chebЧебышевский сборникChebyshevskii Sbornik2226-8383Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University10.22405/2226-8383-2023-24-1-253-263cheb-1489Research ArticleИстория математики и приложенийСomputer scienceКонцентрация напряжений в слоистой плоскости с эллиптическим вырезомStress concentration in a layered plane with an elliptical cutoutГорбачевВладимир ИвановичGorbachevVladimir Ivanovich

доктор физико-математических наук, профессор

doctor of physical and mathematical sciences, professor

vigorby@mail.ruНекрасовВсеволод ВалерьевичNekrasovVsevolod Valeryevichvsevolod.nekrasov@math.msu.ruМосковский государственный университет им. М. В. ЛомоносоваРоссияLomonosov Moscow State UniversityRussian Federation202325052023241253263Copyright © Горбачев В.И., Некрасов В.В., 20232023Горбачев В.И., Некрасов В.В.Gorbachev V.I., Nekrasov V.V.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.chebsbornik.ru/jour/article/view/1489

В статье рассматривается задача о концентрации напряжений в упругой слоистой плоскости с эллиптическим вырезом. Явление исследуется с помощью понятия тензора концентрации напряжений. Изучаются два уровня концентрации: из-за слоистости и из-за выреза. Отдельно приведены формулы для компонент тензора концентрации напряжений в случае бесконечной слоистой плоскости (первый уровень), а также в случае однородной анизотропной плоскости с эллиптическим вырезом (второй уровень). Тензор концентрации напряжений в слоистой плоскости с вырезом представляется как произведение тензоров концентрации на первом и втором уровнях. Приведены приближенные формулы для компонент тензора концентрации. Подробно рассмотрен случай совпадения ориентации слоеви главных осей эллиптического отверстия. В этом случае вычислены коэффициенты концентрации в характерных точках, приведены графики зависимости этих коэффициентов от отношения модулей упругости слоев. Кроме того, проведено численное решение задачи с помощью пакета конечно-элементного анализа. Полученные аналитические и численныерезультаты согласуются с хорошей точностью.

The article deals with the problem of stress concentration in an elastic layered plane with an elliptical cutout. The phenomenon is investigated using the concept of stress concentration tensor. Two levels of concentration are studied: because of the layering and because of the cutout.Formulas for the stress concentration tensor components are given separately in the case of an infinite layered plane (first level), as well as in the case of a homogeneous anisotropic plane with an elliptical cutout (second level). Stress concentration tensor in a layered plane with It is represented as a product of concentration tensors at the first and second levels. Approximate formulas for the components of the concentration tensor are given. The case of the coincidence of the orientation of the layers and the main axes of the elliptical hole is considered in detail.In this case, the concentration coefficients at characteristic points are calculated, graphs of the dependence of these coefficients on the ratio of the elastic modulus of the layers are given. In addition, a numerical solution of the problem was carried out using a finite element analysispackage. The obtained analytical and numerical results are consistent with good accuracy.

механика деформируемого твердого теласлоистый композитконцентрация напряжений.mechanics of deformable solidslayered compositestress concentration.Работа выполнена в рамках плана НИР кафедры механики композитов механико-математического ф-та МГУ им. М. В. Ломоносова № АААА-А16-116070810022-4, при финансовой поддержке Центра фундаментальной и прикладной математики МГУ.ReferencesФеодосьев В. И. Сопротивление материалов // М.: Наука, 1979. 560 с.Feodos’ev V. I. Soprotivlenie materialov // M.: Nauka, 1979. 560 p.Kirsch E. G. Die theorie der elastizitat und die bedurfnisse der festigkeitslehre // ZeitschriftKirsch E. G. Die theorie der elastizitat und die bedurfnisse der festigkeitslehre // Zeitschriftdes Vereines Deutscher Ingenieure. – 1898. – Т. 42. – С. 797-807.des Vereines Deutscher Ingenieure. – 1898. – T. 42. – 797-807 pp.Лехницкий С. Г. Концентрация напряжений вблизи эллиптического и кругового отверстияLekhnickij S. G. Koncentraciya napryazhenij vblizi ellipticheskogo i krugovogo otverstiya vв растягиваемой анизотропной пластинке // Вестн. инж. и техн. № 5. 1936.rastyagivaemoj anizotropnoj plastinke // Vestn. inzh. i tekhn. № 5. 1936.Работнов Ю. Н. Введение в механику разрушения // М.: Наука, 1987.Rabotnov YU. N. Vvedenie v mekhaniku razrusheniya // M.: Nauka, 1987.Нейбер Г. Концентрация напряжений // М.-Л.: ОГИЗ, 1947.Nejber G. Koncentraciya napryazhenij // M.-L.: OGIZ, 1947.Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости // М.:Muskhelishvili N.I. Nekotorye osnovnye zadachi matematicheskoj teorii uprugosti // M.: Nauka,Наука, 1966. 708 с.708 p.Савин Г.Н. Распределение напряжений около отверстий // Киев, Наукова думка, 1968.Savin G.N. Raspredelenie napryazhenij okolo otverstij // Kiev, Naukova dumka, 1968. 888 p.с.Savin G.N., Tul’chij V.I. Spravochnik po koncentracii napryazhenij // Kiev, Vishcha shkola,Савин Г.Н., Тульчий В.И. Справочник по концентрации напряжений // Киев, Вища школа,, 412 p., 412 с.Kosmodamianskij A.S. Napryazhennoe sostoyanie anizotropnyh sred s otverstiyami i polostyamiКосмодамианский А.С. Напряженное состояние анизотропных сред с отверстиями и полостями // Киев - Донецк, Вища школа, 1976, 200 с.// Kiev - Doneck, Vishcha shkola, 1976, 200 P.Кишкин Б.П. Конструкционная прочность материалов // М.: Изд-во Моск. ун-та, 1976,Kishkin B.P. Konstrukcionnaya prochnost’ materialov // M.: Izd-vo Mosk. un-ta, 1976, 184 p.с.Aleksandrov V.M., Smetanin B.I., Sobol’ B.V. Tonkie koncentratory napryazhenij v uprugihАлександров В.М., Сметанин Б.И., Соболь Б.В. Тонкие концентраторы напряжений вtelah // M.: Nauka, 1993, 224 p.упругих телах // М.: Наука, 1993, 224 с.Mavlyutov R.R. Koncentraciya napryazhenij v elementah konstrukcij // M.: Nauka, 1996, 240Мавлютов Р.Р. Концентрация напряжений в элементах конструкций // М.: Наука, 1996,p.с.Lomakin V.A. Teoriya uprugosti neodnorodnyh tel. - M.: Izd-vo MGU, 1976.Ломакин В.А. Теория упругости неоднородных тел. - М.: Изд-во МГУ, 1976.Gorbachev V.I., Pobedrya B.E. Ob uprugom ravnovesii neodnorodnyh polos // Izvestiya ANГорбачев В.И., Победря Б.Е. Об упругом равновесии неоднородных полос // Известия АНSSSR, MTT, № 5, 1979.СССР, МТТ, № 5, 1979.Gorbachev V.I. Operatory koncentracii napryazhenij i deformacij v uprugih telah // V sb.Горбачев В.И. Операторы концентрации напряжений и деформаций в упругих телах // ВRaschety na prochnost’. -M.: Mashinostroenie, № 30, 1989.сб. Расчеты на прочность. -М.: Машиностроение, № 30, 1989.Gorbachev V. I., Gadelev R. R. Koncentraciya napryazhenij v uprugih telah s mnozhestvennymiГорбачев В. И., Гаделев Р. Р. Концентрация напряжений в упругих телах с множественными концентраторами // Вестник Московского университета. Серия 1: Математика. Механика. — 2014. — № 6. — С. 45–50koncentratorami // Vestnik Moskovskogo universiteta. Seriya 1: Matematika. Mekhanika. —Горбачев В.И. Вариант метода осреднения для решения краевых задач неоднородной упругости: дис. доктора физико-математических наук : 01.02.04 / МГУ им. М. В. Ломоносова.— № 6. — 45-–50 pp.- Москва, 1991.Gorbachev V.I. Variant metoda osredneniya dlya resheniya kraevyh zadach neodnorodnojuprugosti: dis. doktora fiziko-matematicheskih nauk : 01.02.04 / MGU im. M. V. Lomonosova.uprugosti: dis. doktora fiziko-matematicheskih nauk : 01.02.04 / MGU im. M. V. Lomonosova.- Moskva, 1991.- Moskva, 1991.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.