В настоящей работе улучшена оценка плотности решетчатого покрытия евклидова пространства размерности n = 17. Этот результат направлен на решение проблемы, известной в литературе как проблема С. С. Рышкова в теории решетчатых покрытий [1, 2]. Настоящая работа является продолжением ряда работ автора, среди которых основной является работа [3], в которой даны подробные опре- деления, а также методика исследования и приведены доказательства основных теорем. Мы предполагаем, что читатель знаком с результатами работы [3]. Настоящий результат получен на основе полного описания строения L-разбиения классической решетки Коксетера A6 17. Также приведено полное описание строения её многогранника Вороного-Дирихле как многогранника, заданного своими вершинами. На основе этого для решетчатого покрытия, отвечающего этой решетке, вычислено точное значение радиуса покрытия и функции плотности покрытия. Значение функции плотности покрытия оказалось лучше (меньше) ранее известных. Тем самым для n = 17 улучшена оценка минимальной плотности решетчатого покрытия евклидова пространства равными шарами. Исторически исследование L-разбиений решеток Коксетера Ar n было начато С. С. Рышковым в работе [4]. Среди L-тел решетки A6 17 встречается правильный симплекс S относительного объёма 6 (в таблице 1 это тело обозначено через F1). Это заранее известное из [4] L-тело, с которого мы начинали перечисление всех L-тел. Первоначально L-тела были получены нами с использованием ЭВМ при помощи известного «метода пустого шара» Делоне (см. [5]). В качестве первого шага этого метода мы использовали результаты работы [4] для S. В настоящей работе мы для формы A6 17 доводим начатые в [4] исследования до полного завершения. Аналогичные результаты, полученные мною ранее для размерностей n = 11, . . . , 15, мы подробно обсуждали в своё время с С. С. Рышковым на его спецсеминарах по теории решёток при кафедре дискретной математики механико-математического факультета МГУ. Сергей Сергеевич давал высокую оценку тем результатам и называл их «результатами уровня доктора физико-математических наук», что для меня, безусловно, являлось и продолжает являться большим стимулом для проведения новых исследований. Настоящий результат для n = 17 по объемам вычислений превосходит все предыдущие вместе взятые. Я посвящаю этот результат памяти своего учителя — Сергея Сергеевича Рышкова.
In present paper for n = 17 improved estimate is obtained for the minimum density of lattice coverings of the Euclidean space with equal balls. This result is directed on a solution of a problem, known in the literature as “the problem of S. S. Ryshkov concerning lattice coverings” [1, 2]. This work is a continuation of a series of author’s works. The work [3] is a basic work among them. Detailed definitions, the technique of the research and the proofs of the basic theorems are given there. We presume that the reader is acquainted with the results of the work [3]. The result based on a full description of the structure of the L -partition for the Coxeter lattice A6 17 as well as the structure of the Voronoi-Dirichlet polyhedra as polyhedra defined by their vertices is given. On the basis of this description, exact value of the covering radius and the density function are evaluated for the lattice covering corresponding to this lattice. The values of the density function of the covering proved to be better (less) than the formerly known values. Thus, for n = 17, improved estimate is obtained for the minimum density of lattice coverings of the Euclidean space with equal balls. Historically, the study of L-partitions of the Coxeter lattices Ar n was initiated by S. S. Ryshkov in [4]. There are regular simplex S relative volume 6 among L-body of the lattices Ar n (named F1 in table 1). It is well known from [4] L-body, which we use to start enumeration. Originally, we obtained L-bodies with a computer, using the well known «empty-ball method» of Delone (see [5]). As the first step of this method, we used the results of [4] for S. In the present paper, we complete the studies initiated in [4] for the form A6 17. The similar results, earlier gotten by me for the dimentions n = 11, . . . , 15, were discussed in detail by me and S. S. Ryshkov at his lattice theory special seminars at the chair of discrete mathematics at MSU Faculty of Mechanics and Mathematics. Sergey Sergeyevich gave an appreciation for those results and named them «the results of physical and mathematical PhD’s level», which was and continues to be a big stimulus for me to carry out new researches. The present result for n = 17 have surpassed all previous ones in a volume of calculations. I devote this result to the memory of my teacher — Sergey Sergeyevich Ryshkov.