chebЧебышевский сборникChebyshevskii Sbornik2226-8383Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University10.22405/2226-8383-2023-24-1-182-193cheb-1481Research ArticleСтатьиArticleО наилучшем полиномиальном приближении функций в пространстве Харди 𝐻𝑞,𝑅, (1 ⩽ 𝑞 ⩽ ∞, 𝑅 ⩾ 1)On the best polynomial approximation of functions in the Hardy space 𝐻𝑞,𝑅, (1 ⩽ 𝑞 ⩽ ∞, 𝑅 ⩾ 1)ШабозовМирганд ШабозовичShabozovMirgand Shabozovich

доктор физико-математических наук, профессор

doctor of physical and mathematical sciences, professor

shabozov@mail.ruЮсуповГулзорхон АмиршоевичYusupovGulzorkhon Amirshoevich

доктор физико-математических наук, доцент

doctor of physical and mathematical sciences, associateprofessor

yusufzoda.gulzorkhon@gmail.comТаджикский национальный университетТаджикистанTajik National UniversityTajikistanТаджикский государственный педагогический университет им. С. АйниТаджикистанTajik State S.Aini Pedagogical UniversityTajikistan202325052023241182193Copyright © Шабозов М.Ш., Юсупов Г.А., 20232023Шабозов М.Ш., Юсупов Г.А.Shabozov M.S., Yusupov G.A.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.chebsbornik.ru/jour/article/view/1481

В работе найдены точные неравенства между наилучшим полиномиальным приближением аналитических в круге 𝑈𝑅 :={︀𝑧 ∈ C, |𝑧| < 𝑅}︀, 𝑅 ⩾ 1 функций и усредненным модулем непрерывности угловых граничных значений производных 𝑚-го порядка. Для класса 𝑊(𝑚) 𝑞,𝑅 (𝑚 ∈ Z+, 1 ⩽ 𝑞 ⩽ ∞, 𝑅 ⩾ 1) функций 𝑓 ∈ 𝐻(𝑚) 𝑞,𝑅 , у которых производные 𝑚-го порядка 𝑓(𝑚) принадлежат пространству Харди 𝐻𝑞,𝑅 и удовлетворяют условию‖𝑓(𝑚)‖𝑞,𝑅 ⩽ 1, вычислены точные значения верхних граней наилучших приближений. Кроме того, для класса 𝑊(𝑚)𝑞,𝑅 (Φ), состоящих из всех функций 𝑓 ∈ 𝐻(𝑚) 𝑞,𝑅 , для которых прилюбом 𝑘 ∈ N, 𝑚 ∈ Z+, 𝑘 > 𝑚 усредненные модули непрерывности граничных значений производной 𝑚-го порядка 𝑓(𝑚), мажорируемые в системе точек {𝜋/𝑘}𝑘∈N заданной функцией Φ, удовлетворяют условию

$$∫︁(0, 𝜋/𝑘) 𝜔(︀𝑓^(𝑚), 𝑡)︀_(𝑞,𝑅) 𝑑𝑡 ⩽ Φ(𝜋/𝑘),$$

вычислены точные значения колмогоровских и бернштейновских 𝑛-поперечников в норме пространства 𝐻𝑞 (1 ⩽ 𝑞 ⩽ ∞).Полученные результаты обобщают некоторые результаты Л.В.Тайкова на классах аналитических функций в круге радиуса 𝑅 ⩾ 1.

 

Exact inequalities are found between the best polynomial approximation of functions analytics in the disk 𝑈𝑅 :={︀𝑧 ∈ C, |𝑧| < 𝑅}︀, 𝑅 ⩾ 1 and the averaged modulus of continuity angular boundary values of the 𝑚th order derivatives. For the class 𝑊(𝑚) 𝑞,𝑅 (𝑚 ∈ Z+, 1 ⩽ 𝑞 ⩽ ∞, 𝑅 ⩾ 1) of functions 𝑓 ∈ 𝐻(𝑚) 𝑞,𝑅 whose 𝑚-order derivatives 𝑓(𝑚) belong to the Hardy space 𝐻𝑞,𝑅 and satisfy the condition ‖𝑓(𝑚)‖𝑞,𝑅 ⩽ 1, the exact values of the upper bounds of the best approximations are calculated. Moreover, for the class 𝑊(𝑚) 𝑞,𝑅 (Φ), consisting of all functions 𝑓 ∈ 𝐻(𝑚) 𝑞,𝑅 , for which any 𝑘 ∈ N, 𝑚 ∈ Z+, 𝑘 > 𝑚 the averaged moduli of continuity of the boundary values of the 𝑚th order derivative 𝑓(𝑚), dominated in the system of points {𝜋/𝑘}𝑘∈Nby the given function Φ, satisfy the condition

$$∫︁(0, 𝜋/𝑘) 𝜔(︀𝑓^(𝑚), 𝑡)︀_(𝑞,𝑅) 𝑑𝑡 ⩽ Φ(𝜋/𝑘),$$

the exact values of the Kolmogorov and Bernstein 𝑛-widths are calculated in the norm of the space 𝐻𝑞 (1 ⩽ 𝑞 ⩽ ∞).The results obtained generalize some results of L.V.Taikov on classes of analytic functions in a circle of radius 𝑅 ⩾ 1.

наилучшее приближениепространство Хардимодуль непрерывностимажорирующая функция𝑛-поперечники.the best approximationHardy spacemodulus of continuitymajorizing function𝑛-widths.ReferencesТихомиров В.М. Поперечники множеств в функциональных пространствах и теория наи-Tikhomirov V.M. 1960, “Widths of sets in function spaces and the theory of best approximations”,лучших приближений // УМН. 1960. Т. 15. № 3. С. 81–120.Ukr. Matem. Journal, vol. 15. no 3. pp. 81–120.Тайков Л.В. О наилучшем приближении в среднем некоторых классов аналитическихTaikov L.V. 1967, “On the best average approximation of some classes of analytic functions”,функций // Матем. заметки. 1967. Т. 1. № 2. С. 155–162.Math. Notes, vol. 1, no 2, pp. 155–162.Бабенко К.И. О наилучших приближениях одного класса аналитических функций // Изв.Babenko K.I. 1958, “On the best approximations of a class of analytic functions”, Izv. AcademyАН СССР. Сер. матем. 1958. Т. 22. № 5. С. 631–640.of Sciences of the USSR. Ser. math., vol. 22, no 5, pp. 631–640.Тайков Л.В. Поперечники некоторых классов аналитических функций // Матем. заметки.Taikov L.V. 1977, “Widths of some classes of analytic functions”, Math. Notes, vol. 22, no 2,Т. 22. № 2. С. 285–295.pp. 285–295.Айнуллоев Н., Тайков Л.В. Наилучшее приближение в смысле А.Н. Колмогорова классовAinulloev N., Taikov L.V. 1986, “Best approximation in the sense of Kolmogorov of classes ofаналитических в единичном круге функций // Матем. заметки. 1986. Т. 40. № 3. С. 341–functions analytic in the unit disc”, Math. Notes, vol. 40, no 3, pp. 699–705.Taikov L.V. 1976, “Some exact inequalities in the theory of approximation of functions”, AnalysisTaikov L.V. 1976, “Some exact inequalities in the theory of approximation of functions”, AnalysisТайков Л.В. Некоторые точные неравенства в теории приближения функций // AnalysisMathematica., no 2, pp. 77–85.Mathematica. 1976. № 2. С. 77–85.Dveyrin M.Z. 1975, “Widths and 𝜀-entropy of classes of functions that are analytic in the unitДвейрин М.З. Поперечники и 𝜀-энтропия классов функций, аналитических в единичномcircle of functions”, Function theory, functional analysis and their applications, no 23, pp. 32–46.круге // Теория функций, функциональный анализ и их приложения. 1975. Т. 23. С. 32–46.Dveyrin M.Z., Chebanencko I.V. 1983, “On polynomial approximation in the weighted BanachДвейрин М.З., Чебаненко И.В. О полиномиальной аппроксимации в бановых простран-spaces of analytic functions”, Mapping theory and approximation of functions. Kiev: Nukovaствах аналитических функций // Теория отображений и приближение функций. Науковаdumka, pp. 62–73.думка. Киев. 1983. С. 63–73.Farkov Yu.A. 1990, “Widths of Hardy classes and Bergman classes on the ball in C𝑛”, UspekhiФарков Ю.А. Поперечники классов Харди и Бергмана в шаре из C𝑛 // УМН. 1990. Т. 45.Mat. Nauk, vol. 45, no 5(275), pp. 197–198.№ 5. С. 197–198.Farkov Yu.A. 1996, “𝑛-Widths, Faber expansion, and computation of analytic functions”,Farkov Yu.A. 𝑛-Widths, Faber expansion, and computation of analytic functions // Journal ofJournal of complexity., vol. 12, no 1, pp. 58–79.complexity. 1996. Vol. 12. № 1. PP. 58–79.Fisher S.D., Stessin M.I. 1991, “The 𝑛-width of the unit ball of 𝐻𝑞”, Journal of Approx. Theory.,Fisher S.D., Stessin M.I. The 𝑛-width of the unit ball of 𝐻𝑞 // Journal of Approx. Theory.vol. 67, no 3, pp. 347–356.Vol. 67. № 3. PP. 347–356.Pinkus A. 1985, “n-Widths in Approximation Theory”, Berlin: Springer-Verlag. Heidelberg. NewPinkus A. 𝑛-Widths in Approximation Theory. Berlin: Springer-Verlag. Heidelberg. New York.York. Tokyo, 252 p.Tokyo. 1985. 252 p.Vakarchuk S.B. 1990, “On the widths of certain classes of functions analytic in the unit disc. I”,Вакарчук С.Б. О поперечниках некоторых классов аналитических в единичном кругеUkr. Matem. Journal, vol. 42. no 7. pp. 873–881.функций. I // Укр. матем. журнал. 1990. Т. 42. № 7. С. 873–881.Vakarchuk S.B. 1990, “On the widths of certain classes of functions analytic in the unit disc.Вакарчук С.Б. О поперечниках некоторых классов аналитических в единичном кругеII”, Ukr. Matem. Journal, vol. 42. no 8. pp. 1019–1026.функций. II // Укр. матем. журнал. 1990. Т. 42. № 8. С. 1019–1026.Vakarchuk S.B. 2002, “Exact values of the widths of classes of functions analytic in the circleВакарчук С.Б. Точные значения поперечников классов аналитических в круге функций иand the best linear methods of approximation”, Math. Notes, vol. 72, no 5, pp. 665–669.наилучшие линейные методы приближения // Матем. заметки. 2002. Т.72. № 5. С. 665–669.Vakarchuk S.B. 2004, “On some extremal problems in the theory of approximations in theВакарчук С.Б. О некоторых экстремальных задачах теории приближений в комплекснойcomplex plane”, Ukr. Matem. Journal, vol. 56. no 9. pp. 1155–1171.плоскости // Укр. матем. журнал. 2004. Т. 56. № 9. С. 1155–1171.Shabozov M.Sh., Shabozov O.Sh. 2000, “Widths of some classes of analytic functions in theШабозов М.Ш., Шабозов О.Ш. Поперечники некоторых классов аналитических функцийHardy space 𝐻2”, Math. Notes, vol. 68, no 5, pp. 796–800.в пространстве Харди 𝐻2 // Матем. заметки. 2000. Т. 68. № 5. С. 796–800.Shabozov M.Sh., Yusupov G.A. 2002, “Best approximation and values of widths of some classesШабозов М.Ш., Юсупов Г.А. Наилучшее приближение и значения поперечников некото-of analytic functions”, Dokl. RAN, vol. 383, no 2, pp. 171–174.рых классов аналитических функций // Докл. РАН. 2002. Т. 382. № 6. С.747–749.Vakarchuk S.B., Shabozov M.Sh. “2010, “The widths of classes of analytic functions in a disc”,Вакарчук С.Б., Шабозов М.Ш. О поперечниках классов функций, аналитических в кругеMat. Sbornik, vol. 201, no 8, pp. 3–22.// Матем. сборник. 2010. Т. 201. № 8. С. 3–22.Sigmund A. 1965, “Trigonometric series”, Moscow: Mir, vol. 1, 615 p.Зигмунд А. Тригонометрические ряды. М.: Мир. 1965. Т.1. 615 с.Tikhomirov V. M. 1976, “Some problems of theory of approximation”, Moscow: MSU, 304 p.Тихомиров В.М. Некоторые вопросы теории приближений. М. Изд-во МГУ. 1976. 325 с.Taikov L.V. 1977, “Best approximations of differentiable functions in the metric of the spaceТайков Л.В. Наилучшие приближения дифференцируемых функций в метрике простран-𝐿2”, Math. Notes, vol. 22, no 4, pp. 535–542.ства 𝐿2 // Матем. заметки. 1977. Т. 22. № 4. С. 535–542.ства 𝐿2 // Матем. заметки. 1977. Т. 22. № 4. С. 535–542.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.