chebЧебышевский сборникChebyshevskii Sbornik2226-8383Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University10.22405/2226-8383-2023-24-1-50-68cheb-1473Research ArticleСтатьиArticleРегуляризованная асимптотика решения сингулярно возмущенной смешанной задачи на полуоси для уравнения типа Шредингера при наличии сильной точки поворота у предельного оператораRegularized asymptotics of the solution of a singularly perturbed mixed problem on the semiaxis for an equation of Schrodinger type in the presence of a strong turning point for the limit operatorЕлисеевАлександр ГеоргиевичEliseevAlexander Georgievich

доктор физико-математических наук, доцент

doctor of physical and mathematical science, associate professor

yeliseevag@mpei.ruКириченкоПавел ВладимировичKirichenkoPavel Vladimirovichkirichenkopv@mpei.ruНациональный исследовательский университет «МЭИ»РоссияNational Research University “Moscow Power Engineering Institute”Russian Federation2023240520232415068Copyright © Елисеев А.Г., Кириченко П.В., 20232023Елисеев А.Г., Кириченко П.В.Eliseev A.G., Kirichenko P.V.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.chebsbornik.ru/jour/article/view/1473

В предложенной работе выполнено построение регуляризованной асимптотики решения сингулярно возмущенной неоднородной смешанной задачи на полуоси, возникающей при квазиклассическом переходе в уравнении Шредингера в координатном представлении.Выбранный в работе профиль потенциальной энергии приводит к особенности в спектре предельного оператора в виде сильной точки поворота. Опираясь на идеи асимптотического интегрирования задач с нестабильным спектром С.А. Ломова и А.Г. Елисеева, указано каким образом и из каких соображений следует вводить регуляризирующие функции и дополнительные регуляризирующие операторы, подробно описан формализм метода регуляризации для поставленной задачи, проведено обоснование этого алгоритма и построено асимптотической решение любого порядка по малому параметру.

In the proposed work we construct a regularized asymptotics for the solution of a singularly perturbed inhomogeneous mixed problem on the half-axis arising from a semiclassical transition in the Schrodinger equation in the coordinate representation. The potential energy profile chosen in the paper leads to a singularity in the spectrum of the limit operator in the form strong the turning point. Based on the ideas of asymptotic integration of problems with an unstable spectrum by S.A. Lomov and A.G. Eliseev, it is indicated how and from what considerations regularizing functions and additional regularizing operators should be introduced, the formalism of the regularization method for the problem posed is described in detail, and justification of this algorithm and an asymptotic solution of any order with respect to a small parameter is constructed.

сингулярно возмущенная задачаасимптотическое решениеметод регуляризацииточка поворота.singularly perturbed problemasymptotic solutionregularization methodturning point.Результаты Елисеева А. Г. были получены в рамках выполнения государственного задания Минобрнауки России (проект FSWF-2023-0012).ReferencesБободжанов А. А., Сафонов В. Ф. Курс высшей математики. Сингулярно возмущенныеBobodzhanov A. A., Safonov V. F. 2012, “Course of higher mathematics. Singularly perturbedуравнения и метод регуляризации: учебное пособие. — М.: Издательский дом МЭИ, 2012.equations and the regularization method: a study guide” [Kurs vysshey matematiki. SingulyarnoЛомов С. А., Ломов И. С. Основы математической теории пограничного слоя. — М.: Изд-воvozmushchennyye uravneniya i metod regulyarizatsii: uchebnoye posobiye], Moscow: NationalМосковского университета, 2011.Research University MPEI. (In Russ.)Ломов С. А. Введение в общую теорию сингулярных возмущений. — М.: Наука, 1981.Lomov S. A., Lomov I. S. 2011, “Fundamentals of the mathematical theory of the boundaryЛомов С. А. Асимптотическое поведение решений обыкновенных дифференциальныхlayer” [Osnovy matematicheskoy teorii pogranichnogo sloya], Moscow: Moscow State University.уравнений второго порядка, содержащих малый параметр // Тр. МЭИ, 1962, Вып. 42,(In Russ.)С. 99–144.Lomov S. A. 1992, “Introduction to the General Theory of Singular Perturbations (TranslationsЛомов С. А. Степенной пограничный слой в задачах с малым параметром // Докл. АНof Mathematical Monographs)”, New York: Amer. Math. Soc.СССР, 1963, Том 148, № 3, С. 516–519.Lomov S. A. 1962, “Asymptotic behavior of solutions to second-order ordinary differentialЛомов С. А. О модельном уравнении Лайтхилла // Сб. науч. трудов МО СССР, 1964, № 54,equations containing a small parameter” [Asimptoticheskoye povedeniye resheniy obyknovennykhС. 74–83.differentsial’nykh uravneniy vtorogo poryadka, soderzhashchikh malyy parametr],Ломов С. А. Регуляризация сингулярных возмущений // Докл. научно-техн. конф. МЭИ,Moscow: Trudi MPEI, issue 42, P. 99–144. (In Russ.)секция матем. М., 1965, С. 129–133.Lomov S. A. 1963, “Power series boundary layer in problems involving a small parameter”, Sov.Ломов С.А., Сафонов В.Ф. Регуляризации и асимптотические решения для сингулярноMath. Dokl., issue 4, P. 125–129.возмущенных задач с точечными особенностями спектра предельного оператора // Укр.Lomov S. A. 1964, “On the Lighthill Model Equation” [O model’nom uravnenii Laytkhilla], Sb.мат. журн., 1984, T. 36, № 2, C. 172–180.nauch. trudov MO SSSR, No 54, P. 74–83. (In Russ.)Елисеев А. Г., Ломов С. А. Теория сингулярных возмущений в случае спектральных осо-Lomov S. A. 1965, “Regularization of singular perturbations” [Regulyarizatsiya singulyarnykhбенностей предельного оператора // Математический сборник, 1986, Т. 131, № 173, С. 544–vozmushcheniy], Moscow: Dokl. nauchno-tekhn. konf. MPEI, sektsiya matem., P. 129–133. (InRuss.)Russ.)Бободжанов А. А., Сафонов В. Ф. Регуляризованная асимптотика решений интегродиф-Lomov S. A., Safonov V. F. 1984, “Regularizations and asymptotic solutions for singularlyференциальных уравнений с частными производными с быстро изменяющимися ядрамиperturbed problems with point singularities of the spectrum of the limit operator” [Regulyarizatsii// Уфимский математический журнал, 2018, Т. 10, № 2, С. 3–12.i asimptoticheskiye resheniya dlya singulyarno vozmushchennykh zadach s tochechnymiЕлисеев А. Г., Ратникова Т.А. Сингулярно возмущенная задача Коши при наличии ра-osobennostyami spektra predel’nogo operatora], Ukr. mat. zhurn., Vol. 36, No 2, P. 172–180.циональной «простой» точки поворота. // Дифф. урав. и процессы управл., 2019, № 3,(In Russ.)C. 63–73.Eliseev A. G., Lomov S. A. 1988, “The theory of singular perturbations in the case of spectralЕлисеев А. Г. Регуляризованное решение сингулярно возмущенной задачи Коши при на-singularities of a limit operator”, Math. USSR-Sb., Vol. 59, No 2, P. 541–555.личии иррациональной «простой» точки поворота // Дифф. урав. и процессы управл.,Bobodzhanov A. A., Safonov V. F. 2018, “Regularized asymptotics of solutions to integrodifferential, № 2, C. 15–32.partial differential equations with rapidly varying kernels”, Ufa Math. J., Vol. 10,Кириченко П. В. Сингулярно возмущенная задача Коши для параболического уравне-No 2, P. 3–13.ния при наличии «слабой» точки поворота у предельного оператора // МатематическиеEliseev A. G., Ratnikova T. A. 2019, “Singularly perturbed cauchy problem in the presenceзаметки СВФУ, 2020, № 3, C. 3–15.of the rational simple pivot point of the limit operator”, Differencialnie Uravnenia i ProtsesyЕлисеев А. Г., Кириченко П. В. Регуляризованная асимптотика решения сингулярно воз-Upravlenia, No 3, P. 63–73.мущенной задача Коши при наличии «слабой» точки поворота у предельного оператораEliseev A. G. 2020, “Regularized solution of a singularly perturbed cauchy problem in the// Дифф. урав. и процессы управл., 2020, № 1, с. 55–67.presence of irrational simple turning point”, Differencialnie Uravnenia i Protsesy Upravlenia,Елисеев А. Г., Кириченко П. В. Cингулярно возмущенная задача Коши при наличии "сла-No 2, P. 15–32.бой"точки поворота первого порядка у предельного оператора с кратным спектром //Eliseev P. V. 2020, “A singularly perturbed cauchy problem for a parabolic equation in theДифференциальные уравнения, 2022, Т. 58, № 6, С. 733–746.presence of the “weak” turning point of the limit operator”, Mathematical Notes of NEFU,Елисеев А. Г. Пример решения сингулярно возмущенной задачи Коши для параболическо-Vol.57, No 3, P. 3–15.го уравнения при наличии «сильной» точки поворота // Дифф. урав. и процессы управл.,Eliseev A. G., Eliseev P. V. 2020, “Regularized asymptotics of solution a singularly perturbed, № 3, с. 46–58.Cauchy problem in the presence of the «weak» turning point at the limit operator”,Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Курс теоретической физики, Т. 3, Квантовая механика (нере-Differencialnie Uravnenia i Protsesy Upravlenia, No 1, P. 55–67.лятивистская теория). — М.:ФИЗМАТЛИТ, 2008.Eliseev A. G., Eliseev P. V. 2022, “Singularly Perturbed Cauchy Problem in Which theАрнольд В.И. О матрицах, зависящих от параметров // УМН, 1971, т. 26, № 2(158), C. 101–Limit Operator has Multiple Spectrum and a Weak First-Order Turning Point”, DifferentialEquations, Vol.58, No 6, P. 727–740.Equations, Vol.58, No 6, P. 727–740.Liouville, J. Second M´emoire sur le d´eveloppement des fonctions ou parties de fonctions en s´eriesEliseev A. G. 2022, “Example of Solution of a Singularly Perturbed Cauchy Problem for adont les divers termes sont assuj´etis `a satisfaire `a une mˆeme ´equation diff´erentielle du secondParabolic Eqiuation in the Presence of strong Turning Point”, Differencialnie Uravnenia iordre, contenant un param´etre variable // Journal de Math´ematiques Pures et Appliqu´ees,Protsesy Upravlenia, No 3, P. 46–58., p. 16–35.Landau L. D., Lifshitz E. M. 2008, “Course of theoretical physics, Vol. 3, Quantum mechanicsЭльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. — М.: Наука,(non-relativistic theory)” [Kurs teoreticheskoy fiziki, T. 3, Kvantovaya mekhanika(nerelyativistskaya teoriya)], Moscow: Fizmatlit. (In Russ.)(nerelyativistskaya teoriya)], Moscow: Fizmatlit. (In Russ.)Arnol’d V. I. 1971, “On matrices depending on parameters”, Russian Math. Surveys, Vol.26,Arnol’d V. I. 1971, “On matrices depending on parameters”, Russian Math. Surveys, Vol.26,No 2, P. 29–43.No 2, P. 29–43.Liouville, J. Second M´emoire sur le d´eveloppement des fonctions ou parties de fonctions en s´eriesLiouville, J. Second M´emoire sur le d´eveloppement des fonctions ou parties de fonctions en s´eriesdont les divers termes sont assuj´etis `a satisfaire `a une mˆeme ´equation diff´erentielle du seconddont les divers termes sont assuj´etis `a satisfaire `a une mˆeme ´equation diff´erentielle du secondordre, contenant un param´etre variable // Journal de Math´ematiques Pures et Appliqu´ees,ordre, contenant un param´etre variable // Journal de Math´ematiques Pures et Appliqu´ees,, p. 16–35., p. 16–35.Elsgolts L. E. 1969, “Differential Equations and Variational Calculus” [ Differentsial’nyyeElsgolts L. E. 1969, “Differential Equations and Variational Calculus” [ Differentsial’nyyeuravneniya i variatsionnoye ischisleniye], Moscow: Nauka. (In Russ.)uravneniya i variatsionnoye ischisleniye], Moscow: Nauka. (In Russ.)

The authors declare that there are no conflicts of interest present.