chebЧебышевский сборникChebyshevskii Sbornik2226-8383Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University10.22405/2226-8383-2023-24-1-228-236cheb-1486Research ArticleКраткие сообщенияО преобразованиях Бушмана — Эрдейи и Мелера — Фока, связанных с группой 𝑆𝑂0(3, 1)On Buschman–Erdelyi and Mehler–Fock transforms related to the group 𝑆𝑂0(3, 1)ШилинИлья АнатольевичShilinIlya Anatol’evichilyashilin@li.ruНациональный исследовательский университет «МЭИ»; Московский педагогический государственный университетРоссияNational Research University “MPEI”; Moscow Pedagogical State UniversityRussian Federation202325052023241228236Copyright © Шилин И.А., 20232023Шилин И.А.Shilin I.A.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.chebsbornik.ru/jour/article/view/1486

С помощью функционала, определенного на паре согласованных пространств представления связной подгруппы собственной группы Лоренца, вычислены формула преобразований Бушмана — Эрдейи функции, кратной функции Лежандра, и формула преобразования Мелера-Фока функции Лежандра обратного аргумента. Также выведено обобщение одной известной формулы для преобразования Мелера–Фока.

By using a functional defined on a pair of the assorted represention spaces of the connected subgroup of the proper Lorentz group, a formula for the Buschman–Erdelyi transform of the Legendre function (up to a factor) is derived. Also a formula for the Mehler–Fock transform of the Legendre function of an inverse argument is obtained. Moreover, a generalization of one known formula for the Mehler–Fock transform is derived.

преобразование Бушмана — Эрдейипреобразование Мелера–Фокафункция Лежандра.Buschman–Erdelyi transformMehler–Fock transformLegendre function.ReferencesГрадштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, рядов и произведений. М.: Наука,Gradshteyn, I. S. & Ryzhik, I. M., 2007, Tables of integrals, series, and products, AcademicPress, Amsterdam.Press, Amsterdam.Кратцер А., Франц В. Трансцендентные функции. М.: Из-во иностр. лит-ры, 1963.Kratzer, A. & Franz W., 1960, Transzendente Functionen, Academische Verlafsgesellschapt,Прудников А. П., Брычков Ю. А., Маричев О. И. Интегралы и ряды. ДополнительныеLeipzig.главы. М.: Наука, 1986.Pridnikov, A. P., Brychkov, Yu. A.& Marichev, O. I., 1986, Integrals and Series. Vol. 3: MoreПрудников А. П., Брычков Ю. А., Маричев О. И. Интегралы и ряды. Специальные функции. М.: Наука, 1983.Special Functions, Gordon & Breach Science Publishers, Amsterdam.Ситник С. М. Операторы преобразования Бушмана — Эрдейи, их классификация, основ-Pridnikov, A. P., Brychkov, Yu. A.& Marichev, O. I., 1986, Integrals and Series. Vol. 2: Specialные свойства и приложения // Научные ведомости БелГУ. Серия «Математика. Физика».Functions, Gordon & Breach Science Publishers, Amsterdam.Т. 39, № 11. С. 60–76.Sitnik, S. M. 2015, “Operators of Buschman–Erdelyi transforms, their classification, basicФок В. А. О представлении произвольной функции интегралом, включающим функцииproperties, and applications”, Sci. Notes Belgorod State Univ., Series “Mathematics. Physics”,Лежандра с комплексным индексом // Доклады Академии Наук СССР. 1943. Т. 39, № 7.vol. 39, no. 11, pp. 60–76. (In Russian.)С. 279–283.Fock, V. A., 1943, “On the representation of an arbitrary function by an integral involvingШилин И. А., Чой Дж. Метод континуальных теорем сложения и интегральные соотношения между функциями Kулона и функцией Аппеля 𝐹1 // Ж. вычисл. мат. и матем.Legendre’s function with a complex index”, Docklady Math., vol. 39, no. 7, pp. 279–283.физики. 2022. Т. 62, №9. С. 131–140.Shilin, I. A. & Choi J., 2022, “Method of continual addition theorems and integral relationsBuschman R. G. An inversion integral for a Legendre transformation // American Math.between the Coulomb functions and the Appell function 𝐹1”, Comp. Math. & Mathem. Phys.,Monthly. 1962. V. 69, № 4. P. 288–289.vol. 62, no. 9, pp. 1486–1495.Copson E. T. On a singular boundary value problem for an equation of hyperbolic type //Buschman, R. G., 1962, “An inversion integral for a Legendre transformation”, American Math.Rational Mech. Analysis. 1957. V. 1. P. 349–356.Monthly, vol. 69, no. 4, pp. 288–289.Erdelyi A. An integral equation involving Legendre functions // J. SIAM. 1964. V. 12, № 1.Copson, E. T., 1957, “On a singular boundary value problem for an equation of hyperbolicP. 15–30.type”, Rational Mech. Analysis, vol. 1, pp. 349–356.Mehler F. G. Ueber eine mit den Kugel- und cylinderfunctionen verwandte function und ihreErdelyi, A. 1964, “An integral equation involving Legendre functions”, J. SIAM, vol. 12, no. 1,anwendung in der theorie elektricitatatsvertheilung // Math. Annalen. 1881. V. 18, № 2. P. 161–pp.. 15–30.Mehler, F. G., 1881, “Ueber eine mit den Kugel- und cylinderfunctionen verwandte functionMehler, F. G., 1881, “Ueber eine mit den Kugel- und cylinderfunctionen verwandte functionRosenthal P. On an inversion theorem for the general Mehler-Fock transform pair // Pacific J.und ihre anwendung in der theorie elektricitatatsvertheilung”, Math. Annalen, vol 18, no. 2,Math. 1974. V. 52, № 2. P. 539–545.pp. 161–194.Shilin I. A., Choi J. On some relations between hyper Bessel–Clifford, Macdonald and MeijerRosenthal, P., 1974, “On an inversion theorem for the general Mehler-Fock transform pair”,functions and hyper Hankel–Clifford integrsl transforms. Int. Transforms. Spec. Func. 2023.Pacific J. Math., vol. 52, no. 2, pp. 539–545.doi.org/10.1080/10652469.2023.2191320.Shilin, I. A. & Choi J., 2023, “On some relations between hyper Bessel–Clifford, Macdonald andShilin I. A., Choi J. Maximal subalgebras in so(2, 1), addition theorems and Bessel–CliffordMeijer functions and hyper Hankel–Clifford integrsl transforms”. Int. Transforms. Spec. Func.functions // J. Analysis. 2023. Vol. 31. № 2. pp. 719-732.doi.org/10.1080/10652469.2023.2191320.Sneddon I. N. The Use of Integral Transforms. N. Y.: McGraw-Hill, 1972.Shilin, I. A. & Choi J., 2023, “Maximal subalgebras in so(2, 1), addition theorems and Bessel–Yakubovich S. B. Index transforms. Singapore: World Scientific, 1996.Clifford functions”, J. Analysis„ Vol. 31. № 2. pp. 719-732.Sneddon, I. N., 1972, The Use of Integral Transforms, McGraw-Hill, New York.Sneddon, I. N., 1972, The Use of Integral Transforms, McGraw-Hill, New York.Yakubovich, S. B., 1996, Index transforms, World Scientific, Singapore.Yakubovich, S. B., 1996, Index transforms, World Scientific, Singapore.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.