chebЧебышевский сборникChebyshevskii Sbornik2226-8383Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University10.22405/2226-8383-2023-24-1-203-212cheb-1483Research ArticleКраткие сообщенияКогомологии де Рама алгебры полиномиальных функций на симплициальном комплексеThe de Rham cohomology of the algebra of polynomial functions on a simplicial complexБасковИгорь СергеевичBaskovIgor Sergeevichbaskovigor@pdmi.ras.ruМатематический институт им. В. А. Стеклова РАНРоссияSteklov Mathematical Institute of Russian Academy of SciencesRussian Federation202325052023241203212Copyright © Басков И.С., 20232023Басков И.С.Baskov I.S.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.chebsbornik.ru/jour/article/view/1483

Мы рассматриваем алгебру 𝐴0(𝑋) полиномиальных функций на симплициальном комплексе 𝑋, которая является компонентой степени 0 введенной Сулливаном dg-алгебры 𝐴∙(𝑋) полиномиальных форм. Все рассматриваемые алгебры над произвольным полем 𝑘 характеристики 0.Нашей целью является вычисление когомологий де Рама алгебры 𝐴0(𝑋), то есть когомологий универсальной dg-алгебры Ω∙𝐴0(𝑋). Имеется канонический морфизм dg-алгебр 𝑃 : Ω∙𝐴0(𝑋) → 𝐴∙(𝑋). Мы доказываем, что морфизм 𝑃 является квазиизоморфизмом. Таким образом, когомологии де Рама алгебры 𝐴0(𝑋) канонически изоморфны когомологиям симлициального комплекса 𝑋 с коэффициентами в поле 𝑘. Более того, для 𝑘 = Q, dg-алгебра Ω∙𝐴0(𝑋) служит моделью симплициального комплекса 𝑋 в смысле рациональной теории гомотопий. Наш результат показывает, что для алгебры 𝐴0(𝑋) верно утверждение теоремы сравнения Гротендика (доказанной им для гладких алгебр).Для доказательства мы рассматриваем резольвенты Чеха, ассоциированные с покрытием симплициального комплекса звездами вершин.Ранее Кан — Миллер доказали, что морфизм 𝑃 сюръективен, а также описали его ядро. Другое описание ядра дали Сулливан и Феликс — Джессап — Паран.

We consider the algebra 𝐴0(𝑋) of polynomial functions on a simplicial complex 𝑋. The algebra 𝐴0(𝑋) is the 0th component of Sullivan’s dg-algebra 𝐴∙(𝑋) of polynomial forms on 𝑋.All algebras are over an arbitrary field 𝑘 of characteristic 0.Our main interest lies in computing the de Rham cohomology of the algebra 𝐴0(𝑋), that is, the cohomology of the universal dg-algebra Ω∙𝐴0(𝑋). There is a canonical morphism of dgalgebras 𝑃 : Ω∙𝐴0(𝑋) → 𝐴∙(𝑋). We prove that 𝑃 is a quasi-isomorphism. Therefore, the de Rham cohomology of the algebra 𝐴0(𝑋) is canonically isomorphic to the cohomology of the simplicial complex 𝑋 with coefficients in 𝑘. Moreover, for 𝑘 = Q the dg-algebra Ω∙𝐴0(𝑋) is a model of the simplicial complex 𝑋 in the sense of rational homotopy theory. Our result shows that for the algebra 𝐴0(𝑋) the statement of Grothendieck’s comparison theorem holds (provedby him for smooth algebras).In order to prove the statement we consider ˇCech resolution associated to the cover of the simplicial complex by the stars of the vertices.Earlier, Kan–Miller proved that the morphism 𝑃 is surjective and gave a description of its kernel. Another description of the kernel was given by Sullivan and F´elix–Jessup–Parent.

когомологии де Рама алгебрыуниверсальная dg-алгебраалгебра полиномиальных функцийdg-алгебра полиномиальных формрациональная теория гомотопий.algebraic de Rham cohomologyuniversal dg-algebraalgebra of polynomial functionsdg-algebra of polynomial formsrational homotopy theory.Данная работа была поддержана Санкт-Петербургским международным математическим Институтом имени Леонарда Эйлера, грантовое соглашение NN 075–15–2019–1620 от 08.11.2019 и 075-15-2022-289 от 06.04.2022.ReferencesArapura, Donu and Kang, Su-Jeong, K¨ahler–de Rham cohomology and Chern classes // CommunicationsArapura, Donu and Kang, Su-Jeong, 2011, “K¨ahler–de Rham cohomology and Chern classes”in Algebra 2011. Vol. 39, № 4. P. 1153-1167.// Communications in Algebra. Vol. 39, № 4. pp. 1153–1167.Baskov, I., The de Rham cohomology of soft function algebras // preprint 2022, https://Baskov, I., 2022, “The de Rham cohomology of soft function algebras” // preprint, https://arxiv.org/abs/2208.11431.arxiv.org/abs/2208.11431.Billera, Louis J., The algebra of continuous piecewise polynomials // Advances in MathematicsBillera, Louis J., 1989, “The algebra of continuous piecewise polynomials” // Advances inVol. 76, № 2. P. 170-183.Mathematics. Vol. 76, № 2. pp. 170–183.Bott, Raoul and Tu, Loring W., Differential forms in algebraic topology // Springer 1982.Bott, Raoul and Tu, Loring W., 1982, “Differential forms in algebraic topology” // Springer.Bousfield, Aldridge Knight and Gugenheim, Victor K.A.M., On PL De Rham theory andBousfield, Aldridge Knight and Gugenheim, Victor K.A.M., 1976, “On PL De Rham theoryrational homotopy type // Memoirs American Mathematical Soc. 1976. Vol. 179.and rational homotopy type” // Memoirs American Mathematical Soc.. Vol. 179.F´elix, Yves and Halperin, Stephen and Thomas, Jean-Claude, Rational homotopy theory //F´elix, Yves and Halperin, Stephen and Thomas, Jean-Claude, 2012, “Rational homotopy theory”Springer 2012.// Springer.F´elix, Yves and Jessup, Barry and Parent, Paul-Eug`ene, The combinatorial model for theF´elix, Yves and Jessup, Barry and Parent, Paul-Eug`ene, 2009, “The combinatorial model forSullivan functor on simplicial sets // Journal of Pure and Applied Algebra 2009. Vol. 213, №the Sullivan functor on simplicial sets” // Journal of Pure and Applied Algebra. Vol. 213, № 2.P. 231-240.pp. 231–240.G´omez, Francisco, Simplicial types and polynomial algebras // Archivum Mathematicum 2002.G´omez, Francisco, 2002, “Simplicial types and polynomial algebras” // Archivum Mathematicum.Vol. 38, № 1. P. 27-36.Vol. 38, № 1. pp. 27–36.Griffiths, Phillip and Morgan, John, Rational Homotopy Theory and Differential Forms //Griffiths, Phillip and Morgan, John, 1981, “Rational Homotopy Theory and Differential Forms”Birkh¨auser 1981.// Birkh¨auser.Grothendieck, Alexander, On the de Rham cohomology of algebraic varieties // PublicationsGrothendieck, Alexander, 1966, “On the de Rham cohomology of algebraic varieties” //Math´ematiques de l’IH´ES, 1966. Vol. 29, № 1. P. 95-103.Publications Math´ematiques de l’IH ´ES. Vol. 29, № 1. pp. 95–103.Hess, Kathryn, Rational Homotopy Theory //Interactions between Homotopy Theory andHess, Kathryn, 2007, “Rational Homotopy Theory” // Interactions between Homotopy TheoryAlgebra: Summer School on Interactions Between Homotopy Theory and Algebra, Universityand Algebra: Summer School on Interactions Between Homotopy Theory and Algebra, Universityof Chicago, July 26-August 6, 2004, Chicago, Illinois. – 2007. – P. 175-202.of Chicago, July 26-August 6, 2004, Chicago, Illinois. – pp. 175–202.Kan, Daniel M. and Miller, Edward Y., Sullivan’s de Rham complex is definable in terms of itsKan, Daniel M. and Miller, Edward Y., 1976, “Sullivan’s de Rham complex is definable in terms-forms // Proceedings of the American Mathematical Society 1976. Vol. 57, № 2. P. 337–339.of its 0-forms” // Proceedings of the American Mathematical Society. Vol. 57, № 2. pp. 337–339.Kunz, Ernst, K¨ahler differentials // 1986, Friedr. Vieweg & Sohn.Kunz, Ernst, 1986, “K¨ahler differentials” // Friedr. Vieweg & Sohn.Sullivan, Dennis, Differential forms and the topology of manifolds // Manifolds Tokyo 1973. P.Sullivan, Dennis, 1973, “Differential forms and the topology of manifolds” // Manifolds Tokyo.-49.pp. 37–49.Sullivan, Dennis, Infinitesimal computations in topology // Publications Math´ematiques deSullivan, Dennis, 1977, “Infinitesimal computations in topology” // Publications Math´ematiquesl’IH´ES 1977. Vol. 47, P. 269–331.de l’IH ´ES. Vol. 47, pp. 269–331.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.