аспирант
postgraduate student
доктор физико-математических наук, профессор,
doctor of physical and mathematical sciences, professor
В прямоугольнике Ω = {(𝑥, 𝑡) | 0 < 𝑥 < 1, 0 < 𝑡 < 𝑇} рассматривается начально-краевая задача для сингулярно возмущенного параболического уравнения
$$𝜀2(︂𝑎^2((𝜕^2)𝑢/𝜕𝑥^2)−𝜕𝑢/𝜕𝑡)︂= 𝐹(𝑢, 𝑥, 𝑡, 𝜀), (𝑥, 𝑡) ∈ Ω,𝑢(𝑥, 0, 𝜀) = 𝜙(𝑥), 0 ⩽ 𝑥 ⩽ 1,𝑢(0, 𝑡, 𝜀) = 𝜓1(𝑡), 𝑢(1, 𝑡, 𝜀) = 𝜓2(𝑡), 0 ⩽ 𝑡 ⩽ 𝑇.$$
Предполагается, что в угловых точках прямоугольника функция 𝐹 относительно переменной 𝑢 является кубической. Для построения асимптотики решения задачи используется нелинейный метод угловых пограничных функций, который предполагает выполнение следующих шагов:1) разбиение области на части;2) построение в каждой подобласти нижних и верхних решений задачи;3) непрерывная стыковка нижних и верхних решений на общих границах подобластей;4) последующее сглаживание кусочно-непрерывных нижних и верхних решений.В настоящей работе удалось построить барьерные функции, пригодные сразу во всей области. Вид барьерных функций определяются с помощью погранслойных функций, являющихся решениями обыкновенных дифференциальных уравнений, а также с учетом необходимых свойств искомых решений. В результате построено полное асимптотическое разложение решения при 𝜀 → 0 и обоснована его равномерность в замкнутом прямоугольнике.
In the rectangle Ω = {(𝑥, 𝑡) | 0 < 𝑥 < 1, 0 < 𝑡 < 𝑇} we consider an initial-boundary valueproblem for a singularly perturbed parabolic equation
$$𝜀2(︂𝑎^2((𝜕^2)𝑢/𝜕𝑥^2)−𝜕𝑢/𝜕𝑡)︂= 𝐹(𝑢, 𝑥, 𝑡, 𝜀), (𝑥, 𝑡) ∈ Ω,$$$$𝑢(𝑥, 0, 𝜀) = 𝜙(𝑥), 0 ⩽ 𝑥 ⩽ 1,$$$$𝑢(0, 𝑡, 𝜀) = 𝜓1(𝑡), 𝑢(1, 𝑡, 𝜀) = 𝜓2(𝑡), 0 ⩽ 𝑡 ⩽ 𝑇.$$
It is assumed that at the corner points of the rectangle the function 𝐹 with respect to the variable 𝑢 is cubic. To construct the asymptotics of the solution to the problem, the nonlinear method of angular boundary functions is used, which involves the following steps:1) splitting the area into parts;2) construction in each subdomain of lower and upper solutions of the problem;3) continuous joining of the lower and upper solutions on the common boundaries of the subdomains;4) subsequent smoothing of piecewise continuous lower and upper solutions.In the present work, we succeeded in constructing barrier functions suitable for the entire region at once. The form of barrier functions is determined using boundary-layer functions that are solutions of ordinary differential equations, as well as taking into account the necessary properties of the desired solutions. As a result, a complete asymptotic expansion of the solution for 𝜀 → 0 is constructed and its uniformity in a closed rectangle is justified.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.