chebЧебышевский сборникChebyshevskii Sbornik2226-8383Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University10.22405/2226-8383-2023-24-1-194-202cheb-1482Research ArticleКраткие сообщенияКритерий однозначной разрешимости спектральной задачи Пуанкаре для одного класса многомерных гиперболических уравненийA criterion for the unique solvability of the spectral Poincare problem for a class of multidimensional hyperbolic equationsАлдашевСерик АймурзаевичAldashevSerik Aimurzaevich

доктор физико-математических наук, профессор, ГНС

doctor of physics and mathematics, professor, MSW

aldash51@mail.ruИнститут математики и математического моделирования МОН РК КазахстанInstitute of Mathematics and Mathematical Modeling of MES RKKazakhstan202325052023241194202Copyright © Алдашев С.А., 20232023Алдашев С.А.Aldashev S.A.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.chebsbornik.ru/jour/article/view/1482

Двумерные спектральные задачи для гиперболических уравнений хорошо изучены, а их многомерные аналоги, насколько известно автору, исследованы мало. Это связано с тем, что в случае трех и более независимых переменных возникают трудности принципиального характера, так как весьма привлекательный и удобный метод сингулярноых интегральных уравнений, применяемый для двумерных задач, здесь не может быть использован из-за отсутствия сколько-нибудь полной теории многомерных сингулярных интегральных уравнений. Теория многомерных сферических функций, напротив, достаточно и полно изучена. Эти функции имеют важное приложение в математической и теоретической физике, и в теории многомерных сингулярных уравнений. В цилиндрической области евклидовапространства для одного класса многомерных гиперболических уравнений рассматривается спектральная задача Пуанкаре. Решение ищется в виде разложения по многомерным сферическим функциям. Доказаны теоремы существования и единственности решения.Получены условия однозначной разрешимости поставленной задачи, которые существенно зависят от высоты цилиндра.

Two-dimensional spectral problems for hyperbolic equations are well studied, and their multidimensional analogs, as far as the author knows, have been little studied. This is due to the fact that in the case of three or more independent variables there are difficulties ofa fundamental nature, since the very attractive and convenient method of singular integral equations used for two-dimensional problems cannot be used here due to the absence of any complete theory of multidimensional singular integral equations. The theory of multidimensional spherical functions, on the contrary, has been adequately and fully studied. These functions have an important application in mathematical and theoretical physics, and in the theory of multidimensional singular equations. In the cylindrical domain of Euclidean space for a class of multidimensional hyperbolic equations, the Poincar? spectral problem is considered. The solution is sought as an expansion in multidimensional spherical functions. The existence and uniqueness theorems are proved. The conditions for the unique solvability of the problem, which significantly depend on the height of the cylinder, are obtained.

многомерное гиперболическое уравнениеспектральная задача Пуанкарецилиндрическая областьразрешимостькритерия.multidimensional hyperbolic equationPoincare spectral problemcylindrical domainsolvabilitycriteria.ReferencesБицадзе А.В. Уравнения смешанного типа,М.: Изд. АН СССР, 1959 - 164с.Bitsadze A. V.,1959, “Equations of mixed type” // Academy of Sciences USSR, M .: Pub. 164Нахушев А.М. Задачи со смещением для уравнения в частных производных, М.: Наука,p.- 287 с.Nakhushev A. M., 2006, “Tasks with an offset for an equation in private derivatives” // Moscow:Михлин С.Г. Многомерные сингулярные интегралы и интегральные уравнения, М.: Физ-Science 287 p.матгиз, 1962 - 254 с.Mikhlin S. G., 1962, “Multidimensional singular integrals and integral equations” Moscow:Алдашев С.А. Критерий однозначной разрешимости спектральной задачи Пуанкаре в ци-Fizmatgiz, 254 p.линдрической области для многомерного волнового уравнения//Материалы I Междуна-Aldashev S. A., 2011, “Criterion for unique solvability the Poincar? spectral problem inродной конференции молодых ученых("Матем. моделирование фрактальных процессов,a cylindrical domain for of the multidimensional wave equation” // Proceedings of the Iродственные проблемы анализа и информатики"), Нальчик: НИИ ПМА КБНЦ РАН, 2011-International Conference of Mol. Scientists (“Mat. Simulation of fractal processes, relatedс.35-39.problems of analysis and informatics ”), Nalchik: Scientific Research Institute PMA KBNCАлдашев С.А. Краевые задачи для многомерных гиперболических и смешанных урав-RAS, pp.35–39.нений. Алматы: Гылым, 1994 - 170с.Aldashev S. A., 1994, “Boundary value problems for multidimensional hyperbolic and mixedАлдашев С.А. О задачах Дарбу для одного класса многомерных гиперболических урав-equations” // Almaty: Gylym, 170 p.нений // Дифференц. уравнения, 1998, т.34, N.1 - с.64-68.Aldashev S. A., 1998, “On Darboux problems for one class multidimensional hyperbolicКамке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям, М.: Наука, 1965equations” // Differ. the equations, Vol. 34, № 1 - pp. 64–68.- 703 с.Kamke E., 1965, Handbook of ordinary differential equations, M .: Science, 703 p.Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции, т.2, М.: Наука, 1974 - 295 с.Bateman G., Erdei A., 1974, Higher Transcendental Functions, V. 2, M .: Science, 295 p.Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа,Kolmogorov A. N., Fomin S. V., 1976, Elements of the theory of functions and functionalМ.: Наука, 1976 - 543 с.analysis, M .: Science, 543 p.Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики, М.:Наука, 1966 - 724с.Tikhonov A. N., Samara A. A., 1966, Equations mathematical physics, M.: Science, 724 p.Алдашев С.А. Корректность задачи Пуанкаре в цилиндрической области для много-Aldashev S. A., 2013, “The correctness of the Poincare problem in cylindrical domain for manyмерных гиперболических уравнений с волновым оператором//Журнал "Вычислительной-dimensional hyperbolic equations with the wave operator” // Journal “Computational andи прикладной математик КНУ им. Т.Шевченко, Киев, 2013,№ 4(14)-с.68-76.Applied Mathematician”, KNU. T. Shevchenko, Kiev, № . 4 (14), pp.68–76.Смирнов В.И. Курс высшей математики, Т.4, r.2, М.: Наука, 1981-550с.Smirnov V. I.,1981, The course of higher mathematics, Vol.4, r.2, M .: Science, 550 p.Алдашев С.А. Корректность задачи Пуанкаре в цилиндрической области для много-Aldashev S. A., 2010, “The correctness of the Poincar problem in cylindrical domain for aмерного волнового уравнения // Современная математика и ее приложения. Уравнения сmulti-dimensional wave equation” // Modern mathematics and its applications. Equations withчастными производными, 2010, т.67-с. 28-32.quotients Derivatives, Vol.67, pp. 28–32.Aldashev S.A. The well-posedness of the Poincare problem in a cylindrical domain for the higherAldashev S. A., 2011, “The well-posedness of the Poincare problem in a cylindrical domain for- dimensional wave equation// Journal of Mathematical sciences, 2011, vol.173, № 2-p.150-154.the higher - dimensional wave equation” // Journal of Mathematical sciences, Vol.173, № 2, pp.–154.–154.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.