализе являются интегральные представления. Теория аналитических функций комплексного переменного построена в большей степени на основе интегральной формулы Коши [1]. Значительным классом некорректно поставленных задач, возникших в физике, технике и других областях знаний, являются так называемые обратные задачи [2] — [4]. Автором [5] — [6] для функции f(z), голоморфной в круге KR : |z| < < R, установлена интегральная формула (она в данной статье приведена во введении как формула (1)), являющаяся решением обратной задачи для интегральной формулы Коши в круге KR. Формула (1), в отличие от формулы Коши, по значениям функции f(z) на любой окружности Cr : |z| = r (0 < r < R), лежащей в круге KR, или на произвольной замкнутой кусочно-гладкой линии, охватывающей начало координат и содержащейся внутри окружности CR — границы круга KR, выражает ее значения во всех остальных точках круга KR. В [5] получены и решения обратных задач для формул Пуассона [1] и Шварца [7], а в [5] — [6] — и для формул производных формулы Коши [1]. Обратная задача для интегральной формулы Пуассона использована [8] для обобщения формулы Пуассона — Иенсена [7], из которого формулы Пуассона — Иенсена и Иенсена вытекают как частные случаи. Аналогично использована [9] и обратная задача для обобщения формулы Шварца — Иенсена [7]. В случае кольца D: r < |z| < R установлено [10] интегральное пред- ставление (в [10] это формула (1)) для голоморфной в области D функции f(z), которая, в отличие от формулы Коши для кольца, по значениям f(z) на произвольной замкнутой кусочно-гладкой линии, охватывающей начало координат и содержащейся внутри кольца D, выражает её значения во всех остальных точках этого кольца, т.е. в [10] решена обратная задача для формулы Коши и в случае кольца D. В статье [11] в случае круга KR найдено решение обратных задач для интегральных формул, приведённых в [12] (в [12] это формулы (3) и (4)), ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ В ИНТЕГРАЛЬНЫХ ФОРМУЛАХ справедливые для функций, голоморфных в звёздной области относительно начала координат. Формула Коши имеет место и в случае многих комплексных перемен- ных ( см., например, [13]). В статье [14] в случае поликруга ER = E(R1, . . . , Rn) = {z = (z1, . . . , zn) : |z1| < R1, . . . , |zn| < Rn} решены обратные задачи как для формулы Коши, так и для вытекающих из неё формул (аналогичные формулам Шварца и Пуассона в случае одного комплексного переменного). Решены обратные задачи [15] и в случае интегральных формул Тем- лякова (об этих формулах см., например, [16]). Наконец, в настоящей статье в случае выпуклой области и круга (соот- ветственно теорема 2 и 3) установлены новые интегральные представления (3) и (5), из которых (3) есть интегральное представление для функций, голоморфных в выпуклой области, а (5) — решение обратной задачи для интегрального представления (3) в круге KR.
In complex analysis an integral representations are one of the powerful tools of research. The theory of analytic functions of complex variables is largely built on the basis of Cauchy’s integral formula [1]. An important class of ill-posed problems arising in physics, engineering and other fields, are so-called inverse problems [2] — [4]. In [5] - [6] author sets an integral formula for the function f(z), holomorphic in the circle KR : |z| < R, (it is in the introduction of this article as formula (1)) is the solution of the inverse problem for Cauchy’s integral formula in the circle KR. . Equation (1), unlike the Cauchy formula for the values of the function f(z) on any circumference Cr : |z| = r (0 < r < R) lying in a circle KR, or an arbitrary closed piecewise smooth lines covering the origin and contained within a circle circle CR — the circle border KR expresses its values at all other points in the range of KR. In [ 5] the solution of inverse problems for Poisson’s formula [1] and Schwartz’ formula [7] and the formulas for derivatives of Cauchy formula [1] in [5] — [6] are obtained. The inverse problem for the Poisson integral formula is used in [8] for generalization of Poisson — Jensen’s formula [7] from which Poisson – Jensen’s formula and Jensen’s formula follow as a special cases. Similarly, [9] and the inverse problem are used for the generalization of the Schwartz — Jensen’s formula [7]. In the case of ring D: r < |z| < R to [10] the integral representation is set (in [10] is a formula (1)) for a holomorphic function in D D which, unlike the Cauchy formula for the ring, according to the values on an arbitrary closed piecewise smooth lines hugging origin and contained within the ring D, expresses its values at all other points of the rings, ie [10] the inverse problem for the Cauchy formula in the case of ring D is solved. In the article [11] for the case of the circle KR the solution of inverse problems for integral formulas is found and given in [12] (in [12] these are formulas (3) and (4)) are valid for functions holomorphic in a star domain with respect to the origin. The Cauchy formula holds in the case of several complex variables (see., Eg, [13]). In the article [14] for the case of polydisc ER = E(R1, . . . , Rn) = {z = (z1, . . . , zn) : |z1| < R1, . . . , |zn| < Rn} the inverse problems for the Cauchy formula and by deriving from its are resolved (analogous to the Poisson formulas for the case of one complex variable). The inverse problems [15] in the case of integral Temlyakov’s formulas are solved (these are formulas, see., Eg, [16]). Finally, in this article, in the case of a convex domain and circle (respectively Theorem 2 and 3) new integral representations (3) and (5) are set, of which (3) is an integral representation for holomorphic functions in a convex domain, and (5) is a solution of the inverse problem for the integral representation (3) in a circle KR.