chebЧебышевский сборникChebyshevskii Sbornik2226-8383Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University10.22405/2226-8383-2023-24-1-69-88cheb-1474Research ArticleСтатьиArticleПервый класс Аппельрота псевдоевклидовой системы КовалевскойFirst Appelrot class of pseudo-Euclidean Kovalevskaya systemКибкалоВладислав АлександровичKibkaloVladislav Alexandrovich

кандидат физико-математических наук

candidate of physical and mathematical sciences

slava.kibkalo@gmail.comМосковский государственный университет им. М. В. Ломоносова; Московский центр фундаментальной и прикладной математикиРоссияLomonosov Moscow State University; Moscow Center for Fundamental and Applied MathematicsRussian Federation2023240520232416988Copyright © Кибкало В.А., 20232023Кибкало В.А.Kibkalo V.A.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.chebsbornik.ru/jour/article/view/1474

Для интегрируемого псевдоевклидова аналога волчка Ковалевской изучены свойства системы при нулевом уровне дополнительного первого интеграла Ковалевской. Класс движений классического волчка при том же условии называют также первым классом Аппельрота или классом Делоне. Описан класс гомеоморфности каждого слоя, классы послойной гомеоморфности слоения в окрестности бифуркационного слоя (аналог 2-атома Фоменко) и на всем двумерном пересечении уровня 𝐾 = 0 и симплектического листа скобки Пуассона. Показано наличие некомпактных одномерных слоев Лиувилля, некритических перестроек компактных и некомпактных слоев в данной интегрируемой системе. Также изучен вопрос невырожденности (по Ботту) всех точек уровня 𝐾 = 0 и доказано, что критическое множество псевдоевклидова аналога совпадает с таковым для классического волчка.

In paper, properties of an integrable pseudo-Euclidean analogue of the Kovalevskaya top are studied for the zero level of the additional first Kovalevskaya integral. The class of motions of a classical top under the same condition is also called the first Appelrot class or the Delaunay class. We describe the homeomorphism class of each fiber, the fiberwise homeomorphism classes of the foliation in a neighborhood of each bifurcation fiber (i.e. analogues of Fomenko 2-atoms) and on the two-dimensional intersection of the level 𝐾 = 0 and each nondegenerate symplectic leaf of the Poisson bracket. It is proved that non-compact one-dimensional Liouville fibers, noncriticalbifurcations of compact and non-compact fibers appear in this integrable system. The non-degeneracy problem (in the Bott sense) for all points of the 𝐾 = 0 level is also studied, and it is proved that the critical sets of the of classical Kovalevskaya top and its pseudo-Euclidean analogue coincides.

гамильтонова системаинтегрируемостьдинамика твердого теласлоение Лиувилляпсевдоевклидово пространствобифуркационная диаграммаособенностьтопологические инвариант.Hamiltonian systemintegrabilityrigid body dynamicsLiouville foliationpseudo-Euclidean spacebifurcation diagramsingularitytopological invariant.Исследование выполнено за счет гранта РФФИ (проект 20-31-90114).ReferencesБорисов А. В., Мамаев И. С. Классическая динамика в неевклидовых пространствах —Borisov, A. V. & Mamaev, I. S. 2004, Classical dynamics in non-Euclidean spaces — Moscow,Москва, Ижевск: РХД, 2004.Izhevsk: R.Ch.D. (in Russian)Borisov A. V., Mamaev I. S. Rigid body dynamics in non-Euclidean spaces // Rus. J. of Math.Borisov, A. V. & Mamaev, I. S. 2016, “Rigid body dynamics in non-Euclidean spaces”, Rus. J.Phys. 2016. Vol. 23, № 4. P. 431-454.of Math. Phys., vol. 23, no. 4, pp. 431-454.Kowalewski S. Sur le probl´eme de la rotation d’un corps solide autour d’un point fixe // ActaKowalewski, S. 1889, “Sur le probl´eme de la rotation d’un corps solide autour d’un point fixe”,Mathematica. 1889. Vol. 12, P. 177-232.Acta Mathematica, vol. 12, pp. 177-232.Соколов С. В. Интегрируемый случай Ковалевской в неевклидовом пространстве: разделение переменных // Труды МАИ. 2018. Т. 100, С. 1-13.Sokolov, S.V˙ . 2018, “The integrable case of Kovalevskaya in a non-Euclidean spase: separationАппельрот Г. Г. Не вполне симметричные гироскопы // Движение твердого тела вокругof variables”, Trydi MAI., vol. 100, pp. 1-13.неподвижной точки. — М., 1940.Appelrot, G. G. 1940, “Ne vpolne simmetrichnye tyazhelye giroskopy”, Dvizhenie tverdogo telaДелоне Н. Б. К вопросу о геометрическом истолковании интегралов движения твердогоvokrug nepodvizhnoi tochki, — Izd-vo AN SSSR, M.–L., pp. 61-157.тела около неподвижной точки, данных С.В. Ковалевской // Матем. сб. 1892. Т. 16, № 2.Delaunay, N. B. 1892, “Zur Frage von der geometrischen Deutung der Integrale von S.С. 346-351.Kowalevski bei der Bewegung eines starren K¨𝑜rpers um einen festen Punkte”, Sb. Math., vol.Smale S. Topology and Mechanics: 1 // Invent. Math. 1970. Vol. 10, № 4. P. 305-331., no. 2, pp. 346-351.Харламов М. П. Топологический анализ интегрируемых задач динамики твердого тела,Smale, S. 1970, “Topology and Mechanics: 1”, Invent. Math., vol. 10, no. 4, pp. 305-331.Ленинград: Изд-во Ленинградского Университета 1988.Kharlamov, M.P. 1988, Topological analysis of integrable problems of rigid body dynamics, LSUФоменко А.Т. Топология поверхностей постоянной энергии некоторых интегрируемых гамильтоновых систем и препятствия к интегрируемости // Изв. АН СССР. Сер. матем.,Publ., Leningrad, 200 pp.Т. 50, № 6. С. 1276-1307.Fomenko, A. T. 1987, “The topology of surfaces of constant energy in integrable HamiltonianФоменко А.Т., Цишанг Х. Топологический инвариант и критерий эквивалентности ин-systems, and obstructions to integrability”, Math. USSR-Izv., vol. 29, no. 3, pp. 629-658.тегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенями свободы // Изв. АН СССР. Сер.Fomenko, A. T. & Zieschang, H. 1991, “A topological invariant and a criterion for the equivalenceматем. 1990. Т. 54, № 3. С. 546-575.of integrable Hamiltonian systems with two degrees of freedom”, Math. USSR-Izv., vol. 36, no.Болсинов А. В., Матвеев С. В., Фоменко А.Т. Топологическая классификация интегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенями свободы. Список систем малой сложности, pp. 567-596.// УМН. 1990. Т. 45, № 2. С. 49-77.Bolsinov, A. V., Matveev, S.V. & Fomenko, A. T. 1990, “Topological classification of integrableБолсинов А. В., Фоменко А.Т. Интегрируемые гамильтоновы системы. Геометрия, топология, классификация. — Ижевск: РХД, т. 1, 2. 1999.Hamiltonian systems with two degrees of freedom. List of systems of small complexity”, RussianOshemkov A. A. Fomenko invariants for the main integrable cases of rigid body motionMath. Surveys, vol. 45, no. 2, pp. 59-94.equations, AMS, Vol. 4. P. 67-146. (1991)Bolsinov, A. V. & Fomenko, A. T. 2004, Integrable Hamiltonian systems: geometry, topology,Bolsinov A. T., Richter P., Fomenko A. T. The method of loop molecules and the topology ofclassification, Chapman & Hall /CRC, Boca Raton, London, N.Y., Washington.the Kovalevskaya top // Sb. Math. 2000. Vol. 191, № 2. P. 151-188.Oshemkov, A. A. 1991, “Fomenko invariants for the main integrable cases of rigid body motionMorozov P. V. The Liouville classification of integrable systems of the Clebsch case // Sb. Math.equations”, AMS, vol. 4. pp. 67-146.Vol. 193, № 10. P. 1507-1533.Bolsinov, A. T., Richter, P. & Fomenko, A. T. 2000, “The method of loop molecules and theMorozov P. V. Topology of Liouville foliations in the Steklov and the Sokolov integrable casestopology of the Kovalevskaya top”, Sb. Math., vol. 191, no. 2, pp. 151-188.of Kirchhoff’s equations // Sb. Math. 2004. Vol. 195, № 3. P. 369-412.Morozov, P. V. 2002, “The Liouville classification of integrable systems of the Clebsch case”, Sb.Logacheva N. S. Classification of nondegenerate equilibria and degenerate 1-dimensional orbitsMath., vol. 193, no. 10, pp. 1507-1533.of the Kovalevskaya-Yehia integrable system // Sb. Math. 2012. Vol. 203, № 1. P. 28-59.Morozov, P. V. 2004, “Topology of Liouville foliations in the Steklov and the Sokolov integrableMaslov V.P., Shafarevich A. I. Fomenko invariants in the asymptotic theory of thecases of Kirchhoff’s equations”, Sb. Math., vol. 195, no. 3, pp. 369-412.Navier–Stokes equations // J. Math. Sci. 2017. Vol. 225, № 4. 666-680.Logacheva, N. S. 2012, “Classification of nondegenerate equilibria and degenerate 1-dimensionalRamodanov S. M., Sokolov S. V. Dynamics of a Circular Cylinder and Two Point Vortices in aorbits of the Kovalevskaya-Yehia integrable system”, Sb. Math., vol. 203, no. 1, pp. 28-59.Perfect Fluid // Regul. Chaotic Dyn. 2021. Vol. 26, № 6. P. 675-691.Maslov V.P. & Shafarevich, A. I. 2017, “Fomenko invariants in the asymptotic theory of thePalshin G.P. On noncompact bifurcation in one generalized model of vortex dynamics // Theor.Navier–Stokes equations”, J. Math. Sci., vol. 225, no. 4, pp. 666-680.Math. Phys. 2022. Vol. 212, № 1. P. 972-983. https://doi.org/10.1134/S0040577922070078Ramodanov S. M. & Sokolov, S. V. 2021, “Dynamics of a Circular Cylinder and Two PointHaghighatdoost G., Oshemkov A. A. The topology of Liouville foliation for the SokolovVortices in a Perfect Fluid”, Regul. Chaotic Dyn., vol. 26, no. 6, pp. 675-691.integrable case on the Lie algebra so(4) // Sb. Math. 2009. Vol. 200, № 6. 899-921.Palshin, G.P. 2022, “On noncompact bifurcation in one generalized model of vortex dynamics”,Новиков Д. В. Топологические особенности интегрируемого случая Соколова на алгебреTheor. Math. Phys., vol. 212, no. 1, pp. 972-983. https://doi.org/10.1134/S0040577922070078Ли so(3,1) // Матем. сб. 2014. Т. 205, № 8. 41-66.Haghighatdoost, G. & Oshemkov, A. A. 2009, “The topology of Liouville foliation for the SokolovKomarov I.V. Kowalewski basis for the hydrogen atom // Theoret. and Math. Phys. 1981. Vol.integrable case on the Lie algebra so(4)”, Sb. Math., vol. 200, no. 6, pp. 899-921, № 1. P. 320-324. https://doi.org/10.1007/BF01017022Novikov, D. V. 2014, “Топологические особенности интегрируемого случая Соколова на ал-Kozlov I. K. The topology of the Liouville foliation for the Kovalevskaya integrable case on theгебре Ли so(3,1)”, Sb. Math., vol. 205, no. 8, pp. 1107-1132.Lie algebra so(4) // Sb. Math. 2014. Vol. 205, № 4. P. 532-572.Kozlov, I. K. 2014, “The topology of the Liouville foliation for the Kovalevskaya integrable caseKibkalo V. A. Topological analysis of the Liouville foliation for the Kovalevskaya integrable caseon the Lie algebra so(4)”, Sbornik: Mathematics, vol. 205, no. 4, pp. 532-572.on the Lie algebra so(4) // Lobachevskii J. Math. 2018. Vol. 39, № 9. P. 1396-1399.Kibkalo, V. A. 2018, “Topological analysis of the Liouville foliation for the KovalevskayaKibkalo V. A. Topological classification of Liouville foliations for the Kovalevskaya integrableintegrable case on the Lie algebra so(4)”, Lobachevskii J. Math., vol. 39, no. 9, pp. 1396-1399.case on the Lie algebra so(4) // Sb. Math. 2019. Vol. 210, № 5. P. 625-662.Kibkalo, V. A. 2019, “Topological classification of Liouville foliations for the KovalevskayaKibkalo V. A.: Topological classification of Liouville foliations for the Kovalevskaya integrableintegrable case on the Lie algebra so(4)”, Sb. Math., vol. 210, no. 5, pp. 625-662.case on the Lie algebra so(3, 1) // Topol. and Appl. 2020, Vol. 275, № 107028. https://doi.org/Kibkalo, V. A. 2020, “Topological classification of Liouville foliations for the Kovalevskaya/10.1016/j.topol.2019.107028integrable case on the Lie algebra so(3, 1)”, Topol. and Appl., vol. 275, no. 107028.Fedoseev D. A., Fomenko A. T. Noncompact Bifurcations of Integrable Dynamic Systems // J.Komarov, I. V. 1981, “Kowalewski basis for the hydrogen atom”, Theoret. and Math. Phys., vol.Math. Sc. 2020. Vol. 248. P. 810-827., no. 1, pp. 320-324. https://doi.org/10.1007/BF01017022Кудрявцева Е. А. Аналог теоремы Лиувилля для интегрируемых гамильтоновых систем сFedoseev, D. A. & Fomenko, A. T. 2020, “Noncompact Bifurcations of Integrable Dynamicнеполными потоками // ДАН. 2012. Т. 445, № 4. С. 383-385.Systems”, J. Math. Sc., vol. 248, pp. 810-827.Новиков Д. В. Топологические особенности интегрируемого случая Соколова на алгебреKudryavtseva, E. A. 2012, “An analogue of the Liouville theorem for integrable HamiltonianЛи e(3) // Матем. сб. 2011. Т. 202, № 5. С. 127-160.systems with incomplete flows”, Doklady Mathematics, vol. 86, no. 1, pp. 527-529.Николаенко С. С. Топологическая классификация гамильтоновых систем на двумерныхNovikov, D. V. 2011, “Topological features of the Sokolov integrable case on the Lie algebraнекомпактных многообразиях // Матем. сб. 2020. Т. 211, № 8. С. 68-101.e(3)”, Sb. Math., vol. 202, no. 5, pp. 749-781.Николаенко С. С. Топологическая классификация некомпактных 3-атомов с действиемNikolaenko, S. S. 2020, “Topological classification of Hamiltonian systems on two-dimensionalокружности // Чебышевский сб. 2021. Т. 22, № 5. С. 185-197.noncompact manifolds”, Sb. Math., vol. 211, no. 8, pp. 1127-1158.Nikolaenko S. S. Topological classification of the Goryachev integrable systems in the rigid bodyNikolaenko, S. S. 2021, “Topological classification of non-compact 3-atoms with a circle action”,dynamics: non-compact case // Lobachevskii J. Math., 2017. Vol. 38. С. 1050-1060.Chebyshevskii Sb., vol. 22, no. 5, pp. 185-197.Ведюшкина (Фокичева) В. В., Фоменко А.Т. Интегрируемые топологические биллиарды иNikolaenko, S. S. 2017, “Topological classification of the Goryachev integrable systems in theэквивалентные динамические системы // Изв. РАН. Сер. матем. 2017. Т. 81, № 4. С. 20-67.rigid body dynamics: non-compact case”, Lobachevskii J. Math., vol. 38, pp. 1050-1060.Ведюшкина В. В., Скворцов А. И. Топология интегрируемого бильярда в эллипсе на плоскости Минковского с гуковским потенциалом // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Матем., мех.Vedyushkina (Fokicheva), V. V. & Fomenko, A. T. 2017, “Integrable topological billiards and№ 1. С. 8-19.equivalent dynamical systems”, Izv. Math., vol. 81, no. 4, pp. 688-733.Kibkalo V. A. Noncompactness property of fibers and singularities of non-EuclideanVedyushkina, V. V. & Skvortsov, A. I. 2022, “Topology of integrable billiard in an ellipse on theKovalevskaya system on pencil of Lie algebras // Moscow Univ. Math. Bull., 2020. Vol. 75, №Minkowski plane with the Hooke potential”, Vestnik Moskov. Univ. Ser. 1. Mat. Mekh., vol. 77,P. 263-267.no. 1, pp. 8-19.Харламов M.P. Топологический анализ и булевы функции: I. Методы и приложения кKibkalo, V. A. 2020, “Noncompactness property of fibers and singularities of non-Euclideanклассическим системам // Нелинейная динамика, 2010. Т. 6, № 4. С. 769-805.Kovalevskaya system on pencil of Lie algebras”, Moscow Univ. Math. Bull., vol. 75, no. 6, pp.-267.-267.Kharlamov, M.P. 2010, “Topological analysis and Boolean functions. I. Methods and applicationKharlamov, M.P. 2010, “Topological analysis and Boolean functions. I. Methods and applicationto classical systems”, Nelin. Dinam., vol. 6, no. 4. pp. 769-805.to classical systems”, Nelin. Dinam., vol. 6, no. 4. pp. 769-805.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.