Понятие n-арной группы является обобщением бинарной группы, по- этому многие результаты из теории групп имеют n-арный аналог в теории n-арных групп. Но имеются существенные отличия в этих теориях. На- пример, множитель прямого произведения n-арных групп не всегда имеет изоморфную копию в этом произведении (в работе указан пример). Доказано, что в прямом произведении ∏ i∈I ⟨Ai , fi⟩ n-арных групп имеется n- арная подгруппа, изоморфная ⟨Aj , fj ⟩ (j ∈ I), тогда и только тогда, когда найдется некоторый гомоморфизм из ⟨Aj , fj ⟩ в ∏ i∈I,i̸=j ⟨Ai , fi⟩. Найдены необходимые и достаточные условия для того, чтобы в прямом произведении n-арных групп каждый из прямых множителей имел изоморфную копию в этом произведении и пересечение этих копий одноэлементно (как в группах) – в каждом прямом множителе имеется идемпотент. На любой n-арной группе можно определить бинарную группу, которая помогает изучать данную n-арную группу, т.е. верна теорема Глускина- Хоссу: на всякой n-арной группе ⟨G, f⟩ для элемента e ∈ G можно определить бинарную группу ⟨G, ·⟩, в которой найдутся автоморфизм φ(x) = f(e, x, cn−2 1 ) и элемент d = f( (n) e ) такие, что выполнены условия: f(x n 1 ) = x1 · φ(x2) · . . . · φ n−1 (xn) · d, x1, x2, . . . , xn ∈ G; (1) φ(d) = d; (2) φ n−1 (x) = d · x · d −1 , x ∈ G. (3) Группу ⟨G, ·⟩, которая возникает в теореме Глускина-Хоссу, называют ре- трактом n-арной группы ⟨G, f⟩. Верна и обратная теорема Глускина-Хоссу: в любой группе ⟨G, ·⟩ для выбранных автоморфизма φ и элемента d с условиями (5) и (6), задается n- арная группа ⟨G, f⟩, где f действует по правилу (4). Такую n-арную группу называют (φ, d)-определенной на группе ⟨G, ·⟩ и обозначают derφ,d⟨G, ·⟩. Найдена связь между n-арной группой, (φ, d)-определенной на декартовом произведении групп и n-арными группами, которые (φi , di)-опреде- лены на множителях этого произведения: пусть ∏ i∈I ⟨Ai , ·i⟩ – декартово произведение групп и φi , di – автоморфизм и элемент в группе ⟨Ai , ·i⟩ с условиями (5) и (6) для любого i ∈ I. Тогда derφ,d ∏ i∈I ⟨Ai , ·i⟩ = ∏ i∈I derφi,di ⟨Ai , ·i⟩, где φ – автоморфизм декартова произведения групп ∏ i∈I ⟨Ai , ·i⟩, заданный покомпонентно по правилу:для любого a ∈ ∏ i∈I Ai , φ(a)(i) = φi(a(i)) (такой автоморфизм назовем диагональным), и d(i) = di для любого i ∈ I. В теории n-арных групп неразложимыми n-арными группами являют- ся конечные примарные и бесконечные полуциклические n-арные группы (построенные по теореме Глускина-Хоссу на циклических группах). Мы наблюдаем n-арный аналог неразложимости циклических групп. Однако, в отличии от групп, конечно порожденная полуабелева n-арная группа не всегда разложима в прямое произведение конечного числа неразло- жимых полуциклических n-арных групп. Доказано, что любая конечно порожденная полуабелева n-арная группа изоморфна прямому произведению конечного числа неразложимых полуциклических n-арных групп (беcконечных либо конечных примарных) тогда и только тогда, когда в ретракте этой n-арной группы автоморфизм φ из теоремы Глускина-Хоссу сопряжен некоторому диагональному автоморфизму.