кандидат физико-математических наук, профессор
candidate of physical and mathematical sciences, professor
магистрант
undergraduate student
Доказано, что на групповой модели вещественного расширения плоскости Лобачевcкого H^2×R существует левоинвариантная контактная метрическая структура (𝜂, 𝜉, 𝜙, 𝑔), риманова метрика которой отлична от метрики прямого произведения. Ограничение метрики 𝑔 на контактное распределение является метрикой плоскости Лобачевского и вместе с вполне неголономным контактным распределением определяет на H^2 × R субриманову структуру. Найденная почти контактная метрическая структура является нормальной и, следовательно, сасакиевой. Группа Ли автоморфизмов этой структуры имеет максимальнуюразмерность. Найдены базисные векторные поля её алгебры Ли. Кроме связности Леви-Чивита ∇ рассматривается контактная метрическая связность ˜∇ с кососимметрическим кручением, которая, как и связность Леви-Чивита, также инварианта относительно группы автоморфизмов. Структурные тензоры 𝜂, 𝜉, 𝜙, 𝑔, тензор кручения ˜ 𝑆 и тензор кривизны ˜𝑅 данной связности ковариантно постоянны. Тензор кривизны ˜𝑅 связности ˜∇ обладает необходимыми свойствами, позволяющими ввести понятие секционной кривизны. Установлено, что секционная кривизна ˜𝑘 принадлежит числовому отрезку [−2, 0]. Используя поле ортонормированных реперов, адаптированных к контактному распределению, найдены коэффициенты усечённой связности и дифференциальные уравнения её геодезических.Доказано, что контактные геодезические связностей ∇ и ˜∇ совпадают с геодезическими усечённой связности, т.е. обе связности согласованы с контактным распределением. Это означает, что через каждую точку в каждом контактном направлении проходит единственная контактная геодезическая.
It has been proved that there is left-invariant contact metric structure (𝜂, 𝜉, 𝜙, 𝑔) whose Riemannian metric is different from the metric of the direct product on the group model of the real extension of the Lobachevsky plane H^2 × R. The restriction of the metric 𝑔 to the contact distribution is the metric of the Lobachevsky plane and, together with a completely nonholonomic contact distribution, defines a sub-Riemann structure on H^2 × R.The found almost contact metric structure is normal and therefore Sasakian. The lie group of automorphisms of this structure has maximum dimension. The basis vector fields of its Lie algebra are found. In addition to the Levi-Civita connection ∇, we consider a contact metricconnection ˜∇ with skew-symmetric torsion, which, like the Levi-Civita connection, is also invariant under the automorphism group. The structure tensors 𝜂, 𝜉, 𝜙, 𝑔, the torsion tensor˜ 𝑆 and the curvature tensor ˜𝑅of a given connection are covariantly constant. The curvature tensor ˜𝑅 of the connection ˜∇ has the necessary properties to introduce the concept of sectional curvature. It is established that the sectional curvature ˜𝑘 belongs to the numerical segment [−2, 0]. Using the field of orthonormal frames adapted to the contact distribution, the coefficients of the truncated connection and the differential equations of its geodesics are found. It has been proved that the contact geodesics of the connections ∇ and ˜∇ coincide with the geodesics of truncated connection, that is, both connections are compatible with the contact distribution.This means that there is only one contact geodesic through each point in each contact direction.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.